Аксiоми, iтуїцiя, домовленiсть

Реферат на тему:

Аксiоми, iтуїцiя, домовленiсть Зосередивши увагу на спробi конвенцiалiстiв логiстично пояснити роль iнтуїцiї в науковому пiзнаннi можна зробити висновок, що iнструментальнiсть конвенцiй не має волюнтарно-суб'єктивiстського характеру. Iнтуїцiя як джерело конвенiональних угод розглядається у виглядi здатностi створювати системно-аналоговий зв’язок мiж по­­­переднiми (традицiйними) i ново-набутими уявленнями, а не як довiльна гра уявлення суб'єктивного духу.

Це демонструє наведений у другому роздiлi приклад демонстрацiї логiстичностi iнтуїцiї пов’язаний з вправами англiйського матема­­­тика Л.Керроелла.

Конвенцiоналiзм склався як фiлософiї науки, що визнає довiльнiсть вибору вихiдних понять i аксiом (обмежену лише деякими коммунiкативно-формальними вимогами щодо спiввiдношення помiж чле­­­нами прийнятої групи положень). Це усувало, на думку прихильникiв цього напрямку, необхiднiсть певного «вибору» мiж матерiалiстичним та iдеалiстичним (взагалi «метафiзичними» — у термiнологiї неопо­­­зитивiзму) вирiшенням даного питання.

В науковому вiдношеннi конвенцiоналiсти намагались спертись на такий факт, як можливiсть iснування незалежного ланцюга понять i законiв, що введенi в яку-небудь науку iз-зовнi i необхiднi для неї та незалежнi вiд змiсту самої цiєї науки. В цьому розумiннi математика «запозичує» з логiки деякi закони i правила, що вигля­­­дає як привнесення цих законiв i правил у математику суб'єктом. Наприклад, згiдно iдеї Д. Гiльберта, початковi поняття геометрiї можуть бути сконструйованi через формальнi визначення, що їх пок­­­ладають, i вiд останнiх не вимагається «очевидностi» i вони неначе вносяться iз-зовнi. Що ж стосується самої логiки, то за межi кож­­­ної даної логiчної системи виходить питання про вибiр та обгрунту­­­вання її аксiом (цi аксiоми можна, з логiчної точки зору, розгля­­­дати усерединi даної системи як результат виведення з пустої мно­­­жини засновкiв).

Безпосередню роль у виникненнi конвенцiоналiзму зiграло вiдкриття неевклiдових геометрiй[Див. наприкл.: 1], до чого пiзнiше приєдналась побудова рiзноманiтних систем формальної логiки, в тому числi й багатозначних (Лукасевич, Пост, Брауер та iншi). Факт внутрiшньої несуперечливостi рiзних систем формальної логiки i рiзних геометрiй виглядав як доказ їх незалежностi вiд емпiричних моделей, на вiдмiну вiд геометрiї Евклiда, залежнiсть котрої вiд повсякденного досвiду викликала набагато менше сумнiвiв. На користь конвенцiоналiзму використовувався й той факт, що iнодi одну й ту ж теоретичну систему деякої науки можна будува­­­ти, виходячи з рiзних наборiв аксiом.

Самi по собi природничонауковi конвенцiї ще не означають кон­­­венцiоналiзму як фiлософського вчення i мають суто науково-методо­­­логiчне значення. Конвенцiональнiсть деяких елементiв наукової те­­­орiї, наприклад, форми математичного представлення законiв фiзич­­­них процесiв, в наш час є загальновизнаною i не заперечується нi фiлософами, анi представниками точних наук. Але обгрунтований Пу­­­анкаре природничонауковий конвенцiоналiзм деякими фiлософами (Е.Леруа, А. Бергсон) вiдразу ж був розгорнутий у фiлософський кон­­­венцiоналiзм, котрий заперечував об'єктивний змiст в будь-яких на­­­укових побудовах i в науцi взагалi. Привiд для такої трансформацiї дав сам Пуанкаре, стверджуючи, що вибiр тiєї чи iншої форми теоре­­­тичного опису серед низки рiвноправних форм здiйснюється лише на пiдставi «зручностi», «корисностi». А це iнструменталiстське пояс­­­нення викликало можливiсть обгрунтування позицiї, коли побудовам науки почали приписувати винятково суб'єктивний характер. Слiд вказати, що у книзi «Останнi думки» Пуанкаре й сам констатував невдалiсть запозиченого ним термiну «зручнiсть» .

Засновник методологiї конвенцiоналiзму Жюль Анрi Пуанкаре (1854−1912) — видатний французький математик, фiзик та механiк. Вiн працював вiдразу в багатьох галузях фiзико-математичного знан­­­ня. Недаремно американський iсторик науки Е. Белл називав його (ра­­­зом iз Д. Гiльбертом) «останнiм унiверсалiстом». За тридцять з лишнiм рокiв напруженої творчої дiяльностi Пуанкаре залишив ве­­­личнi працi практично у всiх областях математичної науки. Фунда­­­ментальнiсть та розмаїття пошукiв зробили його загальновизнаним лiдером цiєї науки в очах сучасникiв.

Але охоплене Пуанкаре коло проблем не обмежується лише матема­­­тикою. Такими ж значними, як i в математицi, були його дослiдження у фiзицi. Наприкiнцi ХIХ столiття Пуанкаре критично переосмислив i внiс рiшучi оновлення у математичний апарат «небесної механiки», який складався на протязi двох столiть. На початку розвитку радiотехнiки вiн виступив з теоретичним аналiзом досягнень в цiй областi. А у дванадцятитомному «Курсi математичної фiзики», який вiн написав у наслiдок читання протягом декiлькох рокiв вiдповiдних лекцiй у Сорбоннi, розглядались всi роздiли сучасної йому теоретичної фiзики. Саме в його працях вперше були зформуль­­­ованi в досить повнiй та виразнiй формi всi основнi положення спецiальної теорiї вiдносностi. Вiн же першим поставив питання про необхiднiсть кардинальної змiни теорiї тяжiння Ньютона у вiдповiдностi до вимог нового принципу вiдносностi i розглянув перший варiант релятивiстської теорiї тяжiння. А в однiй з своїх останнiх праць вiн обгрунтував неминучiсть «нових» квантових уявлень у фiзицi. Тому цiлком справедливо було б стверджувати, що фiгура Пуанкаре уособлює собою той гiгантський злам у поглядах на свiт, який вiдбувся на межi ХIХ-ХХ столiть.

Починаючи з останнього десятилiття ХIХ столiття, Пуанкаре де­­­монстрував свою схильнiсть до глибокого аналiзу загальних проблем розвитку точних наук. Вiн висловлював смiливi судження, якi поєд­­­нували в собi широкий погляд на наукове пiзнання з глибоким та вiльним володiнням iдеями та методами конкретних наук. Але не­­­обхiдно зауважити, що далеко не всi його оригiнальнi висловлювання з фiлософських проблем в подальшому завоювали таке ж визнання та схвалення, як його досягнення в галузi математики та фiзики. Це зумовлено, зокрема, тiєю непослiдовнiстю, а iнодi — й супереч­­­ливiстю, якi Пуанкаре демонстрував у своїх фiлософсько-наукових мiркуваннях.

Для нас найбiльше зацiкавлення становить те коло питань, яке Пуанкаре вiднiс у «фiлософiю науки» в якостi своєрiдної методо­­­логiї. Цим питанням вiн присвятив свої працi «Наука i гiпотеза» (1902), «Цiннiсть науки» (1905), «Наука i метод» (1908) i «Останнi думки», яка вийшла пiсля смертi видатного вченого у 1913 роцi.

Як вже зазначалось у попереднiх главах, на початку ХХ столiття гостра полемiка розгорнулась навколо питання: звiдки математика бере свiй основний змiст? Багато вчених, вiдкидаючи гiпотезу Блеза Паскаля про визначальну роль iнтуїцiї i наочних споглядань простих iстин для становлення математики, категорично стверджували, що ма­­­тематичне знання виводиться чисто логiчним шляхом.

Наприкiнцi ХIХ-го та на початку ХХ-го столiття складається вчення логiцизму, яке зводило всю математику до логiки. У цей же перiод складається й математична логiка.

Iталiйський математик Пеано в 5-ти томах свого «Математичного формуляру» дав коментований виклад математики мовою логiчних дiй при допомозi розроблених ним спецiальних позначень. У цьому ж нап­­­рямку працювали нiмецькi вченi Фреге i Дедекiнд, британцi Рассел i Уайтхед. З розвитком математичної логiки противники вчення про «iнтуїцiю як основоположення математики» отримали (окрiм наявних доказiв недостовiрностi, посилань на наочнiсть) ще одне могутнє знаряддя, яке, як їм здавалося, дає можливiсть повнiстю i цiлком вилучити з математичного пiзнання iдею «iнтуїцiї» .

У 1901 роцi Рассел написав статтю «Найновiшi роботи про початки математики». Трохи пiзнiше виходить знаменита «Principia Mathematica» Рассела i Уайтхеда. Невдовзi французький вчений Кутю­­­ра опублiкував декiлька статей, в яких дав всебiчну оцiнку та де­­­тальний аналiз досягнень Рассела i Пеано. Всi цi дослiдження й склали теоретичний фундамент логiцизму.

Логiцисти вирiшили повнiстю вилучити з математики iнтуїцiю у всiх її видах. З їх точки зору, багатолiтня заочна суперечка мiж Ляйбнiцем та Кантом, тобто суперечка мiж логiкою та iнтуїцiєї в математицi, завдяки працям Пеано i Рассела є раз i назавжди вирiшеною на користь логiки. В цьому вiдношеннi найкращою iлюст­­­рацiєю слугує такий вислiв Рассела: iнтуїтивнi здiбностi «краще розвинутi у дiтей, анiж у дорослих, у собак їх, мабуть, бiльше, чим коли-небудь було в людей. Але хто в цих фактах побачив би ре­­­комендацiю для iнтуїцiї, повинен був би зробити з них висновок i знову бiгати дикуном в лiсах, яскраво розмальовуватись i харчува­­­тись акридамом i диким медом» [2. -с.12].

Тому не дивно, що логiцисти з погордою вiдкидали саму думку про можливiсть застосування iнтуїцiонiзму в математицi. Вся математи­­­ка, з їх погляду, може бути виведена з декiлькох понять, що само­­­визначаються, i речень, що не доводятьсяцi поняття i речення закладаються в основу логiки.

У той же час, коли-б здавалося, що поняття «iнтуїцiя» остаточно буде викинутим iз математики, Пуанкаре був фактично єдиним з євро­­­пейських учених, хто наважився на критику програми логiцизму. Зна­­­ходячись практично наодинцi, вiн не лише захистив iнтуїцiю, а ще й передбачив крах логiцизму у час його найбiльшого розквiту, коли, за словами Рассела, «великi трiумфи пробуджували великi надiї» .

У питаннi про природу математичного знання i природу математики Пуанкаре виявився втягнутим в тривалу полемiку з британськими та французькими прихильниками логiцизму (Расселом, Уайтхедом, Кутюра).

До оцiнки логiцизму Пуанкаре пiдходить диференцiйовано. На його думку, символiчна логiка, що розвивається логiцистами, «багатша за класичну, чисельнiсть символiв збiльшилась, вони дають змогу буду­­­вати рiзноманiтнi комбiнацiї вже в необмеженiй кiлькостi» [3. -с.21]. Безсумнiвну принадливiсть логiчних визначень Пуанкаре вба­­­чає у тому, що вони забезпечують строгiсть, якої ранiше бракувало математицi, котра приймала свої основнi положення без належного обгрунтування.

Але висунуту логiцистами програму побудови математики, i насам­­­перед її основи — арифметики, за допомогою виключно одної лише логiки, Пуанкаре вважає неприйнятною. На його думку, «чиста логiка завжди приводила б нас лише до тавтологiї i вона не могла б ство­­­рити нiчого нового» [3. -с.21].

Пуанкаре висуває наступнi принциповi заперечення логiцизму: новi результати в математицi не можна отримати лише при допомозi логiки — потрiбна ще й iнтуїцiядоведення вже отриманих матема­­­тичних iстин неможливе без звернення до iнтуїцiїсимволiка логiцистiв являє собою кайдани для математичної творчостi.

Загальний пiдсумок цих заперечень — неможливiсть зведення мате­­­матики до логiки i необхiднiсть визнати iнтуїцiю за одне з осново­­­положень математики. Пуанкаре не обмежився лише критикою логiцистiв, вiн розробив досить детальне вчення про iнтуїцiю.

Таким чином, не заперечуючи тiєї ролi, яку вiдiграє логiчне ви­­­ведення в математичнiй творчостi, Пуанкаре водночас вважає, що однiєю лише логiкою математика аж нiяк не вичерпується. Тобто не­­­обхiдним є ще один вид творчостi, який безапеляцiйно заперечували логiцисти, а саме — iнтуїцiя. Логiка може лише розгортати, розкри­­­вати те знання, яке iз самого початку закладене у вихiдних переду­­­мовах: «Доведення, що грунтується по-справжньому на принципах аналiтичної логiки, повинно складатись з низки реченьоднi з них, що слугують засновками, будуть представляти тотожностi або визна­­­чення, iншi — виводитимуться з перших крок за кроком, але, хоча зв’язок мiж кожним реченням i наступним помiчається безпосередньо, не можна буде вiдразу ж побачити, як здiйснився перехiд вiд першо­­­го речення до останнього, i з’явиться спокуса розглядати його як нову iстину. Але якщо послiдовно замiнювати рiзнi вирази, що в нь­­­ому фiгурують, на їх визначення i якщо продовжувати цю операцiю до тих пiр, поки це можливо, то пiд кiнець залишаться лише тотож­­­ностi, так що все зведеться до однiєї величезної тавтологiї. Отже, логiка, якщо вона не заплiднена iнтуїцiєю, залишається безплiдною» [3. -с.399]. Лише iнтуїцiя, осягнення iстини не шляхом доведення, а безпосереднiм iнтелектуальним угледiнням її змiсту, дозволяє зробити стрибок до нового знання.

Вважаючи дiйсним джерелом математичної творчостi iнтуїцiю, Пу­­­анкаре розрiзнює в нiй декiлька видiв: «спочатку звернення до чуттiв та уявипотiм узагальнення при допомозi iндукцiї, так би мовити, зкопiйоване з прийомiв експериментальних наукнарештi, ми маємо iнтуїцiю чистого числа… котра може дати початок справжнь­­­ому математичному розмiркуванню» [3. -с.402]. За Пуанкаре, першi два види iнтуїцiї, що пов’язанi з чуттєвiстю, самi по собi не да­­­ють достовiрного знанняїх данi повиннi бути ще перетвореними у науковi факти.

Третiй вид iнтуїцiї, який є iнтелектуальним, дає, на думку Пу­­­анкаре, цiлком достовiрне знання. Поняття iнтелектуальної iнтуїцiї виростає у Пуанкаре на основi констатацiї таких фактiв наукової творчостi, в тому числi i своєї власної, коли осягнення iстини вiдбувається без явно вираженого процесу логiчних виведень i тому має вигляд безпосереднього угледiння. Слiд пiдкреслити, що у ро­­­зумiннi iнтуїцiї Пуанкаре вiдкидає бергсонiвський iнтуїтивiзм. На його думку, невiрним буде бачити в iнтуїцiї iррацiонально-мiстичний процес. Вiн, спецiально вiдзначаючи це, дуже багато уваги придiляв конкретному аналiзу iнтуїцiї. Звертаючи увагу на те, що спалах iнтуїцiї у вченого завжди вiдбувається пiсля перiоду свiдо­­­мого i напруженого мислення, Пуанкаре висловлює припущення, що но­­­ва iдея, яка виступає в актi iнтуїтивного просвiтлення i є вирiшенням даної проблеми, являє собою результат неусвiдомлюваного продовження логiчного процесу, так нiби вiдбувається виникнення нової логiки. При цьому свiдоме мислення розглядається Пуанкаре не лише як початковий, але i як завершальний етап пiзнання: iнтуїтив­­­но знайдена iдея повинна потiм обов’язково пройти свiдомо здiйсню­­­вану логiчну обробку.

У працях Рассела, якi претендують на повне усунення iнтуїцiї з математики, Пуанкаре знаходить багато логiчно недоведених i невиз­­­начених термiнiв, якi, на його думку, можуть бути лише результатом безпосереднього iнтуїтивного споглядання. Називаючи логiцистiв чистими аналiтиками, Пуанкаре стверджує, що їх дослiдження у сферi арифметики фактично спрямовує не логiка, а «iнтуїцiя чистого чис­­­ла, iнтуїцiя чистих логiчних форм». Вiдношення, що повиннi встано­­­витись мiж iнтуїтивним i логiчним знанням, Пуанкаре уявляє собi як тiсне спiвробiтництво, в якому, однак, основоположна роль належить iнтуїцiї: «При допомозi логiки доводять, а при допомозi iнтуїцiї ­­­винаходять» [3. -с.400].

Але, водночас, видатний математик не перебiльшує й можливостей iнтуїтивного методу: «Iнтуїцiя не спроможна дати нам нi строгостi, анi навiть достовiрностi — це помiтно все бiльше й бiльше». Тому iнтуїцiя й логiка у математицi повиннi взаємодоповнюватись: «…логiка й iнтуїцiя вiдiграють кожна свою необхiдну роль. Обидвi вони є неминучими. Логiка, яка лише одна й може дати дос­­­товiрнiсть, є знаряддям доведенняiнтуїцiя є знаряддям ви­­­нахiдництва» [3. -с.401].

За Пуанкаре, розум — це слуга двох господарiв: логiка доводить, а iнтуїцiя творить. I та, й iнша є однаково необхiдними у матема­­­тичних дослiдженнях. Але, все ж таки, сам Пуанкаре вiддає перевагу iнтуїцiї. Але це й не дивно, якщо врахувати, що саме iнтуїцiя ба­­­гато разiв приводила його до нових вiдкриттiв, дозволяла вiдкрити новi можливостi. Про iнтуїтивний характер своєї творчостi говорив i вiн сам у знаменитiй доповiдi 1908 року на засiданнi Психо­­­логiчного товариства, яка увiйшла до книги «Наука i метод» у виг­­­лядi глави пiд назвод «Математична творчiсть». Тут вiн наводить приклади з своєї дiяльностi i говорить про те, що щаслива думка приходить до творця, як правило, не в той час, коли вiн трудиться над проблемою, а пiся того, коли вiн, не знайшовши рiшення, тимча­­­сово вiдкладає задачу, забуває про неї. Iдея народжується або зав­­­дяки мiнiмальному натяку, або ж взагалi без будь-якого видимого поштовху, що свiдчить про пiдсвiдому роботу, яка проходить у мозку незалежно вiд волi та свiдомостi. Цi спостереження повнiстю спiвпадали з тим, що повiдомляли до нього Гельмгольц та Гаусс.

Як i Гельмгольц, Пуанкаре вiдзначає, що «цi раптовi озарiння не вiдбуваються iнакше, нiж пiсля декiлькох днiв вольових зусиль, що здавалися зовсiм безплiдними, так що весь пройдений шлях в кiнце­­­вому рахунку уявлявся хибним. Але цi зусилля виявляються насправдi не такими вже й безплiдними, як це здавалосьце вони привели до руху машину безсвiдомого, яка без них не почала б рухатись i нiчо­­­го б не виробила» [3. -с.162]. Стрибок уяви лише завершує тривалi й впертi роздуми над проблемою.

Таким чином, в процесi творчої роботи Пуанкаре видiляє декiлька етапiв: пiсля деякого перiоду свiдомої працi i невдалих спроб до­­­сягти результату наступає бiльш чи менш тривала перерва, пiд час якої безсвiдома робота не припиняється, потiм раптово з’являється вирiшальна думка. Вiдомий голандський математик Е. Бет зформулював цю концепцiю Пуанкаре так: «Пiдготовка, iнкубацiя, натхнення i пе­­­ревiрка» [Цит.за: 4. -с.236]. Процес iнкубацiї iдей або процес безсвiдомої роботи, як пiдкреслював Пуанкаре, є можливим або хоча б недаремним, якщо йому передує i за ним наступає перiод свiдомої роботи. Свiдома робота є особливо необхiдною для обробки резуль­­­татiв натхнення.

Звiдси Пуанкаре задає таке питання: чи не випливає в такому ви­­­падку, що «я» пiдсвiдоме є чимось вищим, нiж «я» свiдоме? Це пи­­­тання для нього невипадкове, адже саме до такого висновку прийшов Е. Бутру, фiлософ-спiрiтуалiст, який двома мiсяцями ранiше виступав на засiданнi Психологiчного твариства де здiйснював свiй виступ Аноi Пуанкаре. Пуанкаре стосовно висновкiв Бутру висловився кате­­­горично: «Що стосується мене, то я, зiзнаюсь, вiднiсся б до такої вiдповiдi далеко не спiвчутливо». Так само критично вiн оцiнив погляди Бутру i в своїй доповiдi «Еволюцiя законiв», проголошенiй на IY Мiжнародному конгресi.

Вiдкидаючи логiцизм, Пуанкаре у питаннi про природу арифметики, яка з другої половини ХIХ столiття розглядалась у якостi основи всiєї математики, запропонував свiй варiант, що грунтувався на кантiвських iдеях. У основоположному для арифметики принципi пов­­­ної iндукцiї Пуанкаре вбачав апрiорне синтетичне судження, яке яв­­­ляє собою «тiльки доказ могутностi нашого розуму, впевненого у своїй здатностi, спроможностi уявляти собi ту чи iншу дiю такою, що повторюється до нескiнченностi, оскiльки вона виявилась можли­­­вою хоча б раз» [3. -с.166].

Боротьба Пуанкаре проти логiцизму мала ще один наслiдок. Вона була спрямована проти методологiї iндуктивiзму, який багато в чому базувався на аналiтичних iдеях логiцизму. Виступи Пуанкаре з кри­­­тикою логiцизму, пiдтриманi Бутру, Мейєрсоном, Бреншвiгом мали визначне значення, оскiльки поставили перепону на шляху розповсюд­­­ження емпiризму у французькiй фiлософiї.

З критикою логiцизму був пов’язаний ще один аспект творчостi Пуанкаре. Це стосується канторової теорiї множин.

Як i багато iнших математикiв, Пуанкаре вважав несуперечливiсть найвищим критерiєм повноцiнностi математичної теорiї. Але на межi ХIХ i ХХ столiть у теорiї множин виявились суперечностi, до яких приводять цiлком вiрнi у логiчному вiдношеннi мiркування. Саме цi невирiшуванi парадокси й вiдвернули Пуанкаре вiд теорiї множин. Вiн ставив пiд сумнiв її право на iснування, поскiльки окремi її положення суперечили одне одному. Тому вiн виступив: проти засто­­­совування «трансфiнiтних чисел», введених Канторомз критикою аксiоматики Цермелопроти теорiї типiв Расселакритикував непре­­­дикативнi визначення в математицi. На думку Пуанкаре, аксiома Цер­­­мело (1904 р.) являла собою апрiорне синтетичне судження, а тому всi спроби Рассела довести цю аксiому вiн вважав безнадiйними.

Пуанкаре також був iнiцiатором сучасної постановки проблеми непредикативностi. В якостi непредикативних означень вiн розглядав визначення, що побудованi за принципом зачарованого кола — коли мiркування, що веде до бажаного результату, само спирається на те, що з його допомогою треба визначити. Джерелом непредикативностi i всiх суперечностей у теорiї множин Пуанкаре вважав основне поняття цiєї теорiї - актуальну нескiнченнiсть. Тому, на його думку, це поняття слiд виключити з математичного вжитку, i це дасть змогу вийти з парадоксiв теорiї множин.

Такi самi зауваження можна навести i стосовно «герменевтичного кола», коли замiсть аксiоматичного введення роблять спробу преди­­­кацiї, тим самим потрапляючи у «зачароване коло» нескiнченого регресу предикатiв.

Перший такий парадокс виявив у 1897 роцi iталiйський математик Буралi-Фортi. Пiзнiше, у 1899 роцi, ще одна антиномiя була виявле­­­на Кантором. Тодi цi парадокси ще не усвiдомлювалися фундаменталь­­­но. Але нищiвного удару по теорiї множин завдало вiдкриття пара­­­доксу Рассела, оскiльки вiн витiкав прямо з визначення множини, даного Кантором. Невдовзi були вiдкритi парадокс Рiшара (1905 р.), парадокс Греллiнга (1908 р.) та iншi. Виявилось, що в теорiї мно­­­жин має мiсце навiть парадокс «брехун», що був вiдомий ще давнiм грекам.

Справа ускладнювалась тим, що теорiя множин на той час складала пiдгрунтя практично всiєї математики. Виявлення парадоксiв показа­­­ло, що фундамент цього пiдгрунтя сам є досить хитким. Самi основи математики й логiки виявились невирiшуваними суперечностями. Вiдбувся крах, здавалося б, непохитних понять та уявлень — тобто, iнакше кажучи, криза пiдвалин математики.

Ця криза рiзко загостриила боротьбу мiж такими течiями, як логiцизм, iнтуїцiонiзм i формалiзм. Виступи Пуанкаре проти логiцизму i припустимостi актуальної нескiнченностi, розробка ним вчення про математичну iнтуїцiю були одним з джерел виникнення iнтуїцiонiзму як одного з напрямкiв у обгрунтуваннi математики. Для прихильникiв iнтуїцiонiзму характерним є вiдкидання абстракцiї актуальної нескiнченностi i «чистих» теорем iснування, а також неприйняття необмеженого застосування закону виключеного третього.

Конвенцiональна позицiя Пуанкаре може розглядатись як вельми близька до математичного iнтуїцiонiзму. Близькiсть iдей Пуанкаре i основоположника iнтуїцiонiзму Брауера багато дослiдникiв вiдзнача­­­ють навiть у назвах поглядiв Пуанкаре: Френкель i Бар-Хiллел виз­­­начають його позицiю як раннiй iнтуїцiонiзм, Бет — як напiвiнту­­­їцiонiзм. Сам же Брауер охарактеризував Пуанкаре як одного з керiвникiв передiнтуїцiонiстської школи.

При гносеологiчнiй характеристицi геометрiї Пуанкаре висловив ряд положень, на пiдставi котрих його фiлософiю науки почали iме­­­нувати конвенцiоналiзмом. Вiн стверджував, що «геометричнi аксiоми не являють собою нi математичних суджень a priori, анi актiв досвiду. Вони є конвенцiями…» [3.-с.40]. Iнше формулювання Пуан­­­каре пiдкреслює довiльнiсть i суб'єктивнiсть конвенцiй: «Цi кон­­­венцiї є витвором вiльної творчостi нашого розуму, котрий в деякiй галузi не знає жодних перешкод. Тут вiн може стверджувати, оскiль­­­ки вiн же i робить собi приписи… Цi приписи мають значення для нашого пiзнання, яке без них було б неможливим, але вони не мають значення для природи» [3. -с.41]. Iншi характеристики геометричних аксiом-конвенцiй наближують позицiю Пуанкаре до прагматизму: «Нiяка геометрична система не може бути вiрнiшою за iншувона мо­­­же бути лише бiльш зручною» [3. -с.53]. Всi цi характеристики гео­­­метричних аксiом, якi вiдносяться Пуанкаре також i до фундамен­­­тальних положень фiзики, повнiстю вiдповiдають загальноприйнятому визначенню сутностi конвенцiоналiзму.

Однак, для точного визначення позицiй Пуанкаре необхiдно з’ясу­­­вати, що саме вiн розумiв пiд конвенцiями, який смисл вкладав у поняття «зручнiсть» i чи ототожнював «вiльну творчiсть нашого ро­­­зуму» при виробленнi конвенцiй з їх повною довiльнiстю.

Розглядаючи геометричнi аксiоми як продукт вiльної творчостi розуму, Пуанкаре пiдкреслював, що науково значущi конвенцiї гео­­­метрiї перебувають у певнiй вiдповiдностi з властивостями тiєї дiйсностi, до якої вони застосовуються. Вiн писав, що «якщо б пе­­­ренести нас у деякий iнший свiт (який я називаю свiтом неевклiдо­­­вим), то ми змушенi були б засвоїти собi й iншi конвенцiї» [3. -с.55]. Одним з перших Пуанкаре поставив питання про те, що рiзнi неевклiдовi геометрiї (котрi багато кому здавалися такими, що не мають жодного вiдношення до об'єктивної реальностi) володiють фiзичним смислом для рiзних типiв реальних поверхонь. Трактування «зручностi», що дається при цьому, є цiлком протилежною уявленню про довiльнiсть геометричних аксiом та систем, що базуються на них: «Евклiдова геометрiя зручнiша тим, що вона досить точно вiдповiдає властивостям природних твердих тiл — тiл, до яких наб­­­лижаються за властивостями члени нашого органiзму i нашi очi i з яких ми будуємо нашi вимiрювальнi прилади» [3. -с.60]. З точки зо­­­ру Пуанкаре, евклiдова геометрiя базується не на абсолютно довiль­­­них припущеннях, а на припущеннях, якi являють собою наближенi вiрнi вiдбитки властивостей свiту, в якому живе i дiє людина. Пу­­­анкаре передбачав вибiр на користь геометрiї Евклiда, водночас стверджуючи, що можна в принципi користуватись i будь-якою iншою внутрiшньо несуперечливою геометрiєю. Але цi загальнi мiркування залишились непiдкрiпленими конкретними фiзичними описами явищ на основi рiзних геометрiй. Тому тривалий час вченi, не приймаючи ге­­­ометричного конвенцiоналiзму Пуанкаре, намагались його подолати. I лише в останнiй час зникли сумнiви у справедливостi цього висновку про можливiсть опису одних i тих самих явищ iз застосуванням рiзних геометрiй.

Чому ж, в такому випадку, Пуанкаре називає геометричнi аксiоми конвенцiями, тобто, хоча б у обмеженому розумiннi, умовними поло­­­женнями, що мають характер угоди мiж вченими? Це пояснюється на­­­самперед тим, що створення неевклiдових геометрiй поставило вчених перед фактом iснування декiлькох вiдмiнних систем аксiом, що не мають характерної очевидностi, якою володiють аксiоми евклiдової геометрiїформулювання цих аксiом виявилось результатом умови­­­водiв, а не безпосереднього угледiння. Властива для наївного при­­­родничонаукового матерiалiзму гносеологiчна концепцiя дзеркаль­­­но-прямого i безпосереднього вiдбиття об'єктивної реальностi вия­­­вилась за цих умов повнiстю нездатною пояснити процес геометричної творчостi. Неминуча вiдмова вiд неї викликала враження, що у га­­­лузi геометрiї вiдбиття цiєї реальностi взагалi не має мiсця. Про­­­те, Пуанкаре лише частково пiдтримує таку точку зору. Вiн вважає, що умовнiсть в повнiй мiрi панує лише у момент формулювання тих чи iнших геометричних аксiом, якi встановлюються вченим без того, щоб вiн безпосередньо угледiв їх в навколишньому свiтiв цьому ро­­­зумiннi аксiоми й iменуються конвенцiями. Але наукова значущiсть цих аксiом залежить, на думку Пуанкаре, вiд того, чи вiдповiдають вони якiй-небудь фiзичнiй реальностi, що вже вiдома людинi, або тiй, iснування котрої лише припускається. Iнакше кажучи, результат геометричної творчостi отримує практичне застосування в тiй мiрi, в якiй у ньому вiдображено взаємодiю iз реальнiстю. Пуанкаре впев­­­нений, що таке вiдображення є не лише можливим, але дiйсно має мiсце, наприклад, у евклiдовiй геометрiї. З точки зору фiлософсь­­­кого конвенцiоналiзму, таке твердження є неправомiрним, а тому зрозумiло, що розумiння геометрiї Пуанкаре iстотно вiдрiзняється вiд точки зору фiлософського конвенцiоналiзму. Його кон­­­вернцiоналiзм — методологiчний.

Література:

1. Карнап Р. Преодоление метафизики логическим анализом язы­­­ка//Аналитическая философия науки: становление и развитие. -М., 1998.

2. Патнем Х. Реализм с человеческим лицом//Аналитическая фило­­­софия науки: становление и развитие. -М., 1998.

3. Борн М. Размышления и воспоминания физика: Сборник статей. -М., 1977.

4. Аристотель. Метафизика//Сочинения: В 4-х тт. -М., 1976. -Т.1.

5. Ратников В. С. Физико-теоретическое моделирование: основания, развитие, рациональность. -К., 1995.

6. Чуйко В. Л. Iнтерпретацiя та реконструкцiя наукового знан­­­ня//Фiлософська думка. -N5. -К., 1999.

7. Рорти Ричард. После философии — демократия//Боррадори Дж. Американский философ: Беседы с Куайном и др.-М., 1998.

8. Lyotard J.-F. La Condition postmoderne. Rapport sur le savoir. -Paris, 1979.

9. Чуйко В. Л. Гносеологiчнi проблеми аналiзу процесу техно­­­логiчного використання наукового знання// Проблеми фiлософiї. N91. -К., 1992.

10. Платон. Диалоги.-М., 1986.

11. Див.: Лосев А. Ф. Миф, число, сущность. -М., 1994.

12. Price D.J. de S. Science Since Babylon. -Vale, 1961.

13. Жак Деррiда у Москвi. -М., 1992.

14. Чуйко В. Л. Про методологiчну недосконалiсть монiзму// Фiло­­­софськi читання пам’ятi Павла КопнiнаК., 1997.

15. Чуйко В. Л. Конструирующее мышление и технологическое приме­­­нение науки//Философские проблемы современного естествознания. -Вып. 72. -К., 1990.

16. Кондаков Н. И. Сравнение // Логический словарь-справочник. -М., 1975.

17. Рижко В. А. Концепцiя як форма наукового знання. -К., 1995.

18. Категории диалектики, их развитие и функции. -К., 1980.

19. Кузанский Н. Сочинения в двух томах. -Т.1. -М., 1979.

20. Ильенков Э. В. Проблема противоречия в логике//Диалектичес­­­кое противоречие. -М., 1979.