Мінімізація логічних функцій

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА

Мінімізація логічних функцій

1. Мета роботи: засвоїти типові прийоми при логічному проектуванні цифрових блоків — навчитися мінімізувати логічні функції, задані різними способами.

2. Методичні вказівки

Виконання даної роботи відбувається у два етапи і здійснюється після проходження лекційного курсу з теми. На першому етапі завдання роботи виконуються в лабораторії під керівництвом викладача, на другому етапі індивідуальні вхідні дані обробляються вдома.

3. Короткі теоретичні відомості

Важливим різновидом систем обробки сигналів є так звані цифрові системи (ЦОС). Такі системи мають n двійкових входів, l двійковий внутрішній стан та m двійкових виходів. Кількість варіантів входів, внутрішніх станів та виходів — кінцеві множини, тому такі системи називають кінцевими автоматами (КА), або цифровими автоматами (ЦА).

Інформаційним ядром кожного ЦА є так звана комбінаційна схема (КС), яку можна вважати за ЦА без внутрішньої пам’яті, бо комірки пам’яті (КП) мають уніфіковану функцію — запам’ятовувати сигнал на вході та видавати цей сигнал на вихід.

Комбінаційні схеми реалізують системи логічних функцій (ЛФ), які складаються з m окремих ЛФ (за кількістю виходів), кожна з яких залежить від n двійкових аргументів (за кількістю входів). Вони задаються так званими таблицями істинності (ТІ), які складаються з двох частин — вхідної (n стовбців, 2ⁿ рядків) та вихідної (m стовпчиків, 2ⁿ рядків). Нижче наведений зразок ТІ для КС із n входами та m виходами.

Таблиця істинності для КС із n входами та m виходами

Зручно розглядати кожний вихід КС, тобто кожний стовпчик вихідної частини ТІ й, отже, кожну ЛФ від n аргументів окремо. При цьому кожна ЛФ однозначно визначається кількістю аргументів n і її номером N (безпосередньо у двійковій або будь-якій іншій системі числення) у множині ЛФ із n аргументами, кількість яких складає. Для визначеності, у стовпчику ТІ, який відповідає ЛФ, верхній рядок буде відповідати молодшому розряду числа N, тобто номера ЛФ, а весь відповідний стовпчик є двійковим номером ЛФ. Уведена нумерація дозволяє компактно описувати всю множину L (n), а за номером ЛФ легко відновити для неї ТІ.

Крім табличного й нумераційного завдання ЛФ застосовуються різні аналітичні форми подання ЛФ. З огляду на наявність різних функціонально повних систем ЛФ, одну і ту саму ЛФ, задану, наприклад, у вигляді ТІ, можна записувати по-різному. Проте, у булєвій алгебрі існують деякі канонічні форми запису ЛФ. Серед них найбільш уживана диз’юнктивна нормальна форма (ДНФ).

Диз’юнктивною нормальною формою ЛФ називається диз’юнкція будь-якої кінцевої множини попарно різних елементарних кон’юнкцій. Елементарною кон’юнкція називається, якщо вона є добутоком попарно різних аргументів, над частиною яких можуть бути поставлені знаки інверсії. До елементарних кон’юнкцій відносять константу 1, а також вирази, що складаються із однієї букви.

Серед усіляких ДНФ, які відповідають заданій ЛФ, варто виділити так звану досконалу диз’юнктивну нормальну форму (ДДНФ). ДДНФ являє собою диз’юнкцію, що складається тільки з повних кон’юнкцій, тобто кон’юнкцій, що містять усі n аргументів у прямій або інверсній формі. Зазначені повні кон’юнкції ще називаються конституентами одиниці.

цифровий логічний сигнал де знак ~ позначає тут і далі наявність, або відсутність знака інверсії.

Для будь-якої конституенти одиниці існує один і тільки один набір аргументів, на якому ця конституента згортається в одиницю.

Будь-яка ЛФ має одну й тільки одну ДДНФ, яку можна записати у вигляді:

де K_j — конституенти одиниці, що згортаються в одиницю на j-ому наборі аргументів; С_j — коефіцієнти, рівні 0 або 1, відповідно до того, задається ЛФ на j-ому наборі одиницею або нулем.

4. Програма виконання роботи

Використовуючи знання, отримані в курсі лекцій з предмету «Цифрова обробка сигналів», виконати наступні завдання:

Спростити заданий булєвий вираз:

За заданим десятковим номером М логічної функції та кількості її аргументів n:

побудувати таблицю істиності ЛФ;

мінімізувати ЛФ за допомогою карти Карно;

За заданою множиною М1 одиничних наборів, множині М0 нульових наборів логічної функції та кількості її аргументів n:

побудувати таблицю істинності ЛФ;

раціонально довизначити ЛФ за допомогою карти Карно;

записати МДНФ у базисах І-НІ та АБО-НІ;

сформувати схеми реалізації ЛФ у цих базисах;

отримати абсолютно-мінімальну форму.

5. Склад звіту

Звіт із лабораторної роботи повинен містити:

· титульний лист;

· мету роботи;

· формулювання індивідуального завдання;

· результати виконання завдання, а саме:

— докладне викладення розрахунків спрощення заданого булєвого виразу та результат спрощення;

— таблицю істинності, карту Карно, записати спрощений вираз;

— таблицю істинності, довизначену карту Карно, МДНФ, абсолютно-мінімальну форму;

· висновки.

6. Зразок виконання роботи

Мета роботи: навчитися спрощувати булєві рівняння, будувати таблицю істинності ЛФ, мінімізувати ЛФ за допомогою карт Карно, синтезувати логічні схеми в базис І-НЕ і АБО-НІ.

Завдання:

Варіант №.

Спростити заданий булєвий вираз:

За заданим номером М логічної функції і числу її аргументів n (кількість аргументів — 4, номер ЛФ — 27 151) побудувати таблицю істинності

_

S_дднф = 8*4 = 32

За заданою множиною М1 одиничних наборів, множиною М0 нульових наборів логічних функцій і числу її аргументів n побудувати таблицю істинності ЛФ:

n = 5

M1 {2,4,20,25,30}

M0 {3,5,18,26,27}

f (x) =

S_дднф = 5*5 = 25

Раціонально довизначати ЛФ за допомогою карти Карно.

Висновок: під час виконання лабораторної роботи я ознайомилася з методами спрощення логічних функцій, навчилася формувати таблиці істинності ЛФ та карти Карно, отримала знання про спрощення булєвих виразів різними методами.