Розрахунок електричного колу

1. Завдання для курсової роботи

Електричне коло, схема якого показана на рисунку 1.1, вмикається на джерело постійної напруги. Необхідно:

імпульс відео прямокутний рівняння

— визначити початкові умови та початкові значення перехідного процесу;

— скласти та розв’язати диференційне рівняння;

— визначити перехідні та імпульсні характеристики відносно струму кола та напруг на його елементах і побудувати їх графіки;

— за допомогою одиничних функцій записати вираз для прямокутного відео імпульсу із заданими амплітудою та тривалістю;

— визначити реакцію кола на дію цього відео імпульсу;

— побудувати графіки відео імпульсу, струму та напруг, що спричиняються на елементах кола при перехідному процесі.

2. Виконання завдання

2.1 Визначення початкових умов та початкових значень перехідного процесу

Короткі відомості з теорії

Електричне коло, що знаходиться в деякому стані, може перейти в інший стан, наприклад, із вимкнутого у ввімкнутий, тобто змінюється режим електричних кіл. Зміну стану електричного кола називають комутацією.

Перехідними називають електромагнітні процеси, що виникають в електричному колі під час переходу від одного усталеного режиму до іншого. При цьому розглядають усталений та перехідний режими (рисунок 2.1).

Дослідження перехідних процесів здійснюють на підставі двох законів комутації.

За першим законом в початковий момент після комутації струм, що протікає через індуктивність i_L(t = + 0), залишається таким же, яким він був безпосередньо до комутації i_L(t = - 0), або i_L(t = - 0) = i_L(t = 0) = i_L(t = + 0), а потім плавно змінюється.

За другим законом в початковий момент після комутації напруга на ємності u_c(t = + 0) залишається такою ж, якою вона була безпосередньо до комутації u_ci (t = — 0), або u_c(t = - 0) = u_c(t = 0) = u_c(t = + 0), а потім плавно змінюється.

Відмітимо, що в електричних колах з ідеалізованими зосередженими параметрами стрибком можуть змінюватись:

— струми, що протікають через активні опори та ємності;

— напруги, що спричиняються на активних опорах та індуктивностях.

Значення струму, що протікає через індуктивність, та напруги на ємності до комутації, тобто в момент часу t = - 0, називають початковими умовами. Якщо до комутації запас енергії, що мають всі інерційні елементи електричного кола (L та C), дорівнює нулю, то початкові умови називають нульовими. Якщо ж до комутації хоча б один інерційний елемент електричного кола має запас енергії, що не дорівнює нулю, то початкові умови називають ненульовими.

При нульових початкових умовах, тобто, коли i_L(t = - 0) = 0 та u_c(t = - 0) = 0, індуктивність в початковий момент після комутації рівнозначна розриву електричного кола, а ємність рівнозначна короткому замиканню.

При ненульових початкових умовах, тобто, коли i_L(t = - 0)? 0 та u_c(t = - 0, індуктивність в початковий момент після комутації рівнозначна джерелу струму, а ємність рівнозначна джерелу електрорушійної сили.

Початкові значення — це значення усіх струмів та напруг електричного кола безпосередньо після комутації, тобто в момент часу t = + 0.

Початкові значення ділять на залежні та незалежні. За незалежні приймають початкові значення i_L(t = + 0) і u_c(t = + 0), а також їх (n — 1) похідних. Залежними називають значення решти електричних величин та їх (n — 1) похідних.

Для визначення початкових умов і початкових значень необхідно:

— виконати аналіз і (при необхідності) накреслити схему електричного кола для першого усталеного режиму (до здійснення комутації), передбачаючи, що опір індуктивності постійному струму дорівнює нулю, а ємності - нескінченості;

— на підставі законів Ома та Кірхгофа визначити початкові умови, коли i_L(t = - 0) та u_c(t = - 0) для першого усталеного режиму;

— на підставі першого та другого законів комутації визначити незалежні початкові значення i_L(t = + 0) і u_c(t = + 0), а також їх (n — 1) похідних;

— виконати аналіз і (при необхідності) накреслити схему електричного кола для моменту часу t = + 0, замінивши при цьому котушку індуктивності ідеальним джерелом струму, величина струму якого дорівнює I_L = i_L(t = +0), а внутрішній опір r_L = ?. Ємність замінити ідеальним джерелом електрорушійної сили, значення якої дорівнює Е_с = - u_c(t = +0), а внутрішній опір якого r_c = 0;

— на підставі законів Ома та Кірхгофа визначити необхідні залежні початкові значення для моменту часу t = + 0.

Виконання розрахунків

Визначаємо початкові умови для моменту часу t = - 0 відносно напруги на ємності (рисунок 1.1). Оскільки до комутації енергія в електричному полі ємності була відсутня, то і початкові умови є нульовими.

Визначаємо незалежні початкові значення для моменту часу t = + 0. На підставі другого закону комутації маємо .

Для моменту часу t = + 0 складемо схему заміщення (рисунок 2.2) та визначаємо залежні початкові значення.

Оскільки передбачається, що комутація здійснюється миттєво, тобто час комутації дорівнює нулю, то частота коливань в момент комутації t = + 0 дорівнює нескінченості (). Тому для цього моменту часу ємність замінюємо джерелом електрорушійної сили, значення якої дорівнює, та внутрішнім опором .

На підставі цієї схеми за законом Ома визначаємо залежні початкові значення

2.2 Складання та розв’язування диференційного рівняння

Короткі відомості з теорії

Аналіз перехідних процесів в електричних колах з постійними значеннями параметрів R, L, C базується на використанні законів Кірхгофа та Ома для миттєвих змінних електричних величин, що застосовуються до будь-якого стану електричного кола. Одержані на їх підставі диференційні рівняння, що моделюють перехідні процеси, після розв’язання дають можливість визначити значення струмів і напруг у будь-який момент часу. Постійні інтегрування визначаються на основі початкових умов процесу за допомогою законів комутації.

При складанні диференційних рівнянь відносно шуканої функції зручно використовувати вирази (таблиця 1.1), що встановлюють зв’язок між миттєвими значеннями струмів та напруг на окремих елементах електричного кола.

Для складання диференційного рівняння відносно шуканої функції необхідно:

— за законами Кірхгофа скласти систему рівнянь (багатоконтурне коло) або одне рівняння (одноконтурне коло) миттєвих значень для схеми після комутації;

— перетворити отримані рівняння відносно шуканої функції, використовуючи зв’язки між миттєвими значеннями струмів та напруг за виразами, поданими в таблиці 1. Перетворення здійснювати до отримання рівняння відносно шуканої функції.

Порядок диференційного рівняння визначається порядком електричного кола, що у свою чергу визначається кількістю інерційних елементів L, С, що запасають чи віддають енергію незалежно один від одного.

Перехідні процеси в електричних колах описуються лінійним неоднорідним диференційним рівнянням, яке для кола порядку n має вигляд

(2.1)

В розгорнутому вигляді вираз (2.1) можна подати таким чином

(2.2)

Примусова складова залежить від схеми кола, його параметрів та характеру зовнішньої дії.

Таблиця 2.1 — Вирази зв’язку між миттєвими значеннями струмів та напруг на окремих елементах електричного кола

де — реакція (відгук) кола на зовнішню дію (напруга чи струм);

— зовнішня дія (напруга чи струм);

— сталі коефіцієнти диференційного рівняння, що визначаються параметрами кола та конфігурацією його схеми;

— похідні реакції кола і зовнішньої дії порядку і та j відповідно.

Із математики відомо, що рівняння (2.2) має розв’язок вигляду

(2.3)

де — вільна складова, яка становить собою загальний розв’язок однорідного диференційного рівняння (рівняння (2.2) без правої частини);

— примусова складова, яка становить собою частковий розв’язок диференційного рівняння (рівняння (2.2) з правою частиною).

Складання рівняння (2.2) та пошук його рішення вигляду (2.3) називають класичним часовим методом аналізу електричних кіл.

Вона визначається у другому усталеному режимі (рисунок 2.1). При цьому використовують закони Ома та Кірхгофа, а також властивості послідовного та паралельного з'єднань елементів кола. В загальному вигляді примусова складова описується виразом

.

Вільна складова визначається шляхом розв’язування однорідного диференційного рівняння вигляду

(2.4)

де n — порядок диференційного рівняння;

— корні характеристичного рівняння;

— сталі інтегрування.

Характеристичне рівняння отримують із однорідного диференційного рівняння порядку n

.

Корені характеристичного рівняння для пасивних електричних кіл зажди або дійсні від'ємні, або комплексні з від'ємною дійсною частиною. Фізично це пояснюється тим, що вільний процес здійснюється шляхом використання накопиченої елементами L та С енергії.

З плином часу ця енергія витрачається на незворотні втрати (перетворюється в теплоту на активних опорах).

Сталі інтегрування визначають за початковими значеннями шуканої функції та її похідних до порядку (n-1) при t = + 0.

Після диференціювання виразу (2.4) послідовно (n-1) раз для t = + 0 отримаємо систему рівнянь відносно

(2.5)

В правій частині системи рівнянь (2.5) знаходяться початкові значення та похідні від примусової складової. Після їх визначення за методикою, описаною в третьому питанні, знаходяться сталі інтегрування. Після визначення та їх підставлення у вираз (2.3) отримаємо аналітичний вираз шуканої функції (струму чи напруги) для довільного моменту часу, як для перехідного, так і для усталеного режиму.

Виконання розрахунків

Визначаємо примусову складову напруги на ємності для часу

а також та. Оскільки при ємність зарядиться, то її внутрішній опір сталому струму буде рівним (рисунок 2.3) нескінченості.

. Тоді , .

За другим законом Кірхгофа Тому

За другим законом Кірхгофа для кола після комутації маємо

(2.6)

Складемо диференційне рівняння відносно напруги на ємності. Струм кола та напруга на активному опорі визначаються виразами (таблиця 2.1)

.

Після підставлення цих виразів у співвідношення (2.6) отримаємо що становить шукане диференційне рівняння.

Розв’язувати це рівняння будемо на підставі виразу

. (2.7)

Складемо характеристичне рівняння та визначимо його корінь

.

Звідки. Отже

(2.8)

За наведеними вище значеннями параметрів стала кола дорівнює мс.

Сталу інтегрування А визначимо шляхом підставлення у вираз (2.7) момент часу. Маємо або, звідки В.

Після підставлення обчислених значень у вираз (2.8) знаходимо

В. (2.9)

На підставі даних таблиці 2.1 отриманий вираз дає змогу визначити закони зміни струму в колі та напруги на резисторі

А, (2.10)

В. (2.11)

2.3 Визначення перехідних та імпульсних характеристик відносно струму кола та напруг на його елементах і побудова їх графіків

Короткі відомості з теорії

Часові характеристики (перехідна та імпульсна) базуються на одиничній та дельта функціях.

Одинична (рисунок 2.3, а) функція (функція Хевісайда) визначається виразом

.

Розглядають одиничну функцію із запізненням (рисунок 2.3, б)

та випередженням (рисунок 2.3, в)

Одинична функція володіє двома важливими властивостями формування. Перша властивість полягає в тому, що при множенні неперервної функції (рисунок 2.4, а) на одиничну функцію (рисунок 2.4, б) формується розривна функція (рисунок 2.4, в), тобто

.

Друга властивість полягає в тому, що при множенні сталого числа А

(рисунок 2.4, а) на одиничну функцію (рисунок 2.4, б) формується ступінчаста функція (рисунок 2.4, в), яку називають функцією вмикання, тобто

.

Дельта-функція (функція Дірака) — така функція, яка всюди дорівнює нулю, окрім моменту часу, де вона перетворюється в нескінченість (рисунок 2.6, а), тобто

. (2.12)

Дельта-функція може бути із запізненням (рисунок 2.6, б)

та із випередженням (рисунок 2.6, в)

.

Дельта-функція відноситься до узагальнюючих чи особливих функцій становить собою зручну математичну модель таких процесів, що швидко протікають, як вмикання та вимикання напруги, вибух, удар і т. п. Разом з тим інтеграл від цієї функції (що характеризує, наприклад, роботу струму чи сили) повинен відрізнятись від нуля. Прикладом таких явищ може бути коротке замикання в електричному колі, коли струм в ньому практично миттєво зростає дуже великого значення, а потім швидко зменшується до нуля.

Такий процес супроводжується значними затратами енергії. Для математичного опису таких імпульсних процесів використовується дельта-функція.

Розглядають три властивості дельта-функції.

Перша властивість полягає в тому, що

(2.13)

тобто площина, обмежена дельта-функцією, дорівнює одиниці.

Математично вирази (2.12) та (2.13) є несумісними (за класичним визначенням інтеграл від функції (2.13) не існує). Тому дану властивість можна розглядати як границю прямокутного імпульсу тривалістю (рисунок 2.7) та амплітудою при .

Дійсно, площина такого імпульсу дорівнює

а границя .

Таким чином, дельта-функція становить собою імпульс нескінченно малої тривалості та нескінченно великої амплітуди. Фізично це означає, що тривалість дельта-функції значно менше тривалості досліджуваного електричного кола, тобто і тривалості перехідного процесу, а амплітуда імпульсу є достатньою, щоб такий процес виник при його дії.

Друга властивість отримала назву фільтрації. Вона полягає в тому, що

або ,

тобто, якщо під інтегралом неперервна функція множиться на дельта-функцію, то значення неперервної функції стають рівними нулю за винятком тих, де дельта-функція є визначеною.

Третя властивість полягає в тому, що тобто добуток неперервної функції на дельта-функцію дорівнює їх добутку в точці визначення дельта-функції.

імпульс відео прямокутний рівняння

або ,

Між одиничною та дельта-функцією існує зв’язок, який визначається виразом

або .

Часові характеристики електричних кіл становлять собою відгуки цих кіл на типові дії - на одиничну функцію та дельта-функцію — при нульових початкових умовах. Відповідно розглядають перехідну та імпульсну характеристики.

Перехідною характеристикою називають відгук електричного кола на дію одиничної функції при нульових початкових умовах. Оскільки при, то і при. Це аналітично виражається множенням перехідної характеристики на одиничну функцію. Тут наявність множника тільки обмежує область існування функції від до, не впливаючи на характер її зміни.

Розмірність перехідної характеристики залежить від розмірності вхідної дії та відгуку і визначається відношенням розмірності вихідної величини до розмірності вхідної дії. Види перехідних характеристик залежно від розмірності вхідних та вихідних величин подано в таблиці 2.2.

По вигляду перехідної характеристики можна визначити деякі властивості та параметри електричних кіл.

Імпульсною характеристикою електричного кола називають його відгук на дію дельта-функції при нульових початкових умовах.

Оскільки при і дорівнює нулю, якщо та, то при. При може бути нерівною нулю.

Це пояснюється тим, що в момент часу, тобто в момент електричного удару по електричному колу, який триває дуже малий час, в колі може накопичитись електрична чи магнітна енергія. Дія цієї енергії може викликати появу струмів чи напруг на виході кола, тобто імпульсна характеристика може не дорівнювати нулю і після. Вигляд залежить від параметрів та конфігурації електричного кола.

Оскільки дельта-функція визначається похідної від одиничної функції, то імпульсна характеристика є похідною від перехідної характеристики або з врахуванням області існування

Таким чином імпульсна характеристика електричного кола дорівнює першій похідній від перехідної характеристики За виглядом імпульсної характеристики можна приймати рішення про деякі властивості та параметри електричного кола.

.

Таблиця 2.2 — До поняття перехідної характеристики електричного кола

Після диференціювання останнього виразу отримаємо

.

На підставі третьої властивості дельта-функції друга складова останнього виразу не буде дорівнювати нулю тільки при тобто

.

Таким чином можна визначити імпульсну характеристику при відомій перехідній характеристиці. В останньому рівнянні добуток визначає вільну складову перехідного процесу, а — його примусову складову. Отже перехідна характеристика забезпечує можливість опису як вільної, так примусової складової перехідного процесу, а імпульсна характеристика — тільки вільної складової.

Виконання розрахунків

Методика визначення перехідної характеристики аналітичним методом аналогічна методиці визначення відгуку кола на дію сталої напруги, тобто часові характеристики визначаються класичним методом, але при цьому необхідно мати на увазі нульові початкові умови. Різниця полягає тільки в тому, що в даному випадку стала напруга обирається рівною 1 В.

Так, наприклад, якщо відгуки кола RC на сталу напругу мають вигляд

, .

то при В аналітично отримаємо вирази для перехідних характеристик кола вигляду

, .

При відомих перехідних характеристиках легко визначити вирази для імпульсних характеристик. Так, наприклад, якщо, то

.

З врахуванням області існування перехідної характеристики отримаємо

.

Аналогічно отримуємо імпульсні характеристики відносно струму кола та напруги на резисторі

.

Для аналізу отриманих результатів побудуємо графіки відповідних перехідних та імпульсних характеристик Рисунок 2.8 Рисунок 2.9

Рисунок 2.10 Рисунок 2.11

Рисунок 2.12 Рисунок 2.13

Таблиця 2.3 — До побудови часових характеристик електричного кола з послідовно з'єднаними RC елементами

2.4 За допомогою одиничних функцій записати вираз для прямокутного відео імпульсу тривалістю с

Короткі відомості з теорії

Вище показано, що при множенні одиничної функції на стале число можна отримати ступінчасту функцію. Якщо взяти різницю між одиничною функцією 1 (t) та одиничною функцією із запізненням 1 (t-ф_і), то можна створити прямокутний відео імпульс одиничної амплітуди та тривалістю ф_і, а при множенні цієї різниці на стале число U₀ можна створити відповідну амплітуду. Таким чином вираз для шуканого відео імпульсу можна записати у вигляді

.

Виконання розрахунків

За вихідними даними необхідно створити відео імпульс амплітудою U₀ = 67 В та тривалістю с.

Таблиця 2.4 — До визначення реакції кола на відео імпульс

2.5 Визначення реакції кола на дію відео імпульсу

імпульс диференційний рівняння струм

Короткі відомості з теорії

При відомій перехідній характеристиці реакцію досліджуваного кола на вхідну дію можна визначити виразом

.

Виконання розрахунків

Враховуючи вище наведені вирази для перехідних характеристик та відео імпульсу, напруга, що спричиняється на ємності і резисторі, та струм кола можна відповідно записати у вигляді:

;

;

.

Таблиця 2.5 — Аналіз реакції кола на початок вхідної дії

Рисунок 2.14 Рисунок 2.15

Рисунок 2.16 Рисунок 2.17

Рисунок 2.18

Таблиця 2.6 — Аналіз реакції кола після закінчення вхідної дії

Рисунок 2.19 Рисунок 2.20

Рисунок 2.21

Висновки

1. При вмиканні електричного кола з послідовно з'єднаними резистор;

ром та ємністю перехідний процес має:

— нульові початкові умови;

— нульові незалежні початкові значення;

— ненульові залежні початкові значення, а саме струм у колі для моменту часу становить 0,67 А, а напруга, що спричиняється на резисторі, — 52 В;

— примусову складову В;

— диференційне рівняння вигляду В, розв’язок якого відповідає формулі .

2. Досліджуване електричне коло з послідовно з'єднаними RC елементами має:

— сталу кола с;

— перехідну характеристику відносно напруги на ємності вигляду ;

— перехідну характеристику відносно напруги на резисторі вигляду ;

— перехідну характеристику відносно струсу в колі вигляду См;

— імпульсну характеристику відносно напруги на ємності вигляду ;

— імпульсну характеристику відносно напруги на резисторі вигляду ;

— імпульсну характеристику відносно струму в колі вигляду .

3. При вмиканні досліджуваного електричного кола на джерело постійної напруги В:

— напруга, що спричиняється на ємності, описується виразом ;

— напруга, що спричиняється на резисторі, описується виразом ;

— струм в колі описується виразом .

4. Реакція досліджуваного електричного кола на прямокутний імпульс амплітудою В та тривалістю с має вигляд стосовно:

— напруги на резисторі В;

— напруги на ємності В;

— струму в колі А.

5. Всі графіки, що характеризують зміну з часом відповідної реакції кола та часових характеристик, змінюються за законом експоненти, при цьому:

— на початку вхідної дії напруга на ємності зростає від нуля до 67 В;

— на початку вхідної дії напруга на резисторі спадає від 67 В до нуля;

— на початку вхідної дії струм в колі спадає від 0,67 А до нуля;

— після закінчення вхідної дії напруга на ємності спадає від 67 В до нуля;

— після закінчення вхідної дії напруга на резисторі має протилежний знак і спадає від -67 В до нуля;

— після вхідної дії струм в колі має протилежний знак і спадає від -0,67А до нуля.

6. Для заданих даних досліджуване електричне коло є колом диференціювання.