Прикладна спрямованість шкільного курсу математики

Курсова робота

Прикладна спрямованість шкільного курсу математики

Вступ

Сучасні потреби розвитку України вимагають переходу на нову, більш гнучку, ніж існуюча, стратегію математичної освіти. Особистісна спрямованість освіти є однією з основних тенденцій розвитку сучасної школи. Повернення школи до особистості учня виступає провідним принципом нового педагогічного мислення. І це не випадково. Суспільству потрібна компетентна, творча особистість, яка здатна брати активну участь у розвитку сучасного виробництва, економіки, науки та культури. Саме тому на перший план шкільної освіти виходить завдання створення оптимально сприятливих умов для виявлення і розвитку здібностей учнів, задоволення їхніх інтересів і потреб, розвиток навчально-пізнавальної активності та творчої самостійності.

Активізація пізнавальної діяльності учнів — одна з гострих проблем, над вирішенням якої у даний час працює методична наука й національна школа. Це зумовлено різким падінням соціального статусу і престижу знань серед молоді. Тут, як у фокусі, тісно переплітаються соціальні психолого-педагогічні та методичні проблеми виховання особистості на сучасному етапі розвитку суспільства.

Важливою стороною проблеми активізації навчально-пізнавальної діяльності є насамперед соціальний аспект. У національній державній програмі «Освіта» (Україна ХХI століття) зазначено, що загальна середня освіта має забезпечувати продовження всебічного розвитку дитини як цілісної особистості її здібностей і обдаровань, збагачення на цій основі інтелектуального потенціалу народу, його духовності та культури, формування громадянина України, здатного до свідомого суспільного вибору. Потяг до знань, високу пізнавальну активність та уміння самовдосконалюватися необхідно розвивати й виховувати у молоді на шкільній лаві. Успішне вирішення цього завдання щонайперше створює надійні передумови для глибокого та міцного оволодіння навчальним матеріалом. Разом з цим воно забезпечує умови для наступної систематичної роботи учнів над собою, для практичної реалізації ідеї неперервної освіти і самоосвіти.

Велике значення мають також психологічні і педагогічні передумови вирішення зазначеної проблеми. Оновлення змісту освіти, приведення його у відповідність із сучасними потребами особи і суспільства вимагає вдосконалення процесу навчання. У системі навчальних занять широке застосування мають знайти найбільш ефективні методи і прийоми організації навчання школярів, що сприятимуть збудженню і розвитку в них пізнавальної активності. Учень не зможе усвідомити і зробити власним надбанням матеріал, що вивчається, якщо він не відчуває потреби в його вивченні, і не виявлятиме розумової напруги, наполегливості в навчанні. Ось чому все більшого значення набуває орієнтація на розвиток учнів шляхом створення умов для широкого аналізу фактів, на озброєння умінням самостійно працювати, вчитися самому. Проте розвиток пізнавальної активності учнів відіграє велику роль не тільки у підвищенні рівня розвитку учнів і поліпшенні якості усп1шності, а й в їх вихованні. Адже перетворення знань на переконання і розвиток моральної свідомості учнів досягається лише тоді, коли учні всебічно усвідомлюють матеріал, що вивчається, коли засвоєні висновки й узагальнення є результатом їхніх власних розумових зусиль і позитивних емоційних переживань. Таким чином, сам підхід до навчання і методика його організації суттєво впливають на формування інтелекту, світогляду та морального обличчя школярів.

Розвиток фізичного мислення школярів вимагає формування основних прийомів мислення (порівняння, узагальнення, абстрагування, класифікації, аналогії, аналізу, синтезу) і більш складних, що базуються на них (конструювання означень через рід і видові відмінності, виділення головного, побудова індуктивних і дедуктивних висновків, встановлення відношень між поняттями, складання схем, плану, конспекту, перенесення прийомів за аналогією, застосування минулого досвіду. Психологи та методисти одностайно вважають, що учнів необхідно спеціально навчати вміння поєднувати теоретичні знання з практичними діями. При цьому включення у процес навчання питань і задач прикладного та практичного змісту є лише необхідною умовою такого навчання. Крім цього, необхідно навчати школярів спеціальних прийомів розумової роботи, що є необхідними для застосування теоретичних знань, і формувати в них практичні вміння і навички, що лежать в основі застосування фізики на інших уроках, у виробництві та побуті. Проблема застосування знань на практиці вимагає формування в учнів уміння аналізувати й синтезувати ситуації, конкретизувати загальні абстрактні положення, пізнавати відомі фігури, залежності у конкретних ситуаціях, переусвідомлювати один і той самий об'єкт або явище під кутом зору різних систем знань, варіювати способи дій, переключатися з одного виду діяльності на інший. Таким чином, оволодіння спеціальними прийомами розумової роботи і наявність пізнавальних інтересів в учнів сприятимуть активізації їхньої навчально-пізнавальної активності.

Актуальність проблеми дослідження. У Концепції загальної середньої освіти (12-річна школа) наголошується, що найбільш слабким місцем у загальній підготовці школярів на сьогоднішній день залишається недостатня сформованість вмінь опрацьовувати інформацію, вільно використовувати здобуті знання для розв’язання практичних завдань, аналізу нестандартних ситуацій тощо. З огляду на те, що все це повною мірою має бути врахованим і в організації математичної підготовки в загальноосвітніх навчальних закладах, не можна не брати до уваги загальновизнаний факт: подолання існуючого формалізму у знаннях учнів потребує встановлення правильного співвідношення між теоретичним рівнем навчального матеріалу, розвитком логічного мислення та формуванням в учнів знань й умінь прикладного характеру. Прикладна спрямованість навчання математики формує в учнів розуміння математики, як методу пізнання та перетворення оточуючого світу, який має розглядатися не тільки областю застосувань математики, а й невичерпним джерелом нових математичних ідей. Навчання математичного моделювання, застосування математичних знань до розв’язування задач прикладного змісту, що виникають поза межами математики і розв’язуються математичними методами, сприяє зміцненню мотивації навчання, системності, дієвості, гнучкості знань, стимулює пізнавальні інтереси учнів.

Мета: на основі вивчення та аналізу психолого-педагогічної та методичної літератури, педагогічного досвіду з даної проблеми, визначити роль, місце, зміст прикладної спрямованості шкільного курсу алгебри в 9 класі; проаналізувати матеріали офіційних, психолого-педагогічних джерел з проблеми реалізації прикладної спрямованості навчання математики в контексті реформування системи загальної середньої освіти України.

1. Елементи прикладної спрямованості шкільного курсу алгебри

1.1 Елементи прикладної математики - один із найважливіших розділів шкільної алгебри

прикладний математика моделювання Розподіл годин математики в 5−11 класах загальноосвітніх навчальних закладів здійснюється у відповідності до Робочих навчальних планів закладів освіти на 2009/2010 навчальний рік, які складаються відповідно до Листа МОН України від 20.02.09 № 1/9−120 «Про навчальні плани загальноосвітніх навчальних закладів на 2009/2010 навчальний рік».

У 2009;2010 навчальному році учні 9-х класів загальноосвітніх навчальних закладів розпочнуть навчання за новими навчальними планами і програмами з математики 12-річної школи.

Відповідно до Наказу Міністерства освіти і науки України від 2 лютого 2009 року за № 56 «Про надання грифа навчальній літературі» та Згідно з рішенням колегії МОНУ від 29 січня 2009 року (протокол № 1/1 — 19) «Про підсумки Всеукраїнського конкурсу рукописів підручників для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів» навчання математики в 9-х класах буде здійснюватись за новими підручниками:

1. Алгебра (авт. Бевз Г. П., Бевз В.Г.) видавництва «Зодіак-ЕКО».

2. Алгебра (авт. Возняк Г. М., Литвиненко Г. М., Мальований Ю.І.) видавництва «Навчальна книга — Богдан».

3. Алгебра (авт. Кравчук В. Р., Янченко Г. М., Підручна М.В.) видавництва «Підручники і посібники».

4. Алгебра (авт. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М.С.) видавництва «Гімназія».

5. Алгебра (авт. Біляніна О.Я., Кінащук Н.Л., Черевко І.М.) видавництва «Генеза».

Згідно з новою програмою на вивчення математики в 9 класі відводиться 4 год. на тиждень (по 2 год. на алгебру і геометрію). Програма з алгебри для 9 класу майже не змінилася в порівнянні з програмою для 11-річної школи. Як і раніше, вивчатимуться чотири розділи: «Нерівності», «Квадратична функція», «Елементи прикладної математики», «Числові послідовності». Слід зазначити, що 9 клас є важливою ланкою у процесі навчання, оскільки учням необхідно не тільки добре засвоїти програмовий матеріал і ґрунтовно повторити раніше вивчений для успішної підготовки до державної підсумкової атестації, а й визначитися з подальшим навчанням у профільній школі. Тому вчителям і класним керівникам слід провести роз’яснювальну роботу серед учнів 9-х класів та їхніх батьків щодо напрямів і профілів навчання у 10−12 класах свого навчального закладу, відповідних навчальних програм, курсів за вибором та кількості годин на їх опрацювання, умов вступу до вищих навчальних закладів та проходження зовнішнього незалежного оцінювання.

Елементи прикладної математики (10 год.). Мета — ввести поняття про математичне моделювання. Розглянути загальну задачу математичного моделювання, проілюструвати прикладами. Ввести поняття про наближене значення чисел і величин, абсолютну та відносну похибки, правильну цифру наближення, оцінку похибок. Сформулювати правила арифметичних дій з наближеними значеннями за способом підрахунку правильних цифр та навчити застосовувати їх під час розв’язування задач.

Математичне моделювання. Приклади математичного моделювання. Наближені значення чисел і величин. Абсолютна [і відносна] похибки наближення. Оцінка похибок. Додавання, віднімання, множення і ділення наближених значень. Відсоткові розрахунки. Формули простих і складних відсотків.

Учні повинні мати уявлення про:

— математичне моделювання і його загальну задачу;

— наближені значення чисел і величин;

— абсолютну [і відносну] похибки, точність наближення.

Учні повинні знати:

— правила округлення чисел, виконання арифметичних дій з наближеними значеннями;

— правила подання відповіді до прикладної задачі.

Учні повинні вміти:

— складати моделі до прикладних задач та розв’язувати їх;

— знаходити абсолютну [і відносну] похибки, точність наближення;

— виконувати дії над наближеними значеннями, в тому числі і за допомогою комп’ютера;

— застосовувати набуті знання до розв’язування прикладних задач;

— розв'язувати найпростіші задачі на відсоткові розрахунки.

Елементи прикладної математики — один із найважливіших розділів шкільної алгебри. У пояснювальній записці до програми зазначається: «Важливе завдання полягає у залученні учнів до використання рівнянь і розгляду функцій як засобів математичного моделювання реальних процесів і явищ, розв’язування на цій основі прикладних та інших задач». Зміст навчального матеріалу цього розділу розкривається у процесі вивчення таких тем:

— Математичне моделювання.

— Відсоткові розрахунки. Формула складних відсотків.

— Випадкова подія. Ймовірність випадкової події.

— Статистичні дані. Способи подання даних. Частота. Середнє значення.

Матеріал перших двох тем більше відомий учням з попередніх класів. Його потрібно розширити, систематизувати та узагальнити. Розпочати бажано з простих прикладних задач, зміст яких добре відомий дев’ятикласникам. Учні мають зрозуміти, що для розв’язування однієї задачі можна використати кілька різних моделей (схему, рівняння, систему рівнянь тощо). Доцільно також звернути увагу учнів на той факт, що одне й те саме рівняння може бути математичною моделлю для розв’язування кількох задач, що мають різні фабули. Розширювати знання учнів про математичне моделювання можна через розв’язування задач з різних галузей знань та залучення нових об'єктів у якості математичних моделей (таблиць, графіків, діаграм, дерев, графів тощо). Дві останні теми учні частково розглядали в 6 класі. Їх детальне вивчення буде відбуватися у старшій школі. В 9 класі бажано ввести передбачений програмою понятійний апарат (випадкова подія, ймовірність випадкової події; частота, середнє значення статистичних вимірювань) та навчити учнів розв’язувати простіші задачі (знаходження ймовірності випадкової події; подання статистичних даних у вигляді таблиць, діаграм, графіків; знаходження середнього значення).

1.2 Прикладні задачі як засіб математичних компетентностей учнів

Упродовж вивчення шкільного курсу математики неможливо обійтись без задач прикладного змісту. Прикладними задачами в математиці називають ті, умови яких містять нематематичні поняття. На своїх уроках я систематично розв’язую з учнями прикладні задачі, тому що їх використання спрямоване на формування у школярів системи знань, умінь і навичок, робота з ними розвиває вміння осмислювати зміст понять та застосовувати здобуті знання на практиці, аналізувати результати, робити відповідні узагальнення, порівняння, висновки, розширює кругозір учнів. Крім того такі задачі весь час ставить перед нами життя. Наприклад, така задача. Дядько Панько вирішив зробити подарунок своїй коханій дружині, тітоньці Одарці. Для цього він свою «заначку» розділив на дві частини і поклав до двох банків під 10% та 20% річних відповідно. Через рік він отримав 44 євро відсоткових грошей, на які й придбав подарунок. Тітонька Одарка одразу все змикитила і через кума Тараса порадила Панькові наступного разу, зберігши розмір внесків і банки, просто поміняти ці внески місцями. Через рік після того, як Панько послухався Тараса, Одарка отримала подарунок уже на суму 64 євро. У скільки разів більший внесок Панька перевищував менший? Задачі такого типу я пропоную розв’язати з учнями 9 класу під час вивчення теми відсоткові розрахунки. Прикладні задачі на уроці виконують кілька функцій. Задача про Панька і Одарку, наприклад, показує зв’язок математики з життям, її розв’язання підвищить економічну грамотність учнів, задача виховує інтерес до математики. На мій погляд, задачі практичного змісту переконують учнів у потребі вивчення теоретичного матеріалу і показують, що математичні абстракції виникають із задач, поставлених реальним життям. Спочатку учнів зацікавлює розв’язування окремих задач, потім вивчення окремих тем, а з часом і вся наука. Тому систематичне виховання учнівських інтересів є неодмінною умовою ефективності кожного окремого уроку і всієї навчально-виховної роботи. Одночасно учні набувають корисних навичок роботи з довідниками, навчаються самостійно знаходити потрібну інформацію в додатковій літературі.

Отже, такі задачі виконують:

- освітню функцію, бо їх використання спрямоване на формування у школярів системи знань, умінь та навичок на різних етапах навчання;

- розвиваючу функцію, бо робота з ними розвиває вміння осмислювати зміст понять, застосовувати здобуті знання на практиці, аналізувати результати, розширювати кругозір, робити відповідні узагальнення, порівняння, висновки;

- виховну функцію, бо міжпредметні зв’язки на уроках математики можуть здійснюватися насамперед через ці задачі. Крім того практичні задачі допомагають висвітити міжпредметні зв’язки, які в свою чергу обумовлюють поглиблене і розширене сприйняття учнями фактів, свідоме засвоєння теорії, формування цілісної картини природи. Щоб учні навчились розв’язувати задачі, треба дати їм можливість самостійно працювати.

Сучасний етап розвитку освіти України характеризується спрямованістю на побудову особистісно орієнтованої системи математичної підготовки учнів, упровадженням інноваційних підходів до навчання. Модернізація національної української школи потребує підвищення активності та самостійності учнів, формування в них умінь опрацьовувати та плідно використовувати освітню інформацію в життєвих ситуаціях. Це, у свою чергу, вимагає посилення прикладної спрямованості шкільних курсів, зокрема курсу алгебри та початків аналізу.

Одним із шляхів оновлення змісту освіти і технологій навчання, узгодження їх із сучасними проблемами є впровадження компетентнісного підходу до навчання. Загальні теоретичні положення впровадження компетентнісного підходу до навчання досліджуються в роботах Н. М. Бібік, І. Г. Єрмакова, О. В. Овчарук, О. І. Пометун, А. В. Хуторського та ін. Впровадженню компетентнісного підходу у математичну освіту присвячені роботи С. А. Ракова. Він, зокрема, означає математичну компетентність як «уміння бачити та застосовувати математику в реальному житті, розуміти зміст і метод математичного моделювання, вміння будувати математичну модель, досліджувати її методами математики, інтерпретувати отримані результати, оцінювати похибку обчислень».

Наступним кроком упровадження компетентнісного підходу до навчання математики має стати конкретизація розроблених загальних підходів до рівня навчальних предметів та навчальних тем в основній та старшій школі.

Прикладні задачі, пов’язані з розв’язуванням рівнянь та нерівностей, відсутні (чи майже відсутні) у більшості підручників для старшої школи, хоча важливість їх використання у курсі алгебри та початків аналізу показана у роботах багатьох дослідників.

Прикладні задачі вважаються одним із типів навчальних задач. Відомо, що до основних етапів розв’язування навчальних задач належать:

1) аналіз формулювання задачі;

2) пошук плану розв’язування;

3) здійснення плану, перевірку і дослідження знайденого розв’язку;

4) обговорення (аналіз) знайденого способу розв’язування з метою з’ясування його раціональності, можливості розв’язування задачі іншим методом чи способом.

У процесі розв’язування прикладних задач здійснюється навчання учнів елементам математичного моделювання, адже найбільш відповідальним і складним етапом розв’язування прикладної задачі є побудова її математичної моделі. Реалізація цього етапу вимагає від учнів багатьох умінь: виділяти істотні фактори, що визначають досліджуване явище (процес); вибирати математичний апарат для побудови моделі; виділяти фактори, що викликають похибку при побудові моделі. Прикладні задачі можна умовно розділити на такі, у яких математична модель міститься в умові задачі, та такі, розв’язування яких передбачає побудову математичної моделі. Розв’язування перших значно простіше порівняно з розв’язуванням неформалізованих задач та відповідно складається з таких саме етапів, як і розв’язування будь-якої навчальної задачі. При розв’язуванні неформалізованих задач вище зазначені етапи доповнюються у зв’язку з необхідністю побудови математичної моделі.

У педагогічній літературі поняття прикладної задачі трактується по різному, а саме:

— задача, що потребує перекладу з природної мови на математичну;

— задача, яка близька за формулюванням і методами розв’язування до задач, що виникають на практиці;

— сюжетна задача, сформульована у вигляді задачі-проблеми.

Прикладна задача повинна задовольняти такі умови:

— питання задачі формулюється так, як воно зазвичай формулюється у житті;

— розв'язок задачі має практичну значимість;

— дані та шукані величини задачі мають бути реальними, взятими з життя.

Прикладна задача — задача, що виникла поза математикою, але розв’язується математичними засобами.

Кожна прикладна задача виконує різні функції, що за певних умов виступають явно або приховано.

Деякі задачі ілюструють зазначений у природи принцип оптимізації трудової діяльності(діставати найбільший ефект з найменшими затратами), інші - розвивають здібності учнів до технічної творчості(геометричні задачі на побудову тощо). Розв’язування прикладних задач сприяє ознайомленню учнів з роботою підприємств і галузей народного господарства, що є умовою орієнтації інтересу учнів до певних професій. Використання прикладних задач дозволяє вдало створювати проблемну ситуацію на уроці. Такі задачі стимулюють учнів до здобуття нових знань, збагачування учнів теоретичними знаннями з технічних та інших дисциплін.

Цікавим і перспективним є такий спосіб демонстрації зв’язку математики з іншими науками, як проведення інтегрованих уроків. Вони допомагають знання сучасних учнів зробити ціліснішими, дозволяють позбутися ефекту «клаптикової ковдри», на них формується науковий світогляд. Такі уроки сприяють встановленню логічних зв’язків між предметами, попереджають формалізм у знаннях. Наприклад, уроки математики можна інтегрувати з уроками трудового навчання в такому поєднанні: «Формули. Побудова креслень одягу», «Одиниці маси. Робота з харчовими продуктами. Приготування страв»; з уроками географії так: «Масштаб. Побудова плану шкільної території»; з уроками природознавства: «Симетрія. Симетрія в природі»; з уроками фізики: «Швидкість. Одиниці вимірювання швидкості»; з уроками історії: «Подорож у минуле геометрії», «Сім чудес світу» тощо. Інтегровані уроки мають яскраво виражену прикладну спрямованість і тому викликають незаперечний пізнавальний інтерес учнів.

Міжпредметні зв’язки — це не тільки «мости» між навчальними предметами, але і засіб побудови цілісної системи навчання на основі спільності змісту знань і методів наукового пізнання.

Методисти давно пов’язують проблему міжпредметних зв’язків з раціональним використанням математичних знань у практичній діяльності людей, оскільки сфера застосування математики постійно розширюється.

Під час добору задач прикладного характеру доцільно дотримуватись певних вимог.

Задача має демонструвати практичне застосування математичних ідей і методів та ілюструвати матеріал, що вивчається на певному уроці, містити відомі або інтуїтивно зрозумілі учням поняття й терміни, а також реальні числові дані, що не ведуть до громіздких обчислень. За таких умов використання прикладної задачі, складеної на матеріалах суміжних предметів, може дати потрібний педагогічний ефект.

На перший погляд може здаватися, що історизм у викладанні математики та її прикладна спрямованість не пов’язані. Але якщо врахувати, що більшість понять класичної математики, що потрапили до шкільного курсу, зобов’язані своїм виникненням практичним потребам людини, то цей зв’язок стає очевидним.

Про роль історії науки дуже влучно сказав Г. Лейбніц: «Дуже корисно пізнати справжнє виникнення чудових відкриттів, особливо таких, що були зроблені не випадково, а силою думки. Це приносить користь не стільки тим, що історія воздає кожному своє і спонукає інших добиватися таких самих похвал, скільки тим, що пізнання методу на видатних прикладах веде до розвитку мистецтва відкриття».

Усім відомий історичний факт відкриття у 1846 р. невідомої до того часу планети Нептун, її орбіту обчислили незалежно один від одного вчені Адамс і Левер'є. Відкриття планети «на кінчику пера» сприяло зростанню довіри до математики та створеної з її допомогою наукової картини світу.,

Пошуки розв’язків окремих прикладних задач спонукали вчених розробляти нові методи досліджень, створювати досконаліші алгоритми, відкривати невідомі закономірності, що, у свою чергу, сприяло розвитку математичної науки.

Звернення до конкретних фактів з історії розвитку математики та вивчення математичних об'єктів розкриває практичний зміст математичних понять, пробуджує пізнавальний інтерес учнів до науки.

Для різних вікових груп прийоми й методи навчання можуть і повинні бути різними. Так, у 5-му класі, вивчаючи дії над натуральними (особливо багатоцифровими) числами, можна дітям запропонувати:

1. Обчислити, скільки води, їжі потребує середньостатистична людина за своє життя, і перерахувати отримані результати на кількість товарних вагонів залізничного потяга.

2. З’ясувати, чи може людина прожити мільйон хвилин або мільярд секунд.

3. Полічити, за скільки часу сонячне світло досягає Землі.

Принагідно треба намагатися впливати на уяву, фантазію дітей, діяти через захоплення, здивування. Дуже ефективним є прийом використання казкових героїв (Колобок, Незнайко, Знайко тощо), які діляться своїми парадоксами і жартами. Як зазначалося, не варто втрачати можливість з розв’язування на уроках математики прикладних задач.

Наприклад, тема «Пропорції», що є однією з базових тем для профільного економічного навчання, входить у математичний апарат вивчення географії, фізики, хімії та інших предметів обов’язкового шкільного рівня і є підготовчою до вивчення теми «Функція», оскільки дає розуміння суті залежності між величинами. Тому під час вивчення цієї теми доцільно розв’язувати задачі практичного змісту, зокрема такі.

Задача 1. Масштаб карти 1: 25 000. Яка відстань на місцевості між об'єктами, якщо на карті вона становить 2 см?

Задача 2. Два птахи за добу можуть звільнити від шкідників 25 м² фруктового саду. Скільки птахів треба для садової ділянки розмірами 1050 м х 50 м?

Задача 3. Водопровідний кран погано закритий. Кожну секунду з нього капає лише одна крапля. Чи багато витече з нього води за 1 год. (за 1 добу), якщо маса 100 крапель дорівнює 7 г?

Часто в школярів виникає думка, що прикладні задачі потрібні в житті і їх слід навчитися розв’язувати, а всі інші - ні. Щоб не створювалися такі помилкові уявлення, бажано використовувати будь-яку можливість, щоб показати та переконати учнів: майже кожна абстрактна задача може бути математичною моделлю деякої прикладної задачі. Тому доцільно розкривати прикладне значення матеріалу, що вивчається; наближувати зміст традиційної задачі до життєвих ситуацій; пропонувати учням складати і розв’язувати задачі (за матеріалами екскурсій, спостережень, на основі історичних довідок); практикувати розв’язування задач з теоретичним навантаженням суміжних дисциплін; пояснювати походження числових виразів тощо.

Розкриття практичного і прикладного значення матеріалу, що вивчають, — один з ефективних прийомів прикладного спрямування шкільного курсу математики. Цьому сприяють задачі-запитання, розв’язування яких супроводять розглядом навколишніх об'єктів. Натуральні навколишні об'єкти — важливий вид наочності. З їхньою допомогою, наприклад, можна продемонструвати мимобіжні, паралельні та перпендикулярні прямі в просторі, лінійні кути між площинами, розміщення площин у просторі тощо.

Прикладне спрямування можна здійснювати і за допомогою розв’язування окремих традиційних задач, що є в шкільних підручниках. Для цього умови таких задач наближують до практичних потреб, якими цікавляться та живуть учнівський і батьківський колективи.

Так, вивчення формули різниці квадратів двох виразів у 7-му класі можна почати з такої задачі.

Задача 4. Учень купив 38 зошитів по 42 к. Продавець виписав чек на 15 грн. 86 к. Учень відразу зауважив, що допущено помилку. Продавець здивувався, як можна так швидко це визначити, але після перевірки з’ясував, що учень мав рацію. На чому ґрунтувалася думка учня?

Безперечно, задача з такою фабулою викличе в класі здивування і пожвавлення. Поміркувавши, школярі дійдуть висновку, що учень виконував усно такі дії:

42 * 38 = (40 + 2)(40 — 2) = =1600 — 4 = 1596 (к.) = 15,96 (грн.).

Подібну ситуацію можна створити і під час вивчення інших формул скороченого множення. Наприклад, запропонувати учням швидко перевірити правильність таких числових рівностей:

32²=964; 29²=841.

У створенні уявлень учня про прикладне значення шкільної математики велику роль відіграють задачі з різними сюжетами, що мають спільну математичну модель.

Наприклад, під час вивчення теми «Рівняння з двома змінними» у 7-му класі доцільно довести до свідомості учнів, що рівняння виду ах + bу — с визначає залежність між двома реальними величинами в найрізноманітніших явищах. Для прикладу можна запропонувати такі задачі.

Задача 5. Як можна розміняти 1 грн. монетами по 25 к. і 2 к.

Задача 6. У швейному цеху є 38 м тканини. На пошиття-піжами треба 4 м тканини, а на халат — 3 м. Скільки можна пошити піжам і халатів з наявної у цеху тканини?

Під час вивчення у 9-му класі теми «Системи рівнянь з двома змінними» можна запропонувати такі задачі.

Задача 7. Розв’язати систему рівнянь

x + y = 50,

ху = 600.

Задача 8. Сума двох чисел дорівнює 50, а їх добуток 600. Знайти ці числа.

Задача 9. Периметр прямокутника 100 м, а його площа 600 м². Знайти сторони прямокутника.

Задача 10. Для огорожі прямокутної ділянки площею 6 а виділено сітку довжиною 100 м. Знайти розміри ділянки.

Серед прикладних задач слід виділити задачі без числових даних або задачі-запитання. У таких задачах чітко сформульовано запитання, але умова їх не повна, даних часто не вистачає або і зовсім немає («Як знайти діаметр дерева?», «Як виміряти кут нахилу даху?», «Знайти товщину аркуша паперу вашого підручника з математики», «Як знайти об'єм сірника?» тощо. Такі питання часто виникають у практичній діяльності людей і корисно знати, які дані потрібні для їх розв’язування, як їх визначити. До задач без числових даних можна віднести і задачі на побудову, і геометричні задачі на екстремуми («Як з металевої пластинки, що має форму трикутника, вирізати квадрат найбільшої площі?», «Як за допомогою лінійки побудувати кут 60°?». Під час розв’язування таких задач учні проявляють кмітливість, у них розвиваються практичні вміння застосовувати набуті знання.

Цікаві прикладні задачі можна запропонувати учням 11-го класу під час вивчення теми «Застосування похідної».

Задача 11. Зрошувальний канал має форму рівнобічної трапеції, бічні сторони якої дорівнюють меншій основі. Для якого кута нахилу бічних сторін трапеції переріз каналу буде мати найбільшу площу?

Задача 12. Витрати на паливо, що необхідне для руху океанського лайнера, пропорційні до куба його швидкості та становлять 20 у. о. за 1 год. при швидкості 10 вузлів (1 вузол = 1852 м/год). Знайти найекономічнішу швидкість лайнера за тихої погоди.

Враховуючи сучасні суспільні умови, завдання реалізації прикладної спрямованості шкільного курсу математики є актуальним. Його розв’язування залежить від двох чинників: педагогічної майстерності вчителя і вмінь учнів застосовувати метод математичного моделювання для розв’язування спочатку навчальних, а потім і реальних проблем.

1.3 Математичне моделювання при розв’язуванні задач

Моделювання як спосіб пізнання та дослідження застосовується у шкільному навчанні вже у 1 класі при вивченні предметів природничого циклу, праці, творчості. З переходом учнів до основної школи настає час ознайомити їх з математичним моделюванням як прийомом діяльності при дослідженні реальних об'єктів і процесів та при розв’язуванні задач прикладного характеру.

Шкільний вчитель — ключова фігура в освіті: він і дослідник і практик одночасно. Тому актуальною задачею є створення навчальних засобів, орієнтованих як на учня, так і на вчителя, які враховують не тільки рівень розвитку суспільства, а й реальності сучасної школи.

Метою перших кроків учителя є прищепити учням навички математичного моделювання. Навчити правильно виконувати всі його етапи. Показати його застосування для розв’язування прикладних задач. Нижче пропонуються методичні матеріали для факультативних занять, покликані допомогти в цьому вчителю. Частина завдань може здатися легкими, такими, що звичайно розв’язуються в один чи два прийоми. З деякими видами задач учні зустрінуться вперше. Рекомендуємо навіть при розв’язуванні простих задач використовувати математичне моделювання. Такий підхід підготує учнів до розв’язування більш складних завдань.

Що таке математичне моделювання?

Слово «модель» утворилося від латинського слова, що означає «міра», «образ», «засіб». Ми використовуємо модель як образ (зразок) чогось, за її допомогою ми маємо можливість щось досліджувати. Моделювання можна розуміти як «створення образа» і його «дослідження», «вивчення». З моделями ми зустрічаємося на кожному кроці: фотографія людини — це її модель, глобус — це модель Землі, іграшки, що оточують дитину, — теж моделі чогось. Це приклади «фізичних» моделей.

Створення моделей та їх дослідження засобами математики називається математичним моделюванням. Чотириста років тому Галілео Галілей стверджував, що «книга природи написана мовою математики». Математичне моделювання використовується як один із самих зручних і ефективних засобів дослідження природи, світу, що оточує нас. За допомогою математики можна створити модель і окремого матеріального об'єкта (наприклад, колеса автомобіля), і складного економічного чи соціального процесу (наприклад, процесу впливу кредитної політики Національного банку на економічну ситуацію в країні), і навіть таких неймовірно далеких від нас природних процесів, як народження і загибель зірок у далеких галактиках.

Щоб за допомогою математики вміти описувати і досліджувати такі об'єкти або процеси, необхідно добре знати не тільки математику, а й фізику, хімію, біологію, інші галузі знань. Необхідно вміти користуватися законами Природи, здоровим глуздом і своїм власним досвідом.

Звичайно, задачі, що виникають у життєвих ситуаціях і стосуються реальних об'єктів або процесів, тобто прикладні задачі, вимагають переформулювання їх мовою математики. Таке переформулювання будемо називати математичним моделюванням і, відповідно, постановку прикладної задачі в математичних термінах називатимемо математичною моделлю цієї задачі. Наприклад:

Задача 1. Скільки ходок повинна зробити машина вантажопідйомністю 5 т, щоб вивезти 23 т піску.

Математична модель задачі:

Знайти найменше натуральне число, що дорівнює або більше частки від ділення числа 23 на число 5.

При складанні математичної моделі прикладної задачі виникає необхідність створення математичних моделей реальних об'єктів, про які йдеться в задачі.

Задача 2. Потрібно визначити, скільки кахлі в розміром 32×32 см необхідно купити для того, щоб викласти на стіну розмірами 1,8×2,4 м.

Для розв’язування цієї задачі реальний об'єкт — кахлі - заміняємо його математичною моделлю — квадратом з довжиною сторони 0,32 м, а математичною моделлю стіни може слугувати прямокутник довжиною 2,4 м і шириною 1,8 м. Математична задача в цьому випадку має такий вигляд:

Якою найменшою кількістю квадратів з довжиною сторони 0,32 м можна цілком покрити прямокутник довжиною 2,4 м і шириною 1,8 м?

Математична модель реального об'єкта або процесу може бути представлена у вигляді формули, таблиці, діаграми, геометричної фігури, пропорції тощо. Яка з форм представлення математичної моделі доцільна для розв’язування тієї чи іншої задачі, залежить від самої задачі (тобто від цілей дослідження конкретного об'єкта або процесу).

Для розв’язування прикладної задачі необхідно зробити кілька кроків, а саме:

1. Перевести умову прикладної задачі на мову математики.

2. Розв’язати отриману математичну задачу.

3. Скористатися результатами розв’язання математичної задачі, щоб знайти правильний розв’язок.

Такий підхід до розв’язування задач називається методом математичного моделювання. Дуже часто, розв’язуючи прикладні задачі на уроках математики, ми не замислюємося над послідовністю цих кроків, «змішуємо» їхнє виконання, а кожен з них має свої особливості і вимагає уваги. Усі наступні задачі будемо розв’язувати, використовуючи покроковий підхід.

Задача 3. У фермера є дві однакові за врожайністю ділянки землі у формі квадратів, причому сторона одного з них у 1,5 рази більша, ніж іншого. У скільки разів урожай з більшого поля перевищує врожай з меншого?

1. Переведемо цю задачу на мову математики.

Йдеться про дві ділянки землі у формі квадратів, тобто за математичну модель кожного поля можна взяти квадрат. Нехай у меншого квадрата сторона дорівнює а, тоді в більшого квадрата сторона дорівнює 1,5 а.

За умовою, врожайність на цих двох полях однакова. Тоді, щоб дізнатися, у скільки разів урожай на другому полі більший від врожаю на першому полі, необхідно обчислити, у скільки разів площа другого поля більша за площу першого поля. Отже, наша задача зводиться до такої математичної задачі.

Визначити, у скільки разів площа квадрата зі стороною 1,5 а більша за площу квадрата зі стороною а.

2. Розв’яжемо цю математичну задачу. Площа першого квадрата зі стороною а дорівнює а².

Площу другого квадрата зі стороною 1,5 а можна знайти як (1.5 а)² = 2,25 а².

Виходить, що площа другого квадрата в 2,25 рази більша за площу першого квадрата.

3. Дамо відповідь на запитання задачі.

Ми розв’язали математичну задачу й отримали результат: площа другого квадрата більша від площі першого в 2,25 рази. Звернемося знову до первісної задачі з полями. Перший квадрат — це математична модель першого поля, другий квадрат — математична модель другого поля. Отже, площа більшого поля в 2,25 рази перевищує площу меншого поля. Відповідно, при однаковій урожайності врожай, який фермер збере на другому полі, буде в 2,25 рази більший, ніж на першому.

Відповідь: Врожай на більшому полі перевищує врожай на меншому полі у 2,25 рази.

Звичайно, у житті на розрахунок планованого врожаю впливають ще й такі фактори, як погодні умови, втрати при зборі врожаю і багато інших. У нашій задачі ми припускали, що ці умови, як і врожайність, для двох полів однакові, проте у реальності так буває не завжди. Більш досконала математична модель повинна враховувати всі ці фактори. Такі складні моделі існують, і їх використовують у сучасних господарствах. А нашою метою є на прикладі цієї простої задачі показати, з яких трьох етапів складається математичне моделювання будь-якого процесу.

На І етапі, на якому ми переводили нашу задачу на мову математики, відбувалося створення математичної моделі.

На II етапі відбувалося розв’язування математичної задачі, або, як ще кажуть, дослідження математичної моделі.

На III етапі ми повернулися до нашої первісної задачі і використовували результати II етапу для отримання її розв’язку. Таке «пристосовування» результатів розв’язування математичної задачі до розв’язування прикладної задачі називається інтерпретацією результатів.

Яка користь від математичного моделювання?

При складанні математичної моделі, як і при створенні інших моделей, ми відволікаємось від несуттєвих для конкретної задачі властивостей об'єктів, від другорядних умов, що не виливають на розв’язок задачі. Коли задачу переведено на мову математики, то маємо справу не з «машинами», «ділянками землі» і т. п., а з числами, геометричними фігурами, формулами, рівняннями, тобто з математичними об'єктами.

У реальному житті виникає дуже багато різноманітних задач, що, на перший погляд, не мають між собою нічого спільного. Однак часто для їхнього розв’язання можна використовувати одну й ту саму математичну модель. Отже, уміння працювати з однією математичною моделлю дає змогу знаходити розв’язки багатьох прикладних задач. Наприклад.

Задача 4. Таня заплатила за 3 булочки і 1 батон 3 грн. 60 коп. Батон коштує 1 грн. 20 коп. Скільки коштує булочка?

Запишемо умову задачі математичною мовою. Нехай x — вартість булочки. Тоді 3 x — вартість трьох булочок. За три булочки й один батон по 1,2 грн. Таня заплатила 3,6 грн. Складемо рівняння: 3x + 1,2 = 3,6.

Щоб отримати відповідь на поставлене в задачі запитання, досить розв’язати це рівняння.

Задача 5. Машина, у якій було 3,6 т. піску, відвантажувала на кожен з трьох будівельних об'єктів однакову кількість піску. Після цього в машині залишилося 1,2 т. піску. Скільки піску було відвантажено на кожен об'єкт?

Нехай x — кількість піску, відвантаженого на кожен об'єкт. Тоді 3 x — кількість відвантаженого піску на три об'єкти. Побудуємо математичну модель:

3 x + 1,2 = 3,6.

Як бачимо, математичною моделлю для задач 4 і 5 є та сама математична задача: «Розв'язати рівняння 3 x + 1,2 = 3,6».

Побудова математичної моделі - перший і дуже відповідальний етап розв’язування прикладної задачі. Неправильна математична модель веде до хибної відповіді. В цьому можна впевнитися на прикладі задачі 5.

Задача 5. 60 робітників побудують тунель за 210 днів. За скільки днів побудують тунель 40 робітників?

Якщо її розв’язувати за допомогою пропорції, з відповіді виходить, що 40 робітників зроблять тунель навіть швидше, ніж 60, усього за 140 днів. Звичайно, можна припустити, що 20 робітників самі нічого не роблять і іншим заважають працювати, і якщо їх відсторонити від роботи, то робота піде швидше. Однак скоріше за все неправильно була складена математична модель. Варто спробувати ще раз уважно розібратися в задачі і скласти для неї придатну математичну модель.

Математичне моделювання дає змогу не тільки обчислити конкретне значення якоїсь шуканої величини, а й дослідити самі об'єкти або процеси, про які йдеться в задачі; розглянути інші можливі варіанти значень шуканої величини, якщо будуть мінятися дані в умові задачі.

Це стає можливим, наприклад, якщо при складанні математичної моделі використовується одна чи кілька формул.

Запропонований методичний матеріал для ознайомлення учнів з математичним моделюванням є спробою наблизити процес навчання математики до вимог часу та запитів суспільства. Один із головних висновків, які були зроблені за результатами міжнародних досліджень ТІМ55, РІ5А-2000 та РІ5А-2003, полягає в невідповідності моніторингових завдань до російського (також і українського) стандарту математичної підготовки учнів. Така розбіжність пов’язана, з одного боку, з традиційно для пострадянського простору посиленою увагою до академічної складової змісту навчання математики, а з іншого боку — з недооцінкою ролі прикладної спрямованості навчання в сучасній освіті. У деяких розвинених країнах світу існує більш прагматичний підхід до шкільної математичної освіти, який реалізується в цілеспрямованому орієнтуванні учнів на застосування знань з математики. Безумовно, кожна національна освітня система має свої особливості, зумовлені не в останню чергу традиціями та надбаннями попередніх поколінь. Але на сьогоднішній день на тлі потужних міжнародних інтеграційних процесів, що відбуваються майже в усіх галузях людської діяльності, неможливо не враховувати як сучасні тенденції в освіті, так і позитивний досвід інших країн. Реалізація у шкільному курсі математики основної школи окремої змістової лінії «математичне моделювання» без приниження базової теоретичної підготовки учнів допоможе навчати учнів застосуванню знань з математики. Математичне моделювання як елемент математичної грамотності виступає засобом реалізації прикладної спрямованості навчання математики, посилює та збагачує фундаментальну математичну освіту в межах, що відведені основною школою.

Не буде перебільшенням стверджувати, що наявність у шкільній математичній освіті такого прийому діяльності, як математичне моделювання, є ознакою сучасного підходу в навчанні математики, проявом якісної функціональної математичної підготовки учнів.

Серед сучасних математичних методів наукового дослідження найбільшого поширення набув метод математичного моделювання. Він використовується також як метод навчального пізнання у вищій і в загальноосвітній школі.

Фундаторами сучасної методології математичного моделювання були В. М. Глушков, В. Б. Гнеденко, А. М. Колмогоров, О. А. Самарський, А. М. Тихонов, А. Ф. Турбін, В. С. Королюк, В. М. Остапенко та інші. Не дивно, що названі вчені, розробляючи методи математичного моделювання і їх використання в різних галузях науки і техніки, прийшли в 70-х — 80-х роках до думки про необхідність навчання математичного моделювання студентів університетів, учнів загальноосвітньої школи. Розвиток інформацій основний зміст сучасної математики, а з другого — її прикладні можливості, методологічні проблеми й історичний процес її розвитку".

А.М. Колмогоров, розглядаючи питання про сучасну математику та навчання її в школі, підкреслював: «Дивлячись у майбутнє, необхідно вже зараз будувати шкільний курс так, щоб учні були підготовлені до сприйняття нових аспектів прикладної математики… Задача полягає в тому, щоб уже в школі переконливо показати, що „сучасна математика“ дає змогу будувати математичні моделі реальних ситуацій і процесів, що вивчаються в застосуваннях, не тільки не гірше, але логічно послідовніше і простіше, ніж традиційна».

Видатні вчені до прикладної математики відносили ту частину математики, в якій вивчаються математичні структури, які моделюють ті чи інші реальні явища, тобто прикладна математика є наукою, що вивчає реальні явища математичними методами.

На сучасному етапі розвитку шкільної математичної освіти, в умовах особистісно орієнтованого навчання, рівневої та профільної диференціації, проблема навчання майбутніх учителів математики математичного моделювання, навичкам і вмінням такої роботи з учнями середньої школи набула особливої гостроти.

Формування вмінь математичного моделювання, перерахованих у галузевих стандартах — спільна задача всіх математичних курсів, яка в рамках кожної математичної дисципліни може мати свої ефективні та специфічні шляхи реалізації.

Ці шляхи відповідно до концепції базової математичної освіти в Україні, Державних стандартів освіти також знайшли своє відображення у нових програмах математичних курсів та побудованих на їх основі робочих програмах викладачів.

1.4 Математичне моделювання як метод пізнання навколишнього світу

Математична модель — наближений опис якого-небудь класу явищ зовнішнього світу, виражений за допомогою математичної символіки. Аналіз математичної моделі дозволяє проникнути в сутність досліджуваних явищ. Математична модель — могутній метод пізнання зовнішнього світу, а також прогнозування і керування. Процес математичного моделювання, тобто вивчення явища за допомогою математичної моделі, можна поділити на чотири етапи.

Перший етап — формулювання законів, що пов’язують основні об'єкти моделі. Цей етап вимагає широкого знання фактів, що стосуються досліджуваних явищ, і глибокого розуміння їхнього взаємозв'язку. Ця стадія завершаться записом сформульованих якісних уявлень про зв’язки між об'єктами моделі у математичних термінах.

Другий етап — дослідження математичних задач, до яких приводять математичні моделі. Основним питанням тут є розв’язання прямої задачі, тобто одержання в результаті аналізу моделі вихідних даних (теоретичних висновків) для подальшого зіставлення їх з результатами спостережень досліджуваних явищ. На цьому етапі важливу роль набувають математичний апарат, необхідний для аналізу математичної моделі, і обчислювальна техніка — могутній засіб для одержання кількісної вихідної інформації як результату розв’язування складних математичних задач. Часто математичні задачі, що виникають на основі математичної моделі різних явищ, бувають однаковими (наприклад, основна задача лінійного програмування відображає ситуації різної природи). Це дає підставу розглядати такі типові математичні задачі як самостійний об'єкт, абстрагуючись від досліджуваних явищ.

Третій етап — з’ясування того, чи задовольняє прийнята гіпотетична модель критерії практики, тобто з’ясування питання про те, чи узгоджуються результати спостережень з теоретичними висновками моделі в межах точності спостережень. Якщо модель була цілком визначена (усі параметри її були задані), то визначення відхилень теоретичних висновків від спостережень дає розв’язання прямої задачі з наступною оцінкою відхилень. Якщо відхилення виходять за межі точності спостережень, то модель не можна прийняти. Часто в процесі побудови моделі деякі її характеристики залишаються не визначеними. Задачі, у яких визначаються характеристики моделі (параметричні, функціональні) так, щоб вихідну інформацію можна було порівняти в межах точності спостережень з результатами спостережень досліджуваних явищ, називаються оберненими задачами. Якщо математична модель така, що ні при якому виборі характеристик ці умови не можна задовольнити, то модель непридатна для дослідження розглянутих явищ. Застосування критерію практики до оцінки математичної моделі дозволяє робити висновок про правильність положень, які лежать в основі моделі (гіпотетичної), що підлягає вивченню. Цей метод є єдиним методом вивчення недоступних нам безпосередньо явищ макроі мікросвіту.

Четвертий етап — наступний аналіз моделі в зв’язку з нагромадженням даних про досліджувані явища і модернізація моделі. У процесі розвитку науки і техніки дані про досліджувані явища усе більше і більше уточнюються і настає момент, кати висновки, що одержують на основі існуючої математичної моделі, не відповідають нашим знанням про явите. Таким чином, виникає необхідність побудови нової, досконалішої математичної моделі. Типовим прикладом, що ілюструє характерні етапи побудови математичної моделі, є модель Сонячної системи. Спостереження зоряного неба почалися в далеку давнину. Первинний аналіз цих спостережень дозволив виділити планети з усього різноманіття небесних світил. Таким чином, першим кроком було виділення об'єктів вивчення. Другим кроком стало визначення закономірностей їхніх рухів. (Узагалі визначення об'єктів і їх взаємозв'язків є вихідними положеннями — «аксіомами» — гіпотетичної моделі.) Моделі Сонячної системи в процесі свого розвитку пройшли через ряд послідовних удосконалень. Першою була модель Птолемея (2 ст. н.е.), яка виходила з положення, що планети і Сонце рухаються навколо Землі (геоцентрична модель), і описувала ці рухи за допомогою правил (формул), що багаторазово ускладнювалися в процесі нагромадження спостережень. Розвиток мореплавання поставив перед астрономією нові вимоги до точності спостережень. М. Коперник у 1543 р. запропонував принципово нову основу законів руху планет, яка базувалася на тому, що планети обертаються навколо Сонця по колу (геліоцентрична система). Це була якісно нова (але не математична) модель Сонячної системи. Однак не існувало параметрів системи (радіусів кіл і кутових швидкостей руху), що приводять кількісні висновки теорії в належну відповідність зі спостереженнями. Таким чином М. Коперник був змушений уводити виправлення в рухи планет по колу (епіцикли).

Наступним кроком у розвитку математичної моделі Сонячної системи були дослідження Й. Кеплера (початок 17 ст.), який сформулював закони руху планет. Положення М. Коперника та Й. Кеплера давали кінематичний опис руху кожної планети окремо, не враховуючи причин, що обумовлюють ці рухи. Принципово новим кроком були роботи І.Ньютона, що запропонував у другій половині 17 ст. динамічну модель Сонячної системи, яка базувалася на законі всесвітнього тяжіння. Динамічна модель узгоджується з кінематичною моделлю, запропонованою Й. Кеплером, оскільки з динамічної системи двох тіл «Сонце — планета» випливають закони Кеплера.