Ідеальна оптична система

Ідеальна оптична система

Вступ

Оптичні прилади та системи в значній мірі визначають науково-технічний прогрес у всіх областях нашої діяльності. Їх використовують для дослідження природних ресурсів, в екології, медицині та генної інженерії, металургії, в машинота приладобудуванні, кінематографії, телебачення і зв’язку, космонавтиці і астрономії, сільському господарстві, в хімії, ядерній енергетиці, поліграфії і в інших галузях. Оптичні системи широко застосовуються в приладах отримання та переробки інформації, управління сучасною технікою і технологією. Завдання автоматизації, підвищення точності і швидкодії, а також розширення діапазону дії в багатьох випадках успішно вирішуються за допомогою оптичних систем. Тому тема дипломної роботи є актуальною.

Виготовлення оптичних електронних приладів розвиваються шляхом використання автоматизації на основі засобів мікроелектроніки та обчислювальних машин; широкого використання лазерної техніки; застосування перспективної бази (приймачів випромінювання, нових оптичних матеріалів, дифракційних, градієнтних, волоконно-оптичних та оптико-акустичних елементів, модуляторів на твердих і рідких кристалах, плівкових поляризаторів тощо); широкого впровадження автоматизованого проектування та агрегатно-модульної структури приладів; автоматизації збирання та юстування приладів; вдосконалення самонастроюючих систем (адаптивної оптики); розробки і використання прогресивних технологічних процесів.

Зараз наші астрономи дістали можливість проектувати і здійснювати астрономічні інструменти, які повинні відповідати останньому слову науки і техніки; лише зараз, впродовж найближчих десятиліть, можна буде сподіватися успішно вирішувати найбільш актуальні проблеми сучасної астрономії.

Конструкція інструментів має бути вельми ретельно продумана, а їх виготовлення має бути першокласним по точності; інакше вони народяться на світло застарілими або дуже скоро застаріють, а потрібно пам’ятати, що спорудження кожного значного астрономічного інструменту — це детальне, трудомістке і дороге підприємство, складова великої науково-технічної події в історії астрономії.

Астрономічний телескоп, вперше застосований Г. Галілеєм в 1610 р., є основним інструментом для вивчення Всесвіту. Галілей використовував просту «підзорну трубу» з однією лінзою як об'єктив. Хроматизм такого об'єктиву змусив Гюйгенса і Яна Гевелія (друга половина XVII ст.) будувати дуже мало світлосильні, дуже довгі труби. У 1671 р. І. Ньютон побудував телескоп з дзеркальним об'єктивом, вільним від цього недоліку. У 1758 р. П. Долонд створив вперше двохлінзові ахроматичні об'єктиви, але їх якість була невисокою, а діаметр всього кілька сантиметрів. У 1787 р. У. Гершель побудував рефлектор діаметром 1,22 м, лорд Рос в 1945 р. — діаметром 1,82 м. Ці рефлектори мали металеві дзеркала. Здавалося, рефлектори витіснили рефрактори, проте на початку XIX ст. І. Фраунгофер значно удосконалив лінзовий об'єктив. Рефрактори давали кращі зображення і не вимагали переполіровки темніючих з часом важких металевих дзеркал. Роботи Г. Мерца і А. Кларка дозволили здійснити прекрасні лінзові об'єктиви діаметром до 1 м. Виготовленню ще більших рефракторів ставили межу поглинання світла в товстих лінзах і їх вагові деформації. У 1856 р. Л. Зейдель опублікував свою теорію аберації третього порядку. Її вживання значно полегшило розрахунок складних об'єктивів. Метод Зейделя використовується і понині як перше наближення, так і для аналізу властивостей різних оптичних систем. У 1857 р. Л. Фуко застосував хімічне сріблення скляних дзеркал. Це повністю витіснило важкі металеві дзеркала. На початку XX ст. Г. Річі побудував рефлектори діаметром 1,5 м-кодів (1908 р.) і 2,5 м-кодів (1918 р.). Винахід Дж. Стронгом в 1934 р. алюмініруваня дзеркал ще підвищило ефективність рефлекторів. У 1947 р. в США вступив в буд 5-метровий рефлектор, а в 1976 р. — наш рефлектор діаметром 6 м. Знов здавалося, що в багатовіковому змаганні рефракторів і рефлекторів виграли останні. Але в 1930 р. Б. Шмідт здійснив першу дзеркально-лінзову камеру, що відрізнялася світлосилою, великим полем і першокласною якістю зображень. У 1935 р. Ф. Росс запропонував лінзовий коректор коми до параболічного дзеркала 5-метрового Паломарського телескопа. У 1941 р. Д. Д. Максутов створив меніскові системи, простіші у виготовленні і коротші, ніж система Шмідта. Хоча лінзові елементи використовувалися в рефлекторах ще навіть в XVIII ст. проте ера дзеркально-лінзових телескопів почалася лише з 30-х років нашого століття.

Великі сучасні телескопи діаметром до 10метрів і більше будуються із складеними («мозаїчними») дзеркалами і гнучкими (адаптивними) дзеркалами. Споруджуються системи спільно працюючих телескопів. Такі системи зможуть виконувати спостереження в режимі інтерферометра. Проте принципи оптичних схем, вживаних в них, не залежать від цих конструктивних особливостей.

Тип оптичної системи залежить від призначення телескопа і задається астрономом, який повинен знати властивості, достоїнства і недоліки лінзових, дзеркальних і дзеркально-лінзових телескопів. Оптик-конструктор астрономічних телескопів повинні володіти досвідом, інтуїцією, заснованою на досвіді; але йому необхідно також знати теорію різних класів оптичних систем і методи їх розрахунку. Цим питанням і присвячена дана дипломна робота.

Метою дипломної роботи є вивчення ідеальної оптичної системи, розрахунку ходу променя через оптичну систему, монохроматичних аберацій оптичних систем та 3D моделювання їх.

Для реалізації мети були поставлені наступні завдання:

— сформулювати основні поняття і дати залежності, необхідні для обґрунтування дії оптичних систем;

— описати найважливіші деталі і вузли, що входять до складу цих систем;

— ознайомитись з теорією основних видів оптичних систем;

— поготуватись до вибору принципової схеми оптичної системи і до обґрунтування вихідних даних для її розрахунку (таких, наприклад, як збільшення, кутове або лінійне поле, роздільна здатність, габаритні розміри);

— освоїти основи абераційного розрахунку (абераційну корекцію) оптичних систем (з використанням ЕОМ);

— змоделювати знамениту двох дзеркальну систему Касегрена.

I. Ідеальна оптична система

1.1 Поняття про ідеальну оптичну систему і її властивості. Лінійне збільшення

Ідеальною оптичною системою називають оптичну систему, що відображає кожну точку предмету точкою і що зберігає заданий масштаб зображення. Насправді навіть без урахування дифракції, як правило, реальні оптичні системи не забезпечують утворення абсолютно різкого зображення і його повної відповідності предмету.

При створенні оптичної системи з допустимими відступами від ідеальної використовується уявлення про ідеальне зображення, що отримується при дії ідеальної оптичної системи. Щоб така система перетворювала гомоцентричний пучок променів простору предметів на гомоцентричний пучок променів простору зображень, необхідно виконати наступні умови:

· кожній точці простору предметів повинна відповідати точка простору зображень;

· кожній прямій простору предметів повинна відповідати пряма простору зображень.

Такі відповідні один одному точки і прямі (у тому числі і промені), що знаходяться в різних просторах, називають зв’язаними.

Слід нагадати, що і простір предметів і простір зображень заповнюють весь простір.

Лінійним збільшенням в оптичної системи називають відношення лінійного розміру зображення, перпендикулярного до оптичної осі, до відповідного розміру предмету, також перпендикулярного до оптичної осі;

Для ідеальних оптичних систем з круговою симетрією лінійне збільшення постійне в межах всього поля зображення. Для оптичних систем двоякої симетрії лінійне збільшення різне в двох взаємно перпендикулярних напрямах площині зображення.

1.2 Кардинальні елементи ідеальної оптичної системи

Серед безлічі точок простору предметів є нескінченно віддалені точки. Кожна нескінченно віддалена точка належить пучку паралельних прямих (пучок паралельних прямих Рис. 1. Кардинальні елементи оптичної системи перетинається в нескінченно віддаленій точці)

Безліччю нескінченно віддалених точок є нескінченно видалена площина. Візьмемо в цій площині точку S, що належить оптичній осі (рис. 1). З точки S виходитиме пучок паралельних променів, кожен з яких паралельний оптичній осі, падаючих, наприклад, на заломлюючу поверхню 1 осі симетричної оптичної системи. Ця система, якщо вона ідеальна, в просторі зображень забезпечить отримання осьової точки F' зв’язаною з нескінченно видаленою осьовою точкою. Точку F' називають заднім фокусом оптичної системи.

Площину, що проходить через задній фокус перпендикулярно до оптичної осі, називають задньою фокальною площиною оптичної системи.

Дія оптичної системи з q заломлюючих поверхонь, що відображають, можна розглядати як дія деякої пари умовних зв’язаних площин, перпендикулярних до оптичної осі, лінійне збільшення в яких (рис. 1). Одну з цих площин називають задньою головною площиною оптичної системи, а точку Н' її перетин з оптичною віссю — задньою головною точкою оптичної системи.

Положення задньої головної площини визначається точкою D' перетину продовження променя або самого променя, що йде паралельно оптичній осі в просторі предметів, з продовженням цього ж променя або самого променя, що пройшов оптичну систему і створив в перетині з оптичною віссю задній фокус F'.

Відстань між задньою головною точкою Н' і заднім фокусом F' називають задньою фокусною відстанню оптичної системи .

Приведені визначення можна віднести і до випадку зворотного ходу променя через оптичну систему, тобто променів, що йдуть справа наліво. В цьому випадку іншу площину, зв’язану із задньою головною площиною (у зворотному ході променів), називають передньою головною площиною, а точку Н її перетину з оптичною віссю — передньою головною точкою. Положення передньої головної площини визначається точкою перетину продовження променя або самого променя в зворотному ході (справа наліво), що йде паралельно оптичній осі, з продовженням цього ж променя або самого променя, що пройшов оптичну систему і створив в перетині з оптичною віссю передній фокус F в просторі предметів. З фокусом F зв’язана нескінченно видалена точка S' оптичної осі в просторі зображень.

Площину, що проходить через передній фокус перпендикулярно до оптичної осі, називають передньою фокальною площиною. Відстань f від передньої головної точки до переднього фокуса є передньою фокусною відстанню оптичної системи.

Фокуси, фокальні площини, головні площини, головні точки і фокусні відстані називають кардинальними елементами оптичної системи.

На рис. 1 показано дві пари зв’язаних променів і їх продовжень: SD і D’F'; FD і D’S'. Отже, точки D і D', що знаходяться на головних площинах і розташовані на одній і тій же відстані від оптичної осі, отримані як перетини пари променів, зв’язаних з іншою парою, також є зв’язаними. Звідси слідує підтвердження того, що лінійне збільшення в головних площинах, отже, задня головна точка Н' є зображенням передньої головної, точки H.

Таким чином, головні площини можна визначити як площини, в яких. При висоті h падіння променів в прямому і зворотному ході (рис. 1) отримуємо наступні формули для визначення фокусних відстаней:

; (1)

де — кут між променем, що пройшов оптичну систему, і оптичною віссю в просторі зображень (прямий хід променя); — кут між променем, що пройшов оптичну систему, і оптичною віссю в просторі предметів (зворотний хід променя). При малій висоті h падіння променів при прямому і зворотному ході формули для розрахунку фокусних відстаней приймають вигляд:

; (2)

Ідеальну оптичну систему можна представити нескінченно тонкою. В цьому випадку передня і задня головні площини співпадають, що відповідає умові рівності +1 лінійного збільшення в головних площинах. На вхід такої ідеальної оптичної системи, заданої суміщеними головними площинами, переднім f і заднім f' фокусними відстанями і розділяючого середовища з показниками заломлення і поступає пучок паралельних променів під малим кутом до оптичної осі (рис. l). Цей пучок виходить з однієї нескінченно видаленої точки В простора предметів. Промінь 1 пучка проходить через передній фокус F. Після дії оптичної системи він піде паралельно оптичної осі і перетне задню фокальну площину в точці В', що є зображенням нескінченно видаленої точки В. Промінь 2 проходить через суміщені головні точки (точку Н), утворюючи з оптичною віссю кут падіння, рівний куту .

Рис. 2. Хід паралельного пучка променів через ідеальну оптичну систему Відзначимо, що оптична вісь є нормаллю до всіх поверхонь центрованої оптичної системи, вершини яких у разі нескінченної тонкої системи співпадають з точкою Н. Після дії оптичної системи промінь 2 пройде через точку В', утворюючи з оптичною віссю кут заломлення .

З побудов, виконаних на рис. 1, знаходимо що

отже,

При кут, і тому при малих кутах i '

Оскільки за законом заломлення

. (3)

Отримана рівність дозволяє зробити наступний вивід: відношення фокусних відстаней ідеальної оптичної системи із заломлюючими поверхнями рівне відношенню показників заломлення відповідних середовищ, що знаходяться по обидві сторони від оптичної системи, узятому із знаком «мінус», який указує на розташування фокусів F і F по різні сторони від суміщеного положення головних площин цієї системи.

У тих випадках, коли оптична система знаходиться в однорідному середовищі, наприклад в повітрі),, тобто задня і передня фокусні відстані рівні по абсолютному значенню. 9]

1.3 Залежності між положенням і розміром предмету і зображення

Для отримання залежностей, по яких визначають положення зображень точок, що лежать на оптичній осі, розглянемо виконану на рис. 3 побудову положення точки А, осьової точки, що є зображенням, А, що утворюється ідеальною оптичною системою, заданою кардинальними елементами.

Рис. 3. Схема для виведення формул Ньютона і відрізків Предмет (відрізок у), перпендикулярний до оптичної осі, за основу має точку А. Зображення точки В тій, що є розміром предмету у, виходить в точці В перетини двох променів в просторі зображень, зв’язаних з променями в просторі предметів і що проходять через точку В.

Промінь 1 в просторі предметів паралельний оптичній осі. На задній головній площині в точці М' він міняє свій напрям, і в просторі зображень зв’язаний з ним промінь 1 проходить через фокус F'. Промінь 2 в просторі предметів проходить через точку В і передній фокус F. У точці К цей промінь міняє свій напрям, і в просторі зображень з ним буде зв’язаний промінь 2 паралельний оптичній осі. Таким чином виходить точка В' — зображення крапки В.

Промені 1 і 2, хід яких через систему відомий, називають допоміжними.

Оскільки предмет перпендикулярний до оптичної осі, то його продовження перетинається з передньою головною площиною в нескінченно віддаленій точці, зображення якої розташовується також в нескінченно віддаленій точці задньої головної площини. Отже, зображення предмету лежить на прямої, що проходить через цю нескінченно віддалену точку і крапку В', тобто на прямій, паралельній задній головній площині і відповідно перпендикулярній до оптичної осі. Таким чином, зображення відрізка у (відрізоку' = А’В') перпендикулярне до оптичної осі, а точка А' є зображенням точки А.

Положення точки, А щодо переднього фокусу F визначається відрізкомz, положення крапки А' щодо заднього фокусу F' — відрізком z'.

З розгляду двох пар подібних прямокутних трикутників виходить:. Звідси отримуємо вираз

(4)

який називають формулою Ньютона.

Якщо оптична система знаходиться в однорідному середовищі, то [див, рівність (3)] і формула Ньютона отримає вигляд:

(5)

Положення крапок, А і А' щодо головних площин визначимо відрізками, а і а' відповідно. Тоді з рис. 2 знаходимо, що і. Підставляючи цю рівність у формулу (4), отримаємо вираз для визначення положення зв’язаних точок оптичної осі:

(6)

який називають формулою відрізків, або формулою Гауса. При формула (6) має вигляд:

. (7)

Кожна із формул (4) —(7) при відповідних початкових даних дозволяє визначити положення зображення осьової точки. Це ж завдання вирішується при використанні виразу лінійного збільшення. З рис. 2 випливає, що

. (8)

Замінимо у формулі (8) і на і відповідно. Тоді

; (9)

. (10)

При

(11)

Якщо положення предмета — відрізка у, перпендикулярного до оптичної осі, — задано, наприклад відрізком а, то з формули (9) або (11) получимо значення лінійного збільшення, а із формули (8) — значення тобто розмір зображення. 9] Позначимо відстань між площинами предмета і зображення (між точками, А і А') через L, між головними площинами (між точками Н і Н') через. Тоді при відомих L,, і при будем мати:

(12)

(13)

. (14)

1.4 Кутове збільшення. Вузлові точки

Кутовим збільшенням у оптичної системи називають відношення тангенса кута між променем і оптичною віссю в просторі зображення до тангенса зв’язаного з ним кута в просторі предметів:

(15)

Для нескінченно тонкої ідеальної оптичної системи (рис. 4) .

Використовуючи формули (9) і (10), отримуємо

(16)

Рис. 4. Схема для виведення формул кутового збільшення Для оптичної системи, що знаходиться в однорідному середовищі (), кутове збільшення обернено пропорційне до лінійного збільшення.

Точки предмета і зображення, що лежачі на оптичній осі, для яких, називають вузловими точками оптичної системи.

З формули (16) випливає, що вузлові точки співпадають з головними () у тому випадку, коли оптична система знаходиться в однорідному середовищі.

Якщо оптична система розділяє середовища з різними показниками заломлення n1 і nq+1, то при, тобто в головних площинах (див. рис. 2), і малих кутах і '

(17)

Площини, що проходять через вузлові точки перпендикулярно до оптичної осі, називають вузловими площинами.

Знайдемо положення цих площин для випадку, коли .

На рис. 4 показано положення фокусів F і F' щодо головних точок H і H'.

Положення вузлових точок N (передньою) і N' (задньою) щодо фокусів визначається відрізками і .

З формули (16) при слідує:; крім того, з формули (8) знаходимо:

.

і .

Рис. 5. Вузлові точки оптичної системи Відстань між вузловими точками визначається з рівності (див. рис. 5)

де — відстань між головними точками (головними площинами).

Оскільки, ,, тобто відстань між вузловими точками рівна відстані між головними точками. 14]

1.5 Подовжнє збільшення

Подовжнім збільшенням оптичної системи називають відношення нескінченно малого відрізка, узятого вздовж оптичної осі в просторі зображень, до зв’язаного з ним відрізка в просторі предметів: .

На рис. 5 показані зв’язані відрізки і, границя відношення яких при і є подовжнє збільшення .

Для знаходження відношення продиференціюємо формулу Ньютона по і :

звідки

; .

Таким чином,

. (18)

Зв’язок між лінійним і кутовим збільшенням встановлюється формулою (16), тому із формули (18) отримуємо. Для оптичних систем, які знаходяться в однорідному серидовищі ,. 14]

Рис. 6. Схема для виведення формули подовжнього збільшення

1.6 Побудова ходу променів через оптичну систему, задану кардинальними елементами

Побудова ходу променів для отримання зображення точки і відрізка прямої, що утворюється ідеальною оптичною системою, можна виконати, використовуючи результати обчислень по формулах (4) — (14).

Розглянемо графічне рішення задачі визначення положення і розміру зображення, що утворюється оптичною системою, заданою головними площинами і фокусними відстанями і що знаходиться в однорідному середовищі. Графічна побудова зображень є наочною і у багатьох випадках забезпечує, при зміні умов завдання, просте отримання оптимального рішення.

Приведемо декілька варіантів побудови зображень, заснованих на побудові ходу променів. Заздалегідь відзначимо, що з формули (17) виходить рівність кутів і, утворених променями і і оптичною віссю, за умови, що система знаходиться в однорідному середовищі .

Три варіанти побудови зображення точки при дії оптичної системи, що знаходиться в однорідному середовищі, показані на рис. 6.

Положення зображення точки визначається як точка перетину двох променів в просторі зображень, що проходять через точку предмету. Такими променями в просторі предметів можуть бути промені і і відповідні їм в просторі зображень промені і Цей варіант, показаний також на рис. 2, не має обмежень у вигляді дотримання рівності показників заломлення і .

Другий варіант побудови виконується проведенням променів і в просторі предметів і зв’язаних з ними променів і в просторі зображень, причому промені і паралельні, оскільки кутове збільшення в головних точках, співпадаючих з вузловими, рівне одиниці, тобто .

У третьому варіанті побудови використовуються промені, і, .

Зображення осьової точки, що є основою перпендикуляра, опущеного з точки на оптичну вісь, — точка — виходить як основа перпендикуляра, опущеного з точки на оптичну

Рис. 7. Три варіанта побудови зображення точки при дії оптичної системи, яка знаходиться в однорідному серидовищі вісь.

Рис. 8. Побудова зображення точки для випадку, коли є побудоване зображення іншої точки Знаючи положення зображення точки (точки), можна побудувати зображення будь-якої точки. На рис. 7 показано положення точки отриманоЇ першим варіантом побудови, тобто проведенням променів і, при (див. рис. 6). Осьові точки і є основами відповідних перпендикулярів. Візьмемо осьову точку. З променем, що проходить через точку, зв’язаний промінь продовження якого в перетині з оптичною віссю визначає шукану точку, що є, зображенням точки .

Для отримання зображення точки потрібно провести вже два промені (для точки другим променем була оптична вісь), через предметні точки і відповідні їм зображення. Цими променями на рис. 7 будуть промені 4 і 5, перетин яких в просторі зображень дає точку — зображення точки .

Якщо фокус є зображенням нескінченно віддаленої точки, що належить пучку променів, паралельних оптичній осі, то задня фокальна площина буде множиною зображень нескінченно віддалених точок простору предметів, тобто зображенням нескінченно віддаленої площини. Аналогічно визначається і передня фокальна площина, яка використовується при побудові зображень при зворотному ході променів.

Рис. 9. Побудова зображення відрізання, перпендикулярного до оптичної осі

На рис. 8 показано побудову зображенняпостроение изображения відрізка, перпендикулярного до оптичної осі. Зображення нескінченно віддаленої точки, яка належить паралельним променям і, будет в точке, яка лежить на задній фокальній площині. Зображення точки знаходиться на перетині променя з оптичною віссю. Точка лежит на перпендикулярі проведеному до оптичної осі і визначається перетином його з променем, паралельним променю (, оскільки).

Рис. 10. Побудова зображення поза осьової точки Відстань точки від оптичної осі у фокальній площині з урахуванням того, що, визначається наступною рівністю: .

На рис. 9 зображення відрізка отримано по першому варіанту побудови (див. рис. 6), тобто проведенням променів 1 і 2. Якщо то кути мають різні значення, і в цьому випадку не можна скористатися другим або третім варіантом побудови.

Розглянемо можливість побудови зображення позаосьової точки (точки В) проведенням промення, що проходить через головні точки (див. рис. 9). Відзначимо в передній фокальній площині відрізок FG і в задній фокальній площині відрізок F’R. З рис. 9 випливає, що;. Знайдемо їх відношення.

З рівності (17) випливає, що .

Таким чином показано, що .

Отже, для побудови зображення відрізка, перпендикулярного до оптичної осі, або позаосьової точки окрім одного з променів 1 або 2 проводять зв’язані промені 3 і 3'. Що виходить із задньої головної точки Н' промінь 3' відсікає на сліді задньої фокальної площини відрізок, довжина якого рівна довжині відрізка, відсіченого променем 3 в просторі предметів на сліді передньої фокальної площини.

Викладене вище дозволяє зробити вивід про те, що в оптичній системі, заданій кардинальними елементами, хід променя, що йде через головну крапку, завжди відомий.

Побудову зображень прийнято показувати для нескінченно тонкої оптичної системи. Це виправдовується тим, що у багатьох випадках розмір по напряму оптичній осі простих оптичних систем (окремої лінзи або компоненту, під яким розуміють систему з декількох склеєних лінз) малий в порівнянні з радіусами заломлюючих поверхонь. Поправка на відстань між предметом і зображенням враховується в значенні відстані між головними площинами.

Рис. 11. Варіанти побудови зображень Рис. 12. Приклади побудови зображень при різному розташуванні предмету На рис. 10 показано чотири варіанти побудови зображення у' відрізка у, утворюваного позитивною тонкою системою (f' > 0) при для випадку, коли відрізок у знаходиться перед переднім фокусом F системи.

На рис. 12 представлені приклади побудови зображень у' відрізка у позитивними (рис. 12, а, б) і негативними, тобто при f' < 0 (рис, 12, в — д), нескінченно тонкими системами при різних положеннях відрізка у. Предмет у на рис. 12, б і д уявний. Цей випадок можливий, якщо предмет розглядати як зображення, отримане в результаті дії попередньої оптичної системи, непоказаної на рисунку. 18]

1.7 Зображення похилих площин предметів

Розглянемо один з прикладів дії оптичної системи, коли її оптична вісь не перпендикулярна до площини предметів. У аерофотозніманні процес отримання зображення ділянки земної поверхні виконується в основному при похилому положенні оптичної осі об'єктиву камери щодо вертикалі. Отже, отриманий фотознімок не має постійного масштабу по всьому полі зображення. Для забезпечення певного і постійного масштабу по всьому полі знімка виконується процес фототрансформірованя. При цьому оптична вісь проекційного об'єктиву не перпендикулярна до площини аеронегативу, який є предметом.

На рис. 13, а показаний меридіональний перетин ВС площини предметів, яка складає з оптичною віссю системи кут (кут — двогранний кут між площиною предметів і головними площинами оптичної системи, заданої цими площинами і фокусними відстанями). Знайдемо зображення цієї похилої площини.

Крапка А' є зображенням осьової крапки, А наочній площині. Продовжимо площину предметів до перетину з передньою головною площиною. У меридіональному перетині точкою перетину буде точка Т. Її зображення — точка Т' — виходить з умови, що лінійне збільшення в головних площинах рівне +1. Оскільки точки А' і Т' є зображенням точок, що належать перетину наочної площини, то пряма АТ' буде меридіональним перетином площини зображень.

Двогранний кут між площиною зображень і головними площинами визначається з рівності

або ,

де — лінійне збільшення оптичної системи, що відноситься до прямих предмета і зображень, перпендикулярним до оптичної осі і таким, що проходять через крапки, А і А'.

Зображення точок В і С, а також будь-яких інших, лежачих в похилій наочній площині, виходять за допомогою променів, що проходять через ці точки і передню вузлову точку (в даному випадку співпадаючу з головною) й тих, що не міняють напряму при виході із задньої вузлової (головною) точки оптичної системи.

Меридіональний перетин похилих площин предмету і зображення представляється у вигляді пари зв’язаних променів простору предметів і зображень (умова Чапського). Окремим випадком виконання умови Чапського є зв’язаність площин предметів і зображень, перпендикулярних до оптичної осі.

При поєднанні головних площин, пов’язаному з переходом до нескінченно тонкої оптичної системи (рис. 13, б), всі попередні виводи зберігаються.

На рис. 13, б приймемо точку, А за початок системи координат х, у в похилій наочній площині, а точку А' — за початок координат х', у' в площині зображень, зв’язаній з площиною предметів (рис. 14).

Рис. 13. Похилі площини предмета і зображення Рис. 14. Розгортка похилого квадратного предмета і його похилого трапецевидного зображення Знаючи координати х і у, по наступних формулах можна обчислити х' і у':

;

.

Ці формули забезпечують обчислення лінійного збільшення для будь-яких зв’язаних відрізків похилих площин предмету і зображення, що лежать на прямих, проведених перпендикулярно до даної меридіональної площини через зв’язані точки з координатами x, y і х', у'.

На рис. 14 показана розгортка площин предмета і його зображення. Квадрат MNPR на площині предмету оптичною системою перетворений в трапецію M’N’P’R'. При побудові цього зображення використана так звана головна точка сходу І, лежача в задній фокальній площині оптичної системи і така, що є точкою перетину промення Т’А' з цією площиною (див. рис. 13, б).

В межах розглядної ділянки ВС похилої площини предметів (див. мал. 14)[9]

.

1.8 Розрахунок ходу променя через ідеальну систему

Положення променя, що виходить з осьової точки А, і падаючого на висоті h на оптичну систему, визначається його кутом з оптичною віссю (рис. 15). Знайдемо кут ' між зв’язаним променем, який визначає зображення А' точки А, і оптичною віссю за умови, що нескінченно тонка оптична система, що дає зображення А' точки, А і задана суміщеними головними площинами і фокусними відстанями, є ідеальною.

Згідно рис. 15 маємо і .

Підставивши, а і а' у формулу (16), отримаємо наступну рівність:

звідки

або

де Ф — оптична сила системи.

Отриману формулу називають формулою кутів, і в загальному вигляді для системи з декількох компонентів вона буде наступною:

(19)

Рис. 15. Хід променя через ідеальну оптичну систему Якщо відношення фокусних відстаней замінити відношенням показників заломлення [формула (3)], то отримаємо формулу кутів у вигляді

(20)

Якщо оптична система знаходиться в повітрі, то з формули (20) отримуємо:

(21)

Для обчислення висот падіння променів звернемося до рис. 16. З подібності трикутників із загальною вершиною маємо:

або

(22)

де — відстань між компонентами k і k+1.

Оскільки

то

.

Отриману рівність називають формулою висот.

Послідовне використання формул кутів і висот забезпечує розрахунок ходу променів через ідеальну оптичну систему будь-якого ступеня складності або визначення оптичних сил компонентів при заданому ході променя. 18]

Рис. 16. Схема для розрахунку ходу променя

1.9 Оптичні системи з декількох компонентів

Складна оптична система складається з декількох оптичних систем — компонентів.

Знайдемо оптичну силу системи, що складається з ряду компонентів, заданих їх оптичними силами Ф і відстанями d між компонентами.

Оптична сила еквівалентної системи, що складається з m компонентів, рівна

(23)

де — показник заломлення середовища простору зображень всієї системи; — кут між променем, що пройшов оптичну систему, і оптичною віссю; h1 — висота падіння променя, паралельного оптичній осі, на перший компонент оптичної системи.

Оптична сила визначається з допомогою формули кутів (20):

Використання цих формул приводить до наступної рівності:

Враховуючи формулу (54), отримаємо:

Знайдемо оптичну силу системи, що складається з двох компонентів 1 і 2 (рис. 17). Висоти променя на кожному компоненті визначаються формулою висот (22).

Послідовно маємо:

(24)

Підставивши у формулу (23), отримаємо:

…(25)

Відстань від другого компонента до еквівалентного заднього фокусу F' системи

(26)

а відстань від цього компонента до задньої головної площини системи

.

Рис. 17. Система із двок компонентів.

Передня фокусна відстань, положення переднього фокусу і передньої головної площини еквівалентної оптичної системи визначають розрахунком зворотного ходу променя. Тоді відповідно до формули (57) отримаємо відстань від першого компоненту до переднього еквівалентного фокусу системи:

Відрізок, що визначає положення передньої головної площини

.

Якщо обидва компоненти оптичної системи знаходяться в повітрі, то оптична сила системи

(27)

а відстань від другого компонента до еквівалентного заднього фокусу системи

(28)

Можливий випадок, коли простір предметів (до компонента 1) і простір зображень (після компонента 2) заповнені не повітрям, а між компонентами — воздух, тобто, , Тоді для обчислення оптичної сили системи використовується формула (27), в якій і .

Серед двокомпонентних оптичних систем є такі, у яких задній фокус першого компоненту суміщений з переднім фокусом другого. В цьому випадку відстань між компонентами, що знаходяться в повітрі, рівна сумі їх задніх фокусних відстаней, а оптична сила системи відповідно до формули (27) рівна нулю. Таку оптичну систему називають телескопічною. Її фокусна відстань .

Знайдемо оптичну силу системи, що складається з трьох нескінченно тонких компонентів (рис. 18). Для цього, так само як і для двокомпонентної системи, використовуємо формули кутів і висот з тим, щоб отримати значення при. Тоді або

(29)

Рис. 18. Система з трьох компонентів Відрізок що визначає положення заднього фокуса F' щодо останнього компонента, обчислюють за формулою або

(30)

Для системи, всі компоненти якої знаходяться в повітрі, формули (29) і (30) матимуть вигляд:

(31)

Розглянемо оптичну систему з трьох нескінченно тонких дотичних компонентів

.

Оптична сила такої системи. Відрізок в цьому випадку по формулі (31) рівний .

Для будь-якого числа m нескінченно тонких компонентів, що входять у нескінченно тонку систему [див. формулу (24)]

(22)

Оптична сила нескінченно тонкої системи, що складається з нескінченно тонких компонентів, рівна сумі оптичних сил цих компонентів.

Виведені формули діють і при складанні компонентів з роздільними головними площинами. При цьому відстань dk відлічується від задньої головної площини попереднього компонента до передньої головної площини наступного.

Завдання відшукання параметрів еквівалентної системи можна розв’язати і графічно. При цьому побудова буде каскадною. Зображення, що утворюється першим компонентом, є предметом по відношенню до другого компоненту і так далі. 21]

II. Розрахунок ходу променя через оптичну систему

2.1 Формули для розрахунку ходу променів на ЕОМ

Приведені в розділі I формули для розрахунку ходу променів справедливі ідеальної оптичної системи, або лише для параксіальної області реальних оптичних систем і для меридіональних променів. Проте реальні зображення предметів, що утворюються оптичними системами, створюються сукупністю ряду променів, що проходять через оптичну систему в різних перетинах: меридіональному, сагитальному і так званих косих. Тому, щоб отримати правильне уявлення про зображення предметів, про аберацію, а також про розміри самої оптичної системи, розраховують хід реальних променів через цю систему. Слід зазначити, що цей розрахунок все ще займає приблизно 50…70% загального часу розрахунку оптичної системи.

В даний час хід променів через оптичні системи розраховують за допомогою ЕОМ по формулах Федера1 що набув найбільшого поширення.

Положеня променя на вході в оптичну систему (рис. 19) визначається значеннями направляючих косинусів (, ,), для розрахунку яких потрібно знати положення предметної поверхні (відрізок s1), площини вхідного окуляра (відрізок sP) і координати точок перетину променя з цими поверхнями (). Позначивши

;

;

;

отримаємо:

;; (23)

причому направляючий косинус приймається додатнім, якщо напрям проекції променя на відповідну вісь співпадає з додатнім напрямом осі, і від'ємним, якщо не співпадає.

Якщо розраховується хід плоского меридіонального пучка променів, то, і тоді, позначивши через, формули (23) можна перетворити до вигляду:

;; (cos 90°=0)

У разі нескінченно віддаленого предмету, якщо відомі величини і кутове поле 2щ, що визначають положення променя направляючі косинуси мають вигляд:

;; x.

Конструкція оптичної системи задається радіусами кривизни або, показниками заломлення, товщиною. На рис. 19 показаний хід довільного променя через k-у і k+1-у поверхні, що знаходяться одна від одної уздовж осі на відстані і радіуси кривизни .

Рис. 19. Схема для визначення направляючих косинусів променя при .

Розрахунок ходу будь-якого променя складається з двох кроків. На першому кроці визначають координати точки перетину променя з оптичною поверхнею (наприклад, -ою) по відомих координатах точки перетину цього променя з попередньою поверхнею (-ю) і направляючих косинусах цього променя післяї поверхні.

Рис. 20. Схема для виведення формул розрахунку ходу променя через оптичну поверхню Mk

На другому кроці обчислюють направляючі косинуси променя післяї поверхні. Як видно на рис. 20, в кожному просторі послідовних зображень встановлена особлива система координатних осей, початок яких співпадає з вершиною оптичної поверхні, вісь направлена уздовж оптичної осі, вісь — вертикальна і розташована в меридіональній площині, а вісь — перпендикулярна до цієї площини.

Формули для розрахунку ходу променів виводять, використовуючи вирази аналітичної геометрії у векторній формі. Точка перетину променя зю поверхнею має відомі координати, , а сам промінь — відомі направляючі косинуси, ,. По схемах, приведених на рис. 19, 20, можна прослідкувати послідовність виведення формул.

По відомих координатах точки обчислюють вектор; вектор відомий. По цих двох векторах знаходять третій вектор:. Провівши через точку нормаль до променя, визначають положення точки L і вектор, довжина якого позначена .

По обчислених і визначають вектор N’k, квадрат його абсолютного значення і проекцію цього вектора на вісь. Далі визначають кут як функцію (,, ,) і, використовуючи N’k, обчислюють вектор вектор і його модуль — так звану косу товщину .

По величинах, , і заздалегідь обчислюють кут падіння як, що умовно позначається надалі, і на підставі закону заломлення — величину.

По векторах і знаходять вектор, що дозволяє визначити координати точки зустрічі променя зою поверхнею, тобто, ,. На другому кроці рішення використовуються деякі проміжні величини, , рівні відповідно,; показники заломлення, координати точки, відомі направляючі косинуси і обчислюються такі (, ,) для заломленого променя.

Таким чином, отримують наступну послідовність формул для розрахунку ходу променів через оптичну систему, що складається з сферичних поверхонь:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7); (24)

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

Pиc. 21. Схема виведення формул розрахунку ходу променя через оптичну поверхню Розрахунок ходу променів по приведених формулах реалізований на програмованому мікрокалькуляторі і завершується обчисленням координат, , точки перетину променя з останньоюою поверхнею і направляючих косинусів що вийшов з системи променя (, ,).

Якщо — відстань від останньої поверхні до площини, в якій оцінюється якість зображення, то координати точки перетину променя з цією площиною можуть бути обчислені по формулах

(25)

Відзначимо наступні переваги розглянутих формул в порівнянні з формулами тригонометричного розрахунку: відсутність тригонометричних функцій; відсутність змінних, що звертаються в нескінченність; відсутність формул, що приводять до втрати точності; немає необхідності повторних обчислень контрольних співвідношень:

2.2 Формули для розрахунку ходу нескінченно тонких астигматичних пучків

Нескінченно тонкими пучками променів називають пучки, промені яких розповсюджуються під вельми малими кутами один до одного. Їх називають також елементарними, оскільки їх промені заповнюють в зіницях елементарні площадки. Для осьової наочної точки (рис. 22) — це параксіальні промені, які не порушують своєї гомоцентричності і після оптичної системи утворюють точкове (стигматичне) зображення .

Головний промінь осьового нескінченно тонкого пучка проходить через центр кривизни оптичної поверхні, і тому елементи поверхні в меридіональному в сагитальному напрямах мають однакові радіуси кривизни .

Якщо наочна точка розташовується поза віссю (рнс. 22), то умови проходження нескінченно тонких пучків променів в меридіональній і сагитальній площинах різні. Головний промінь, відносно якого симетрично розташовуються решта променів, в загальному випадку не проходить через центр кривизни оптичної поверхні, тому елемент поверхні для цього пучка променів має в напрямах різні радіуси кривизни .

Рис. 22. Утворення стигматичного зображення Рис. 23. Утворення астигматичного зображення Вихідний хвилевий фронт, що, відповідає цьому похилому елементарному пучку, перестає бути сферичним. При цьому промені пучка, розташовані в меридіональній і в сагитальній площинах, перетинаються з головним променем в різних точках, і, не співпадаючих з ідеальним зображенням .

У площині зображення, що проходить через точку сходження променів меридіонального пучка, променями сагитального пучка замість точки утворюється горизонтальний відрізок, а в площині зображення, що проходить через точку сходження променів сагитального пучка, променями меридіонального пучка утворюється вертикальний відрізок.

Явище, в результаті якого зображення точки виходить у вигляді двох взаємно перпендикулярних прямих відрізків, розташованих в різних площинах, називається астигматизмом (неточковістю), а пучок променів, створюючий таке зображення, називають елементарним астигматичним.

Явище астигматизму в оптичних системах небажано, оскільки при цьому якість зображення позаосьових точок, утворених навіть нескінченно вузькими пучками променів, виявляється низькою. Вплив астигматизму на якість зображення поза осьової точки можна оцінити по астигматичній різниці. При меридіональний і сагитальний вузькі пучки утворюють точкове зображення.

Положення зображень точок і знаходять шляхом розрахунку ходу нескінченно тонких астигматичних пучків через оптичну систему.

На рис. 24 — головний промінь елементарного похилого пучка променів, падаючий на сферичну поверхню з радіусом кривизни з внеосевой точки. Відстань від точки перетину головного променя з поверхнею до точки вздовж променя позначимо. Щоб утворити елементарний пучок в меридіональній площині, візьмемо нескінченно близький промінь що йде в точку і утворює з головним кут

Рис. 24. Схема для виведення формули Аббе — Юнга меридіонального пучка променів

Поза поверхнею ці промені перетинаються в точці на головному промені, точка розташована вздовж променя на відстані від поверхні. Поверхня розділяє оптичні середовища з показниками заломлення і .

Вважаючи відомими або легко визначуваними величини, ,, ,, ,, знайдемо зв’язок між і, для чого скористаємося формулою закону заломлення .

Очевидно, що при зміні кута між головним променем і віссю на нескінченно малу величину кути падіння і заломлення також зміняться. Диференціюючи рівняння закону заломлення, отримуємо

. (26)

З рис. 24 знаходимо, що, і, відповідно,,. Вважаючи величини, ,, ', та інші прирости нескінченно малими, будемо вважати, що, кут, кут. Із трикутника випливає, звідки і, відповідно,

(27)

З трикутника отримаємо, звідки

отже

. (28)

Підставляючи (28), (2) в (23), остаточно отримуємо формулу Аббе — Юнга для меридіонального пучка променів:

. (29)

На рис. 25 — головний промінь елементарного похилого пучка променів, падаючий на сферичну поверхню з радіусом кривизни з позаосьової точки. Відстань від точки перетину головного променя з поверхнею до точки вздовж променя позначимо .

Щоб утворити елементарний пучок, але вже в сагитальній площині, повернемо промінь щодо лінії на нескінченно малий кут і отримаємо в сагитальній площині нескінченно близький промінь. Після поверхні промені і перетинаються в точці, яка повинна лежати на лінії. Щоб знайти зв’язок між величинами і, опустимо на лінію перпендикуляри з точок і і отримаємо точки і. Як випливає з рис. 25

; (30)

З подібності трикутників і знаходимо, що

(31)

Рис. 25. Схема для виведення формули Аббе — Юнга сагитального пучка променів

(32)

З формул (30) —(32), враховуючи, що, отримаємо:

.

Звідки, звільняючись від знаменника і ділячи обидві частини на, отримуємо формулу Аббе — Юнга для сагитального пучка променів:

. (33)

Рис. 26. Схема визначення «косої» товщини

По. отриманих формулах (29) і (33) розраховують хід променів нескінченно тонкого астигматичного пучка через одну сферичну поверхню. При розрахунку ходу променів такого пучка через оптичну систему, що складається з поверхонь, необхідно враховувати так звану косу товщину, рівну відстані між поверхнями уздовж головного променя, яка може бути обчислена при розрахунку ходу головного променя. На рис. 26 показано хід головного променя міжою і +1-ою поверхнями оптичної системи.

Кут між головним променем і оптичною віссю між поверхнями, висоти точок перетину головного променя зою і +1-ою поверхнями відповідно і. З рис. 26 витікає, що «коса» товщина Нехай — точка сходу меридіонального нескінченно тонкого пучка променів післяої поверхні, що знаходиться від неї на відстані. Щоб продовжити розрахунок ходу цього пучка променів через +1-у поверхню, необхідно визначити з наступної формули:

.

Аналогічно для сагитального пучка отримаємо .

При розрахунку ходу променів тонкого астигматичного пучка на ЕОМ зручніше використовувати формули (29) і (33), перетворені до іншого вигляду. Для цього спочатку представимо ці формули дляої поверхні в наступному вигляді:

;

.

Повернемося до позначень, прийнятих в схемі Федера [див. формули (24)]:, , і введемо величини; ;;; .

* Формули Аббе—Юнга в перетвореному вигляді мають наступний вигляд:

(34)

Послідовне застосування формул (34) в системі з поверхонь дозволяє обчислити величини і (рис. 27):

Рис. 27. Схема для визначення координат променів астигматичного пучка в площині зображення

і аналогічно де — направляючий косинус головного променя.

2.3 Вибір початкових даних для розрахунку ходу променів

Розрахунок ходу променів в реальних оптичних системах виконують в цілях визначення положення і розміру зображення предмету і його порівняння з ідеальним зображенням, тобто для оцінки якості утворюваного зображення і висновку про придатність даної оптичної системи.

Розрахунок ходу променів може бути виконаний тільки через оптичну систему, конструктивні параметри якої () відомі, а також коли відомі положення і розмір предмету. Будь-який предмет, як відомо, є сукупність незліченної кількості наочних точок (і), кожна з яких посилає в оптичну систему незліченну кількість променів. Для достатньо повного дослідження якості зображення оптичної системи немає необхідності виконувати розрахунок ходу незліченної кількості променів. Розраховується хід обмеженого числа променів в меридіональній, сагитальній і «косих» площинах. На рис. 28 показані площина предметів, площина вхідної зіниці і перша поверхня 1 оптичної системи. У наочній площині виділимо осьову точку і позаосьові точки, які зазвичай розташовують в меридіональній площині. Нехай вхідний окуляр круглий (— його діаметр) з центром на осі. Промені, що проходять через вхідний окуляр, обмежуються його діаметром і займають конусоподібний простір, що формується променями, направленими з наочних точок в край окуляра.

Рис. 28. Схема для вибору початкових даних при розрахунку ходу променів Для оцінки якості зображення осьової точки розраховують промені у верхній частині вхідного окуляра в меридіональній площині. Число променів, хід яких необхідно розрахувати, визначається відносним отвором. Так, наприклад, для оптичних систем з нормальним відносним отвором () сферична аберація1 з достатнім ступенем точності описується третіми і п’ятими порядками аберації, тобто

і тому досить розрахувати хід лише двох променів: крайнього, такого, що йде на висоті, і зонального — на висоті. Причому висота зонального променя, визначається з виразу [за умови, що на краю окуляра при ], виявляється рівною .

Кільцеві зони вхідного окуляра, обмежені висотами верхнього і зонального променів, виявляються рівними за площею, і, отже, через них в оптичну систему поступають однакові потоки світлової енергії.

У світосильних оптичних системах, в оптичних системах з несферичними поверхнями при складному виді кривої сферичної аберації іноді доводиться розраховувати більшу кількість променів. Наприклад, при відносних отворах — три променя, при відносних отворах — чотири. Якщо при цьому керуватися рівністю площ кільцевих зон, на які розбивають променів вхідний окуляр, а — висота променя, що йде по краю окуляра, то висоти решти променів будуть рівні:

. (35)

Наприклад, для чотирьох променів (,) по формулі (35) отримаємо:

;;; .

У дзеркально-лінзових і дзеркальних оптичних системах вхідний окуляр має кільцеподібну форму (рис. 29), оскільки центральна частина пучка променів екранується одним з дзеркал. Позначаючи — висоту верхнього променя у вхідному зрачку, — висоту нижнього променя, — число променів у верхній половині кільцеподібного окуляра, і вважаючи, що площі — 1-й кільцевих зон однакові, для висотиго променя отримаємо:

(36)

(37)

Допустиме центральне екранування зазвичай оцінюють коефіцієнтом, рівним відношеню, або коефіцієнтом. З урахуванням цих коефіцієнтів формули (243), (244) приймуть наступний вигляд:

ідеальний оптичний система зображення

;

.

Наприклад, часто допускають екранування чверті площі окуляра, тобто або; при цьому тв = 0,5

().

.

У похилих пучках в меридіональній площині розраховують хід променів, як правило, на таких же висотах у вхідному окулярі, як і в осьовому пучку, але розташованих симетрично щодо головного променя () як вгору, так і вниз, наприклад,, ,, = 0,, ,. Якщо в оптичній системі є віньєтування, визначуване коефіцієнтом, то для похилого пучка в меридіональній площині і так далі.

Досвід показує, що для надійного судження про аберацію позаосьових точок необхідний розрахунок не менше 15—30 променів (залежно від значення відносного отвору об'єктиву і його аберації), причому для об'єктивів з малими кутовими полями (наприклад, для фотооб'єктивів) достатньо їх обчислювати для одного нахилу, для нормальних по полю об'єктивів () — для двох нахилів і для ширококутних об'єктивів () — для трьох нахилів.

Рис. 29. Кільцеподібний вхідний окуляр Рис. 30. Розподіл променів у вхідному окулярі

Промені сагитального пучка розраховуються на висотах, чисельно рівних висотам променів в меридіональній площині для однієї половини окуляра, симетричного щодо меридіональної площини (,

).

«Косі» промені розраховують в площинах, нахилених до меридіональної площини на кути. Таких площин може бути дві, чотири, шість, … залежно від числа секторів, на які ці площини ділять вхідний окуляр. Тут також досить розрахувати хід променів, що йдуть через половину вхідного окуляра, що розділяється меридіональною площиною. На рис. 30 вхідний окуляр оптичної системи розділяний на 12 секторів і складається з трьох кільцевих зон. Промені осьового пучка пронумеровані римськими цифрами —. Головний промінь похилого пучка в меридіональній площині позначений цифрою, решта променів цього пучка — цифрами. Промені сагиттального пучка, хід яких розраховується, — це промені; «косі» промені, хід яких також розраховується, пронумеровані цифрами. Координати цих променів у вхідному окулярі можна визначити за наступними формулами: