Диференціал

Диференціал.

.

.

План Диференціал функції.

Геометричний зміст диференціала.

Лінеаризація функції.

Диференціал складної функції.

Повний диференціал функції декількох змінних.

Достатні умови диференційованості функції.

Рівняння дотичної площини до поверхні і нормалі.

Інваріантність форми диференціала.

Диференціювання функцій, заданих параметрично.

Неявні функції, їх диференціювання.

1. Диференціал функції.

1.1 Означення диференційованої функції.

Означення. Функція .

.

де .

Означення. Функція .

.

.

Теорема. Для того щоб функція .

.

Наслідок. Якщо функція .

Дійсно, із (6.50) зрозуміло, що з умови .

Для функції двох змінних .

Теорема (необхідна умова диференційованості). Функція .

Теорема (достатня умова диференційованості). Якщо функція .

Зауваження. Функція (всякого числа змінних), диференційована в кожній точці деякої області, називається диференційованою в цій області.

1.2 Диференціал Диференціал функції однієї змінної .

.

тоді як перший доданок .

.

Отже, перший доданок .

Означення. Добуток .

.

Диференціалом аргументу називається його приріст, тобто вважають .

.

або.

.

Користуючись співвідношенням (6.52), складемо таблицю для диференціалів від елементарних функцій:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

Властивості диференціала. Якщо .

1) .

2) .

3) .

4) .

Геометричний зміст диференціала. Нехай графік диференційованої функції .

Візьмемо на кривій .

.

або.

.

Рівність (6.53) і характеризує геометричний зміст диференціала: диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної до графіка цієї функції в розглядуваній точці.

.

Рис. 6.6.

Механічний зміст диференціала. Припустимо, що матеріальна точка рухається за відомим законом.

.

.

Добуток .

Отже, механічне тлумачення диференціала функції таке: диференціал функції виражає той шлях, який точка пройшла б за час .

6.6.3. Повний диференціал функції двох змінних Означення повного диференціала. Нехай функція .

Виберемо в цій області довільну точку .

.

.

одержуємо такий вираз:

.

При .

Означення. Головна, лінійна відносно .

.

(Легко бачити, що це означення приводить до введеного вище поняття диференціала функції однієї змінної, якщо замість .

Приклад. Знайти повний диференціал функції .

Р о з в «я з о к.

В будь-який точці .

Зауваження. Означення повного диференціала легко узагальнюється на випадок диференційованої функції будь-якого числа змінних.

Повним диференціалом функції в даній точці називається головна, лінійна відносно приросту всіх аргументів частина повного приросту функції.

Приклад. .

Р о з в ' я з о к.

В будь-які й точці .

.

Означення дотичної площини і нормалі до поверхні. Є кілька еквівалентних між собою означень дотичної площини до поверхні. Ми дамо означення, яке є природним узагальненням означення дотичної (прямої) до кривої (рис. 6.7).

Нехай .

Площина, що проходить через точку .

Нормаллю до поверхні в точці .

Рівняння дотичної площини і нормалі. У поверхні, заданої рівнянням .

.

За рівнянням дотичної площини до поверхні .

.

Геометричний зміст повного диференціала. Нехай функція .

.

Рис. 6.7 Рис. 6.8.

поклавши .

.

У цьому рівнянні зліва стоїть різниця аплікат точок дотичної площини, відповідних точкам .

Отже, повний диференціал функції .

Інваріантна форма запису диференціала. За означенням, для диференційованої в точці .

.

Покладемо, зокрема, .

.

або, що те саме,.

.

Нехай .

.

Застосувавши правила для обчислення частинних похідних складної функції (формули 6.47), одержимо.

.

Оскільки в дужках стоять повні диференціали функцій .

.

Отже, і у випадку, коли .

.

У зв «язку з цим така форма запису повного диференціала називається інваріантною.

Форма запису повного диференціала.

.

не буде інваріантною, вона може використовуватися лише, якщо .

6.7. Диференціювання параметрично заданих функцій.

Означення. Задання функціональної залежності між .

Виведемо формулу для похідної від функції, заданої параметрично. Припустимо, що функції, заданої параметрично. Припустимо, що функції .

Тоді для кожної функції .

.

або.

.

Приклад. Знайти похідну від функції, яка задана параметрично, .

Р о з в «я з о к. Знайдемо .

.

.

.

6.8. Неявні функції, їх диференціювання Розглянемо випадок неявної функції від однієї незалежної змінної .

Припустимо, що це рівняння визначає єдину і при цьому диференційовану функцію .

Теорема. (теорема існування неявної функції). Нехай:

1) функція .

2) .

.

3) .

Тоді.

1) в деякому прямокутнику.

.

рівняння .

2) при .

.

3) на інтервалі .

Знайдемо цю похідну. Оскільки у вказаному інтервалі .

Обчислюючи повну похідну, маємо.

.

звідки.

.

Приклад. Знайти похідну функції .

Р о з в «я з о к.

.

Нехай задано рівняння.

.

і при цьому виконуються умови, аналогічні умовам 1) — 3). Можна довести, що рівняння (6.62) визначає в деякому околі точки .

Частинні похідні такої функції обчислюються за формулами:

.

Розглянемо деякі застосування теорії неявних функцій. Нехай плоска крива задана рівнянням .

.

Рівняння нормалі до кривої .

.

Нехай поверхня задана рівнянням .

Рівняння дотичної площини до поверхні .

.

Рівняння нормалі до тієї самої поверхні в точці .

.

Приклади.

1. Знайти рівняння дотичної і нормалі до еліпса .

Р о з в «я з о к. Тут .

Оскільки .

дотичної .

нормалі .

2. Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні .

Р о з в «я з о к. Тут .

.

Рівняння:

дотичної площини .

нормалі .

.

.

_.

.