Математичне моделювання реле постійного струму

Вступ

Математична модель (ММ) — сукупність математичних об'єктів (чисел, символів, множин і т. д.) і зв’язків між ними, що відображають найважливіші для проектувальника властивості проектованого технічного об'єкту.

Моделювання більшості технічних об'єктів можна виконувати і мета рівнях, що розрізняються ступенем деталізації розгляду процесів в об'єкті.

Математичною моделлю технічного об'єкту на мікро рівні є система диференціальних рівнянь в часткових похідних, що описує процеси в суцільному середовищі із заданими граничними умовами. Система рівнянь, як правило, відома (рівняння Ламі для механіки пружних середовищ; рівняння Нав'є — Стокса для гідравліки; рівняння теплопровідності для термодинаміки і т. д.), але точне рішення її вдається одержати лише для окремих випадків, тому перша задача, що виникає при моделюванні, полягає в побудові наближеної дискретної моделі. Для цього використовуються методи кінцевих різниць і інтегральних граничних рівнянь, одним з варіантів яких є метод граничних елементів. Оскільки одержувана при дискретизації простору апроксимуюча система рівнянь алгебри має високий порядок, то при моделюванні достатньо складних технічних об'єктів доводиться приймати ряд допущень і спрощень і переходити до моделювання на макрорівні.

Математичною моделлю технічного об'єкту на макрорівні є система ОДУ із заданими початковими умовами. В основі ММ лежать компонентні рівняння окремих елементів і топологічні рівняння, вид яких визначається зв’язками між елементами. Передумовою створення єдиного математичного і програмного забезпечення аналізу на макрорівні є аналогії компонентних і топологічних рівнянь фізично однорідних підсистем, з яких складається технічний об'єкт. Для отримання топологічних рівнянь використовуються формальні методи. Основними методами отримання ММ об'єктів на макрорівні є наступні методи: узагальнений, табличний, вузловий і змінних полягання. Методи відрізняються один від одного виглядом і розмірністю одержуваної системи рівнянь, способом дискретизації компонентних рівнянь реактивних гілок, допустимими типами залежних гілок. Для складних технічних об'єктів розмірність ММ стає надмірно високою і для моделювання доводиться переходити на мета рівень.

На мета рівні моделюють в основному дві категорії технічних об'єктів: об'єкти, що є предметом досліджень теорії автоматичного управління, і об'єкти, що є предметом теорії масового обслуговування. Для першої категорії об'єктів можливе використовування математичного апарату макрорівня, для другої категорії об'єктів використовують методи подієвого моделювання.

1. Коротка характеристика реле

За конструкцією електромагнітні реле поділяються на реле клапанного типу і на реле соленоїдного типу (реле плунжерного типу). Реле клапанного типу в свою чергу діляться на реле з поздовжнім (перпендикулярним до поверхні полюса) та поперечним (відповідно паралельним) ходом якоря. В реле соленоїдного типу якір втягується в середину котушки.

В конструкції всіх електромагнітних реле використовуються характерні властивості феромагнітних матеріалів.

Речовини, які можуть намагнічуватись в зовнішньому магнітному полі і тим самим змінювати його, дістали назву магнетиків. Магнетики поділяються на три основних класи: діамагнетики, парамагнетики і феромагнетики. Кожний з магнетиків своєрідно впливає на зовнішнє поле. Діамагнетики послаблюють зовнішнє магнітне поле своїми невидимими магнітними моментами. Діамагнетики виштовхуються з магнітного поля, а парамагнетики і феромагнетики притягуються в магнітному полі. Феромагнетики притягуються магнітними полями з силою, набагато більшою чим парамагнетики. Феромагнетики перетворюються в парамагнетики при двох умовах:

— в сильному магнітному полі,

— при нагріванні до температури, яка визначена К’юрі і називається точкою К’юрі.

На рисунку 1.1 показана конструкція клапанного реле з поздовжнім ходом якоря. Дане реле складається з: 1 — якір (рухома частина реле), 2 — основа, 3 — полюси реле, які можуть закінчуватися полюсними наконечниками, 4 - котушка, 5 - полюси наконечника, 6 — пружина, 7 — рухомий контакт, 8 — нерухомі контакти, 9 — кон-тактна пружина, 10 - стопор.

В реле, під дією струму, виникає магнітне поле, яке можна поділити на три складові: — основний потік, що проходить по магнітопроводу і через повітряні проміжки між якорем та поверхнями полюса, та якір (див. рис. 1.1);

— потік розсіювання, що ділиться на дві складові:

а) магнітний потік розсіювання Фр1 (див. рис. 1.1), що проходить через основу, частину полюса, бокові поверхні між полюсами і частину 2-го полюса, тобто ці потоки існують між поверхнями полюсів і не замикаються через якір, б) магнітний потік розсіювання Фр2 (див. рис. 1.1) проходить через магнітопровід тільки одного полюса і повітряний проміжок за об'ємом реле.

В відсотковому співвідношенні до всього потоку дані потоки відповідно складають: Фб=90%, Фр1=9%, Фр2=1%. Рисуємо магнітну схему, яка зображена на рисунку 1.3

2. Побудова моделі реле постійного струму

Зробимо припущення:

1) знехтуємо магнітними потоками розсіяння Фр2, оскільки вони незначні

2) припускаємо, що котушка зосереджена в безмежно тонкому шарі і приплюснута до полюса (тобто є ідеалізованою);

3) магнітні потоки Фр1 в між полюсному проміжку замикаються по прямих лініях (плоско-паралельні).

Рис. 2.1 — Спрощена магнітна схема

Вибір n суттєво впливає на результат розрахунку. Чим більше n, тим точнішим буде результат. Щоб перевірити похибку при виборі n, потрібно зробити розрахунок при n удвічі більшим і порівняти результати з результатами при меншому n. Якщо точність нас задовільняє (попередньо точністю задаємося), то ми приймаємо результат при більшому значенні n за правильний. Якщо точність нас не задовільняє, то ми знову у два рази збільшуємо n. Так робимо до тих пір, поки не отримаємо заданої точності розрахунку.

У ній є нелінійний опір якоря. Дальше йдуть опори магнітних потоків R1 і R2. В даному випадку вони рівні. Весь потік розсіювання, який проходить по першій ділянці замінимо зосередженим опором розсіювання R_S1. Ті опори, що проходять по поверхні є постійними, а ті що по сталі-нелінійними. Далі йде магнітний опір першої ділянки — він є нелінійним. З однієї сторони схеми позначимо його М1, а з другої - М1'. Далі маємо ампервитки першої ділянки іw1. Аналогічно позначаємо інші ділянки. В результаті маємо 9 невідомих потоків.

Перенесення опорів робиться з метою зменшення рівнянь. Таким чином, у даній схемі є 4 вузли і тепер у нас є лише 7 невідомих. Буквою Б позначимо базовий вузол. На рисунку 2.2 зображено граф.

Рисунок 2.2 — Граф реле постійного струму Спочатку цифрами 1,2,3 пронумеруємо вітки дерева (суцільні лінії), а 4,5,6,7- хорди (пунктири). Кількість віток рівна кількості ділянок у заступній схемі. Кількість рівнянь за першим і другим законом Кірхофа 2n+1. Фундаментальні контури позначимо І,ІІ,ІІІ, IV.

Фундаментальний контур — це контур, в який входить одна і лише одна хорда графа і котра співпадає за напрямком з хордою графа. За умовою задачі нам відома конструкція реле (геометричні розміри), струм в обмотці, а також крива намагнічення.

3. Розрахунок моделі реле постійного струму (матриць інциденцій та оберненої матриці)

При розрахунку перехідних процесів, а також параметрів реле клапанного типу використовуються перша та друга матриці інциденцій. Перша матриця інциденцій повЧязує вершини графа (в теорії графів) з його ребрами. Простіше кажучи, є зображенням першого закону Ньютона. Друга матриця інциденцій повЧязує ребра графа з його контурами, тобто є виразом другого закону Ньютона. Нижче наведені програми для побудови матриць інциденцій при будь — якій кількості контурів та віток у графі.

Для першої матриці інциденцій:

Отримується результат (наприклад, при к=3 q=4): 1 0 0 1 -1 0 0 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 1 0 0 1 -1

Для другої матриці інциденцій:

Отримується результат (наприклад, при к=3 q=4): -1 0 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Складаємо систему рівнянь згідно з законами Кірхгофа (для вузлів А, В, С і контурів І.ІV див. граф):

Ф₁+Ф₄ — Ф₅=0

Ф₂+Ф₅ — Ф₆=0

Ф₃+Ф₆ — Ф₇=0

U_я(Ф₄)+(R_б1+ R_б2) Ф₄— R_s1 Ф₁=0 (4.1)

R_s1Ф₁— R_s2 Ф₂+ U₅(Ф₅) — i₁=0

R_s2 Ф₂— R_s3 Ф₃+ U₆(Ф₆) — i₂=0

R_s3 Ф₃ + U₇(Ф₂) + U₀(Ф₇) — i₃=0

В (1.1) невідомими є потоки Ф і залежності Uя (Ф4), U5(Ф5), U6(Ф6), U7(Ф7).

Для розвмязання цієї системи рівнянь скористаємося методом Ньютона.

4. Розрахунок напруг та перехідного процесу

З заступної схеми можемо написати рівняння для знаходження напруг для вузлів схеми:

U₁= Rs₁*Ф₁; U2=Rs₂*Ф₂; U3=Rs₃*Ф₃; U₄=(Rд₁+Rд₂)*Ф₄+ДU₄(Ф₄); U₅=ДU₅(Ф₅)-i*W_I; U₆= ДU₆(Ф₆)-i*W_II; U₇= ДU₇(Ф₇)-ДUo (Ф₇)-i*W_I.

Також напруги у вузлах можна знайти за допомогою кривої намагнічення. На рисунку 5.1 зображено якір, а на рисунку 5.2- крива намагнічення.

Рисунок 4.1 — Якір Рисунок 4.2 — Крива намагнічення

Задану криву намагнічення необхідно апроксимувати аналітичною формулою, яка повинна з заданою точністю відобразити даний графік.

Припустимо, що аналітична формула Н (В) описується рівняннями:

Hя=a₁B+a₂B³ (4.1)

Bя= a₃H+a₄H, (4.2)

Після апроксимації коефіцієнти а1, а2, а3, а4 стають відомими.

Відомо, що

Ф₄= B_яS_я, (4.3)

B_я= Ф₄/ S_я. (4.4)

Відомо (при певних допущеннях), що

U_я = H_яl _я = (a₁ B_я +a₂ B_я) l_я (4.5)

U_я = (a₁Ф_я/S_я+ a₂Ф_я³/S_я³) l_{я =} (с₁Ф_я+ с₂ Ф_я³)

с₁= a₁ l_я/S _я, (4.6)

с₂= a₂ l_я/S_я (4.7)

Рисунок 4.3 — Частини полюсів на кожній ділянці (І ділянка).

Знаючи магнітний потік Ф₅ ми можемо визначити В _м:

B_м= Ф₅/S₁; (4.8)

B_м= Ф₅/S₂. (4.9)

Напруженість на першій ділянці:

Н_м= a₁ B_м+ a₂ B _м³ (4.10)

Н_м= a₁ B_м+ a₂ B _м³ (4.11)

Тоді

U_м2= U_м+ U_м= Н_мl_n/n=(Н_м+ Н_м)l_n/n (4.12)

U_м2=(a₁ B_м+ a₂ B_м³+ a₁ B_м+ a₂ B_м³)l_n/n.

Зводимо подібні члени і замінюємо їх коефіціентами. Підставляємо замість В_м значення Ф₅/S₁ і винесемо Ф₅ за дужки.

Для інших ділянок розрахунок проводимо аналогічно.

Тепер нам потрібно вивести формулу для U_осн. Це робиться аналогічно як для U_я. Отже, за формулами (4.1 — 4.13) при відомих значеннях магнітних потоків можна визначити спади напруг

U_я (Ф_я), U_мі (Фі), U_о (Ф_о).

Рисунок 4.4 — Схема заміщення реле

Опори в повітряному проміжку знаходимо за формулами (4.14 — 4.15)

U_м1=RФ₁ (4.14)

Знаючи потоки Ф (і з допомогою Ф визначені напруги U), знаходимо нев’язку кожного рівняння. Перший раз задаємося потоками довільно, але бажано задатися якомога ближче до реального. Припустимо, що реле розбито на одну ділянку і ми знехтували потоками розсіювання і спадом напруги в сталі .

Нарисуємо заступну схему:

Ф_б=іw/(R+ R) = Ф_я= Ф₄= Ф₅= Ф₆= Ф₇ (4.15)

Нехтуємо потоками Ф₁, Ф₂, Ф₃.

Можна отримати ще кращий результат, якщо не нехтувати опорами, а їх лінеаризувати, щоб сума квадратичних відхилень була мінімальною.

Для подальшої роботи нам потрібно на основі цієї схеми розрахувати силу притягання якоря і потокощеплення котушки (приймаємо W=const).

F = B₁²S₁/2₀+ B₂²S₂/2₀ = Ф₄²/2₀S₁+ Ф₄²/2₀S₂ = w/3 (Ф₅+ Ф₆+ Ф₇);

У загальному випадку

_n= w/n (Ф_n+j+1) або ш_n=?(w_j*Ф_n+j+j1)

Для розрахунку перехідного процесу найперше потрібно знайти індуктивність котушки.

L (i)= / i;

/ i= w/nФ_n+j+1/ i= w/n Ф²_n+j+1

/ I= w/3(Ф₅/ i+Ф₆/ i+Ф₇/ i)

Для того, щоб знайти всі індуктивні потоки продиференціюємо систему рівнянь (4.1) по струму.

Ф^і₁+ Ф^і₄+ Ф^і₅=0

Ф^і₂+ Ф^і₅+ Ф^і₆=0

Ф^і₃+ Ф^і₆+ Ф^і₇=0

R_я Ф^і₄+ R₁+ R₂ Ф^і₄ — R_s1 Ф^і₁ = 0

R_s1 Ф^і₁+ R_s2 Ф^і₂ + R₅ Ф^і₅ — i ₁= 0

R_s2 Ф^і₂+ R_s3 Ф^і₃ + R₆ Ф^і₆ — i ₂= 0

R_s3 Ф^і₃+ R_s7 Ф^і₇ + R_осн Ф^і₇ — i ₃= 0

Якщо магнітні потоки постійні, то динамічні опори теж всі =const. Дана система рівнянь є сиcтемою рівнянь відносно магнітних потоків.

Складаємо матрицю Якобі та розв? язуємо рівняння у матричній формі:

де

V= R₁+ R₂+ R_я; V'= R₇ +R_о;

R_я=U_я/ Ф₄=с₁+3 с₂ Ф²₄.

Дуже часто нам необхідно шукати часткову похідну потокощеплення по повітряному проміжку.

Тому,

/=w/3(Ф₅/+Ф₆/+₇/)= w/3(Ф₅+Ф₆+Ф₇)

З них потрібно вибрати тільки ті потоки, які проходять через вишки. Продиференціюємо систему рівнянь по :

Ф₁+Ф₄ — Ф₅=0

Ф₂+Ф₅ — Ф₆=0

Ф₃+Ф₆ — Ф₇=0

R_я (Ф₄) Ф₄+(R₁+ R₂)/ Ф₄ +(R₁+ R₂) Ф₄=0

R_s1 Ф₁— R_s2 Ф₂+ R₅ Ф₅=0

R_s2 Ф₂— R_s3 Ф₃+ R₆ Ф₆=0

R_s3 Ф₃— (R₇+ R_o)Ф₇=0

Нам необхідно знайти один раз матрицю Якобі, щоб знайти обернену.

V= - (R₁+ R₂)/ Ф₄

Включення клапанного реле постійного струму

U= Ri+d/dt — закон Фарадея

=m_яdv/dt — другий закон Кірхгофа

v = d/dt

Отримаємо систему нелінійних (диференційних) рівнянь. Їх не можна розв’язувати без початкових умов І роду при t = 0.

Задамося початковими умовами

t = 0, і = 0, v = 0, = _max.

Потокощеплення є функцією від струму і повітряного проміжку

(і,).

Суму сил, що діють на якір розписуємо як

F = F_я — F_{пр. осн.} — F_{пр. конт.}= F_я (Ф) — F_{пр. осн.} () — F_{пр. конт.}(_конт.) _конт. = f ()

F = F_я — F_конт.

F_конт.

Перш, ніж зробити розрахунок реле нам потрібно знати залежність F_конт. (). Враховуючи початкові умови, отримаємо рівняння:

U = R i + /i i/t + / d/dt = R i + L (i) dv/dt + K v

F_я — F=m_я dv/dt = F_я(Ф_я) — F ()= m_я dv/dt; v=d/dt

Запишемо 2 умови:

(F_я — F) 0 0 _max.

Якщо ці умови не задовільняють, то якір не рухаєтся (v=0,dv/dt=o) До тих пір, поки сила притягання якоря буде меншою за силу пружини, якір не буде рухатися.

Не розбиваючи полюси на ділянки (але в реальності це треба робити), розібємо полюсний наконечник на один контур. Нарисуємо заступну схему.

Розв’яжемо систему диференційних рівнянь.

Ri+ d/dt — U=0 Ф_я— Ф_пруж.1= m_я dv/dt, v = dv/dt

U_кз.в=Г_к.з.вит i₁d_к.з.в/dt

Умова при t=0; і=0; і_к.в=0; Ф=0 — умова Коші І-го роду.

Нам потрібно розписати систему рівнянь.

=wФ₃; знайдемо похідну потокощеплення

d/dt =wdФ₃/dt;

d/dі dі/dt= d/dt=L (i) dі/dt

Потокощеплення залежить від i та від

d/dt=/t і/t +/ /t = dі/dt +Kv

d/di= dwФ₃/dі= wФⁱ

Диференціюємо по і по струму.

d_к.в./dt=/t dі/dt +/ d/dt; U_к.в=0

Система рівнянь, яку ми розглядаяємо, написана в неявній формі. Це означає, що вона не розвязується відносно похідних. Тому до неї не можна застосувати відомі методи розвязку дифрівнянь (Ейлера, Рунге-Кутта). Один з відомих методів, який не вимагає приведення рівнянь до нормального виду — метод диференціювання назад. Приведемо дане рівняння до нормального виду.

dі/dt =(U — Ri — Kv)/ L (i)

dv/dt = (F_я — F_пр)/m

d/dt = v

dі₁/dt =(- R_к.вi — K₁v)/ L _к.в(i)

Запишемо для даної системи дифрівнянь початкові умови І-го роду.

t = 0, і = 0, v = 0, = _max.

Якщо знехтувати петлею гістерезису, то вектор магнітних потоків буде рівним 0. =0.

7. Програма розрахунку

unit students;

interface

uses Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, Math, TeeProcs, TeEngine, Chart, Series, jpeg;

type TMainForm = class (TForm) Current: TLabeledEdit;

Delta: TLabeledEdit;

W: TLabeledEdit; Distance: TLabeledEdit;

MagnethicWidth: TLabeledEdit;

MagnethicHeight: TLabeledEdit;

MagnethicThickness: TLabeledEdit;

Parts: TLabeledEdit; Eps: TLabeledEdit;

CoreThickness: TLabeledEdit;

Size1: TLabel; Size2: TLabel; Start: TButton;

Test1: TLabel; Test2: TLabel; Next: TButton;

Exit: TButton; ReleImage: TImage;

Test3: TLabel; procedure StartClick (Sender: TObject);

procedure FormCreate (Sender: TObject);

procedure NextClick (Sender: TObject);

procedure ExitClick (Sender: TObject);

private { Private declarations } public { Public declarations } end;

type

mas=array[1.50] of real;

intmas=array[1.50] of integer;

mas2d=array [1.50,1.50] of real;

var MainForm: TMainForm;

Mu0,del, delManual, l, H, Sh, S1, S2,T, Rs, Rd, RCore, W1, Wk, i1, d, Sum, F1, E, TCore, FpCore: real; k, i, j, nEq, nParts: integer;

F, B: mas; Rdyn: mas; M: mas2d;

implementation

{$R *.dfm}

// Допоміжні процедури

// Процедура формування матриці Якобі

procedure JakobyCreation;

var i, j: integer; begin // Обнулення матриці Якобі for i:=1 to nEq do for j:=1 to nEq do M[i, j]: =0; for i:=1 to nParts do begin M[i, i]: =1;

M[i, i+nParts]: =1;

M[i, i+nParts+1]: =-1; M[i+nParts, i]: =-Rs; M[i+nParts+1,i]: =Rs; end; for i:=nParts+1 to nEq do M[i, i]: =Rdyn[i-nParts]; end;

// Процедура обернення матриці Якобі

procedure MatrixRotation; var i, j, k: integer; y, w: real;

z: intmas; b, c: mas; begin d:=1; for j:=1 to nEq do z[j]: =j; for i:=1 to nEq do begin k:=i; y:=M[i, i]; for j:=i+1 to nEq do begin w:=M[i, j];

if abs (w)>abs (y) then begin k:=j;

y:=w; end;

end; d:=y*d;

if abs (y)<0.01 then begin ShowMessage ('Матриця Якобі є виродженою');

halt end; for j:=1 to nEq do begin c[j]: =M[j, k];

M[j, k]: =M[j, i];

M[j, i]: =-c[j]/y;

M[i, j]: =M[i, j]/y;

b[j]: =M[i, j]; end;

M[i, i]: =1/y; j:=z[i];

z[i]: =z[k]; z[k]: =j;

for k:=1 to nEq do if k<>i then for j:=1 to nEq do if j<>i then M[k, j]: =M[k, j]-b[j]*c[k];

end; for i:=1 to nEq do begin k:=z[i];

if k<>i then begin for j:=1 to nEq do begin w:=M[i, j];

M[i, j]: =M[k, j];

M[k, j]: =w end;

j:=z[i];

z[i]: =z[k]; z[k]: =j;

d:=-d end;

end;

end;// Процедура обчислення нев’язок

Перелік використаної літератури

1. Чунихин А. А. Электрические аппараты. -М.: Энергия, 1967

2. Калантаров П. Л., Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники. — М.: Госэнергоиздат, 1951.

3. Холявский Г. Б. Расчет электродинамических усилий в электрических аппаратах. -М.: Госэнергоиздат, 1962.

4. Буйволов А. Я. Основы электроаппаратостроения.-М.: Госэнергоиздат, 1946.

5. Буткевич Г. В., Михайлов В. В., Ратгауз И. И. Реакторы. -М.: Госэнергоиздат, 1933.