Диференціал функції

Поняття диференційованості функції в даній точці

Означення 1. Функція у = f (x) називається диференційованою в точці x₀, якщо її приріст Ду в цій точці можна представити у вигляді Ду = A Дx + л (Дx) Дx,

де, А деяке число, що не залежить від Дx, а л (Дx) — функція аргументу Дx, яка є нескінченно малою при Дx 0, тобто .

Теорема 1. Для того, щоб функція у = f (x) була диференційованою в точці x₀, необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінчену похідну.

Диференціал функції

Диференціал функції однієї змінної та його застосування

Означення. Диференціалом функції називається величина, яка пропорційна приросту незалежної змінної і відрізняється від приросту функції на нескінченно малу функцію вищого порядку малості в порівнянні з приростом незалежної змінної.

Для нескінченно малого приросту Дх відношення буде нескінченно малим при Дх —> 0, тобто Дy = k Дх+б Дх. (1)

У цьому випадку kДх називається диференціалом функції, де k — коефіцієнт пропорційності.

Диференціал функції позначають символом dy, нескінченно малий приріст аргументу Дх — dx і називають диференціалом аргументу.

Доданок kДх у формулі (1) називають головною лінійною частиною приросту функції (або головним лінійним членом приросту). Тому можна говорити: диференціал функції є головною лінійною частиною нескінченно малого приросту цієї функції, якщо k 0.

З означення диференціала випливає, що диференціал функції відрізняється від приросту цієї функції на величину вищого порядку малості в порівнянні з приростом незалежної змінної. Цією обставиною часто користуються в наближених обчисленнях.

Теорема. Якщо функція має диференціал, то ця функція має і похідну. З виразу (1) випливає, що

= k + a, _а при Дх 0 , тобто k = у' - є похідна функції в точці.

Таким чином, диференціал функції дорівнює добутку похідної цієї функції на приріст незалежної змінної, тобто

dy = y’dx.

Диференціал незалежної змінної dx дорівнює приросту цієї незалежної змінної.

Геометричний зміст диференціала функції випливає з геометричного змісту похідної, розглянутого раніше.

Таким чином, диференціал функції у = f (x) в даній точці х дорівнює приросту ординати дотичної до графіка функції в цій точці, коли х одержує приріст Дх.

Фізичним значенням диференціала є фіктивний приріст шляху, який одержиться в припущенні, що, починаючи з деякого моменту часу, точка рухається рівномірно, зберігаючи набуту швидкість.

При умові, що функції, які розглядаються, мають похідні, основні властивості диференціала можуть бути записані у вигляді наступних виразів:

1. dC = 0, где С — const;

2. d (Cu) = Cdu;

3. d (u±v} = du ± dv;

4. d (u —v) = udv + vdu;

5. ;

6. df (u) = (u)du.

Диференціювання функції багатьох змінних

При вивченні багатьох закономірностей доводиться зустрічатися з функціями від двох (і більше) незалежних змінних. Наприклад, площа S трикутника із стороною х і висотою у є функція двох змінних: S =f (х, у) (S = ½ху).

Якщо розглянути прямокутний паралелепіпед з ребрами х, у, z, то його об'єм є функція трьох змінних: V =f (х, у, z) (V = хуz).

Функції багатьох змінних можна виявити в сфері економіки, військової справи та взагалі в природі. Наприклад, процес гідравлічного переміщення, викликаний дощами, таненням снігів або меліорацією, дуже залежить від рельєфу місцевості, гідрогеологічних умов, сільськогосподарської діяльності і погоди.

Основні означення, які відносяться до функції кількох змінних, є узагальненням відповідних означень для функції однієї змінної. Зупинимося на функції двох змінних.

Означення. Якщо кожній парі значень х, у із множини D ставиться у відповідність одне визначене значення z із множини Е, то z називається функцією двох незалежних змінних х та у і позначається z =f (х, у).

Означення. Множина D називається областю визначення функції z, а множина E — множиною її значень. Змінні х, у по відношенню до функції z називаються її аргументами.

Приклад 1.

Нехай функція задана формулою z = Iп (2х+3у). Для того, щоб ця формула мала зміст, треба, щоб виконувалась нерівність 2х+3у>0, бо логарифм нуля і від'ємних чисел не існує в області дійсних чисел. Цю нерівність можна переписати у вигляді у>-2/Зх.

Для того, щоб з’ясувати, де розміщені на площині точки, координати яких задовольняють цю нерівність, розглянемо рівність у = -2/Зх. Це рівняння прямої, яка проходить через початок координат. Отже, областю визначення функції буде вся частина площини, розміщена вище прямої у = -2/Зх. Область визначення функції z = Iп (2х+3у) заштрихована на мал.1.

Поняття границі та неперервності функції z = f (х, у) в точці вводяться аналогічно цим поняттям для функції однієї змінної.

Означення. Число А називається границею функції z = f (М) в точці М₀, якщо для будь-якої збіжної до М₀ послідовності точок М₁, М₂,…, М_п,… (М_п М₀, М_пє М}) відповідна послідовність значень функції f (М₁), f(М_m),… збігається до А.

Позначення:

абоf (x, y) = A.

Означення. Функція z = f (М) називається неперервною в точці М₀, якщо границя функції в цій точці існує і дорівнює значенню функції в цій точці, тобто

або

Нехай задані функція z = f(х, у) і точка (х, у) D. Якщо зміна функції z відбувається при зміні тільки одного з аргументів, наприклад х, при фіксованому значенні другого аргументу у, то функція набуває приросту Д_х z =f (х+Дх, у) — f (х, у), який називається частинним приростом функції f (х, у) по аргументу х.

Означення. Якщо існує скінченна границя:

то вона називається частинною похідною функції f (х, у) по аргументу х і позначається одним із символів:

тобто .

Аналогічно дається означення частинного приросту z по у і частинної похідної f(х, у) по у:

Д_Уz = f/(х, у+Ду)-f (х, у);

.

При обчисленні частинних похідних користуються вже відомими правилами і формулами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи при цьому другу змінну сталою.

Приклад 2. Знайти частинні похідні функції z = 7х² у³ -х.

Маємо: = 14ху³ -1 (у фіксоване); = 21 х² у² (x фіксоване).

Приклад 3. Знайти частинні похідні функції z = аrctg .

Аналогічно даються поняття частинних похідних функцій трьох і більше змінних.

Частинні похідні функції кількох змінних визначаються і обчислюються також в припущенні, що змінюється тільки одна з незалежних змінних, а інші при цьому фіксовані.

Частинна похідна функції кількох змінних має той же механічний зміст, що і похідна функції однієї змінної, — це швидкість зміни функції відносно зміни одного з аргументів.

Означення. Повним приростом функції z = f (х, у) в точці (х, у) називається різниця Дz = f (x + Ду, у + Ду) — f (x, у), де Дх і Ду — довільні прирости аргументів.

Означення. Функція x = f(х, у) називається диференційованою в точці (х, у), якщо в цій точці повний приріст можна представити у вигляді:

А і В не залежать від приростів Дх і Ду.

Повним диференціалом функції z = f (х, у) називається головна частина повного приросту Дz, лінійна відносно приростів аргументів Дх і Ду, тобто:

dz =AДx + BДy.

Диференціали незалежних змінних співпадають з їх приростами, тобто:

dx =Дx і dy = Дy.

Повний диференціал функції z =f (х, у) обчислюється за формулою:

(*)

Аналогічно, повний диференціал функції трьох змінних u = f (х, у, z) обчислюється за формулою:

При досить малому р = для диференційованої функції z = f (х, у)справедливі наближені рівності:

(**)

Вказані рівності широко використовуються при наближених обчисленнях, бо часто простіше обчислити диференціал, ніж повний приріст.

Приклад 4. Знайти повний диференціал функції z= Iп (х² + у).

Використовуючи формулу (*), одержимо .

Основні правила диференціювання функцій

Нижче наведемо без доведення основні правила диференціювання.

Похідна сталої функції дорівнює нулю, тобто при f (x) = С,

f'(x) = С' = 0. (4)

На мові механіки це означає, що швидкість точки, яка знаходиться в стані спокою, дорівнює нулю.

Похідна алгебраїчної суми скінченного числа диференційованих функцій дорівнює такій же алгебраїчній сумі похідних цих функцій.

Приклад 1. Знайти похідну від функції у = 2 — х + х² .

Розв’язання. Застосовуючи відповідні формули, одержимо

у' = (2)' - (х)' + (х²)' = -1 + 2х .

Наслідок: Якщо дві диференційовані функції відрізняються на постійну величину, то похідні їх рівні між собою.

Похідна добутку двох диференційованих функцій дорівнює добутку похідної першого співмножника на другий плюс похідна другого співмножника, помножена на перший, тобто у випадку y = u v маємо

у' = (u v)' = u' v + v' u. (5)

Приклад 2. Нехай у = х³ * sin х .

Розв’язання.

За формулою (5) будемо мати у' = (х³ sin х) ' = Зх² sin х + х³ cos х .

Наслідок: Сталий множник можна виносити за знак похідної, тобто (Си) ' = С (и)' .

Похідна добутку кількох диференційоаних функцій дорівнює сумі добутків похідної кожного із цих співмножників на всі останні.

Похідна частки. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовані функції і знаменник не перетворюється в нуль, то похідна дробу дорівнює також дробу, чисельник якого є різниця добутків знаменника дробу на похідну чисельника і чисельника дробу на похідну знаменника, а знаменник є квадрат попереднього знаменника.

Нехай у = Тоді (6).

Приклад 3. у =

Розв’язання. За формулою (6) будемо мати:

Наслідок: Якщо знаменник дробу — постійна величина, то. Наслідок: Якщо чисельник дробу — постійна величина, то.

Зокрема, при С = 1 знаходимо .

Приклад 4. Якщо ,то маємо .

Похідна від tgx. Нехай Тоді:

Отже, (tgx)' = = sec² x. (7)

Похідна від ctgx. Нехай у = ctgx = Тоді маємо:

(8).

Формули диференціювання

диференціал функція змінна похідна

1.;

2.;

3.;

4. ;

5.;

6.;

7.;

8.;

9.;

10.;

11. ;

12.;

13.