Основні властивості означеного інтеграла.
Формула Ньютона
Тут варто зазначити, що в разі інтегрування підстановками повертатися до старої змінної не треба. Слід тільки пам «ятати, що в разі кожної заміни змінної потрібно обчислювати нові границі інтегрування. Основні випадки, в яких ця формула повинна застосовуватися, висвітлені в п. 8.3.4. Формула (9.7) аналогічна формулі інтегрування частинами в невизначеному інтегралі (8.2). Справедливість другої… Читати ще >
Основні властивості означеного інтеграла. Формула Ньютона (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Основні властивості означеного інтеграла. Формула Ньютона.
.
.
План.
Інтегрування підстановкою у визначеному інтегралі.
Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
1. Інтегрування підстановкою у визначеному інтегралі.
Теорема. Рівність.
.
що є аналогічною формулі (9.6), завжди правильна, якщо виконуються такі умови:
1) функція .
2) функція .
3) .
4) існує в .
Д о в е д е н н я. Якщо .
.
.
Справедливість другої рівності перевіряється диференціюванням обох частин по .
Із першої рівності отримаємо.
.
Із другої рівності будемо мати.
.
Праві частини останніх виразів рівні, отже, будуть рівні і їх ліві частини.
Тут варто зазначити, що в разі інтегрування підстановками повертатися до старої змінної не треба. Слід тільки пам «ятати, що в разі кожної заміни змінної потрібно обчислювати нові границі інтегрування.
Приклад. Обчислити .
Р о з в ‘ я з о к. Зробимо заміну .
.
Тоді.
.
2. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
Нехай функції .
Оскільки .
.
.
Основні випадки, в яких ця формула повинна застосовуватися, висвітлені в п. 8.3.4. Формула (9.7) аналогічна формулі інтегрування частинами в невизначеному інтегралі (8.2) .
Приклад 1. Обчислити .
Р о з в ‘ я з о к. Інтегруємо частинами:
.
.
.
Приклад 2. Обчислити .
Р о з в ‘ я з о к. 
.
Матимемо таке рекурентне співвідношення:
.
.
_.
.