Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості

1. Передатні функції імпульсних автоматичних систем

Структурні зображення і передатні функції складають основу для інженерних розрахунків імпульсних автоматичних систем. Вони дозволяють у значній мірі полегшити рішення задач дослідження.

Для дослідження динамічних властивостей системи в першу чергу необхідно визначити її передатні функції, що, як відомо, установлюють залежність між вхідним впливом і реакцією системи (ланки). Звичайно в розгляд уводять, як і при дослідженні безупинних систем, такі передатні функції: передатну функцію розімкнутої імпульсної системи і передатну функцію помилки.

Передатною функцією розімкнутої імпульсної системи називається відношення зображень у смислі дискретного перетворення Лапласа вихідного і вхідного імпульсних сигналів при нульових початкових умовах:

Аналогічно визначається ця передатна функція в смислі Z — перетворення:

.

Основне завдання полягає в тому, щоб визначити передатну функцію W (z) по відомій передатній функції приведеної безупинної частини системи W (p). Цю задачу вирішують у такій послідовності:

1. По передатній функції W (p) у результаті застосування зворотного перетворення Лапласа знаходять функцію ваги ПНЧ:

2. По функції ваги ПНЧ w (t) визначають аналітичне вираження для відповідної дискретної функції ваги w (n).

3. Шукану передатну функцію W (z) одержують як Z — перетворення дискретної функції ваги ПНЧ:

Основна передатна функція замкнутої імпульсної системи дозволяє обчислити реакцію замкнутої системи х_ВИХ(пТ) на вплив, що задає, Хвх (пт). Її визначають, як і в безупинних системах, відповідно до рівняння замикання через дискретну передатну функцію розімкнутої системи:

. (1)

Передатну функцію замкнутої системи завжди можна подати у вигляді відносини двох поліномів щодо перемінної z:

. (2)

Запишемо цей вираз в розгорнутому вигляді:

. (3)

Ліва частина цього рівняння (у дужках) є характеристичний поліном замкнутої імпульсної системи М (z).

У результаті переходу від зображень до оригіналів у формулі (3) легко одержати відповідне різницеве рівняння системи М (z).

Аналогічно можна одержати різницеве рівняння розімкнутої системи по передатній функції W (z).

Передатна функція помилки визначається через передатну функцію розімкнутої системи за формулою

. (4)

Знаючи вплив, що задається, і цю передатну функцію, можна оцінити динамічну точність імпульсної системи — знайти дискретну функцію помилки е (nT).

Розглянемо конкретний приклад визначення передатних функцій імпульсної системи. Визначимо передатні функції системи, структурна схема якої зображена на рис. 1.

Рисунок 1 — Структурна схема імпульсної системи Як видно з рисунка, у прямого ланцюзі системи є найпростіший імпульсний елемент (фіксатор) і безупинна частина (інтегруюча ланка).

Передатна функція приведеної безупинної частини:

.

Дискретну передатну функцію розімкнутої системи знаходимо відповідно до методики, викладеної вище:

. (5)

Різницеве рівняння розімкнутої системи визначаємо, у разі потреби, безпосередньо з (5):

Знаючи W (z), легко знайти основну передатну функцію замкнутої системи:

. (6)

Динамічні процеси в замкнутій імпульсній системі описуються таким різницевим рівнянням, отриманим з (6) шляхом переходу до оригіналів:

.

2. Оцінка стійкості імпульсної автоматичної системи

Необхідною умовою працездатності імпульсної системи є її стійкість. Відомі з попередніх лекцій основні визначення стійкості безупинних систем застосовні і до імпульсних систем, але з урахуванням ряду особливостей цих систем.

Звернемося до основного формулювання умови стійкості: імпульсна система стійка, якщо її власний рух з часом загасає.

Як уже відзначалося, на практиці часто обмежуються визначенням дискретної функції X_ВИХ(n) на виході системи. Це рішення можна одержати, наприклад, з формули (4) у вигляді суми вільної і змушеної складової:

Таким чином, умову стійкості системи варто записати так:

Оцінку стійкості імпульсної системи, як і безупинної, звичайно роблять на підставі дослідження характеристичного рівняння замкнутої системи, яке одержують з (3):

(7)

Це алгебраїчне рівняння має m коренів z_i на площині z. Але, оскільки перемінна z з’явилася в зв’язку з підстановкою, то кожен корінь z_i зв’язаний з коренями p_i на площині p залежністю

Легко помітити, що нульовому кореню, наприклад, p₁=0, відповідає корінь z_i=1, а кореням p_t з негативними дійсними частинами відповідають корені:

Тепер можна дати формулювання математичної умови стійкості: імпульсна автоматична система стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння (7) лежать усередині кола одиничного радіуса, побудованого на початку координат комплексної площини z (рис. 1, точки z₁, z₂, z₃, z₄, z₅).

Якщо хоча б один з коренів лежить на колі з радіусом R = 1, то система знаходиться на межі стійкості (рис. 2, точка z₆).

За наявності коренів система хитлива (рис. 1, точка z₇).

Рисунок 2 — Комплексна площина Z

Визначення коренів характеристичного рівняння (7) при m 3 поєднано з відомими труднощами. Тому на практиці знаходять застосування непрямі оцінки — критерії якості, що дозволяють оцінювати стійкість імпульсних систем без визначення коренів.

До імпульсних систем можна застосувати кожен з відомих критеріїв стійкості безупинних систем. Однак для цього попередньо необхідно зробити білінійне перетворення полінома М (z) у поліном М () за формулою

. (8)

Таке перетворення дозволяє відобразити одиничне коло площини Z (рис. 2) у ліву частину комплексної площини p, аналогічну області стійкості безупинних систем на площині p.

До характеристичного рівняння М () = 0, що також має порядок т, застосовні алгебраїчні критерії стійкості І. А. Вишнєградского і Гурвіца. Оцінимо стійкість двох конкретних систем.

Приклад 1. Імпульсна система першого порядку має характеристичне рівняння

.

Після підстановки (8) одержимо

або Система першого порядку стійка, якщо коефіцієнти її характеристичного рівняння позитивні:

.

Досліджуємо стійкість імпульсної системи з передатною функцією (6) (рис.2).

Характеристичні рівняння цієї системи Звідси одержуємо дві умови стійкості:

.

Друга умова розкриває важливу властивість досліджуваного класу систем: стійкість імпульсної системи залежить не тільки від загального коефіцієнта передачі в розімкнутому стані k_v, як це має місце і у безупинних системах, але і від періоду дискретності Т: чим більше Т, тим складніше забезпечити стійкість системи, при незмінному k_v.

Приклад 2. Характеристичне рівняння імпульсної системи другого порядку Після переходу до перемінного одержуємо Система стійка, якщо коефіцієнти її характеристичного рівняння позитивні:

Ці три нерівності дозволяють оцінити стійкість імпульсної системи.

Досліджують стійкість систем третього і вищих порядків за допомогою критерію Гурвіца.

3. Якість процесів у лінійних імпульсних системах

Основні показники якості процесів в імпульсних системах такі ж, як і в безупинних автоматичних системах: час регулювання t_p, величина перерегулювання і кількість перерегулювань n (показники якості перехідного процесу); точність роботи систем у сталих режимах.

У чому ж особливості дослідження якості імпульсних автоматичних систем?

Оцінюють показники якості перехідного процесу роблять за імпульсною перехідною функцією системи h (пТ) — реакції на одиничну східчасту дискретну функцію Х_вх(пТ) — 1(пТ).

Зображення реакції системи в смислі Z-перетворення знаходять за (1)

Оскільки зображення одиничної дискретної функції

то зображення дискретної перехідної функції імпульсної системи

Як видно з цієї формули, зображення можна подати в загальному випадку у вигляді відношення двох поліномів.

Отже, для того, щоб знайти Н (z), досить знати передатну функцію замкнутої системи Ф (z).

Далі, необхідно по зображенню знайти оригінал h (nТ), тобто здійснити операцію зворотного Z-перетворення. Цю задачу часто вирішують методом розкладання функції в степеневий ряд по негативних ступенях z (діленням полінома чисельника на поліном знаменника). Коефіцієнти отриманого ступеневого ряду дорівнюють дискретним значенням імпульсної перехідної функції в моменти часу t — пТ. Інший метод вимагає розкладання Н (z) на прості дроби.

Розглянемо на прикладі методику оцінки показників якості перехідних процесів імпульсної системи, зображеної на рис. 1, при різних значеннях її параметрів к_v і Т. Зображення перехідної функції системи з урахуванням (8)

.

При kv=1,5 зображення перехідної функції системи У результаті ділення чисельника на знаменник знаходимо:

.

Коефіцієнти ступеневого ряду визначають такі значення дискретної перехідної функції-оригіналу:

і т.д.

Графік перехідної функції для цього випадку зображений на рис. 3, а. Аналіз графіка дозволяє визначити показники якості перехідного процесу: t_p = 5 Т сек; = 50%; п = 4.

Очевидно, що для зменшення величини перерегулювання необхідно зменшувати добуток kv.

Рисунок 3 — Перехідні функції імпульсної системи

2. При к _v T =1 зображення перехідної функції системи

.

Дискрети перехідної функції:

h (0)=0; h (t)=1; h (2T)=1.

З графіка перехідної функції, поданого на рис. 1. б, видно, що при k_v T = 1 у системі має місце оптимальний по швидкодії перехідний процес, оскільки він завершується за один період дискретності Т без перерегулювання.

3. При k_v T =0,5 маємо:

.

Звідси знаходимо:

Графік цієї функції, зображений на рис. 1, в, близький до експоненти. Час регулювання в цьому випадку t_p = 5Тсек.

Проведений аналіз дозволяє зробити важливий висновок про те, що показники якості перехідного процесу імпульсної системи істотно залежать від величини добутку коефіцієнта передачі к_у на період дискретності T.

Точність імпульсної системи оцінюється величиною помилки в сталих режимах. Для розрахунку помилки необхідно знати зображення впливу, що задається, і передатну функцію помилки Ф_f (z). Методика обчислення дискретної функції е (пТ) аналогічна викладеної вище.