Інтегрування раціональних функцій
Інтегрування правильного раціонального дробу Якщо дріб неправильний, то розклавши його на суму цілої частину і правильного раціонального дробу, будемо інтеграл розглядати як суму інтегралів. Інтегрування цілої частини (полінома степеня. Якщо знаменник раціонального дробу має лише прості корені (дійсні або комплексні), то невідомі коефіцієнти найпростіше можна знайти підстановкою коренів… Читати ще >
Інтегрування раціональних функцій (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Інтегрування раціональних функцій.
.
.
План.
Інтегрування раціональних функцій.
Прості раціональні дроби.
Неправильні раціональні дроби.
Інтегрування правильного раціонального дробу. Формула Остроградського.
1. Інтегрування раціональних дробів.
Прості раціональні дроби Простими раціональними дробами називаються такі чотири види дробів :
.
де .
Розглянемо тепер інтеграли від цих дробів :
.
в) .
г) .
Цей дріб може бути зведений до іншого вигляду виділенням у знаменнику повного квадрата, а в чисельнику похідної від знаменника, помноженої на деяку константу .
Маємо .
.
Отже,.
.
Якщо позначити.
.
Тому .
.
Щоб одержати кінцевий результат, досить повернутися до змінної .
г) Четвертий тип простого дробу за допомогою тих самих перетворень, що й третій, зведеться до вигляду.
.
.
Останній же інтеграл може бути про інтегрований за рекурентною формулою (9.3).
Неправильні раціональні дроби Раціональний дріб має вигляд .
Приклад 1. Виділити цілу частину дробу.
.
.
.
Інтегрування правильного раціонального дробу Якщо дріб неправильний, то розклавши його на суму цілої частину і правильного раціонального дробу, будемо інтеграл розглядати як суму інтегралів. Інтегрування цілої частини (полінома степеня 
.
де всі 
.
Нехай 
.
.
де 
.
Нехай правильний дріб має вигляд 
.
.
.
в якому знаменник уже розкладений на множники. Коренями знаменника є однократний корінь 1, двократний корінь 2, двократна пара комплексно спряжених коренів 
.
Отже, заданий дріб може бути поданий як.
.
.
Але можна зробити інакше: в написану тотожність замість 
.
Якщо знаменник раціонального дробу має лише прості корені (дійсні або комплексні), то невідомі коефіцієнти найпростіше можна знайти підстановкою коренів знаменника в тотожність (такого самого типу, що і у попередньому прикладі) замість .
Приклад. Обчислити інтеграл:
.
Тоді розкладемо підінтегральний дріб на прості дроби:
.
.
.
Одержимо.
.
.
.
тобто ірраціональний вираз. Друга група доданків, якщо її проінтегрувати, буде такою:
.
Використовуючи рекурентну формулу,
.
де 
.
Із (8.23) знаходимо.
.
Приклад.
.
де 
.
де 
.
.
Для визначення невідомих коефіцієнтів .
.
.
На підставі формули (8.24) матимемо.
.
.
_.
.