Вирішення математичних завдань серед Excel

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Х2+Y2−3)^2+(2*Х+3*Y-1)^2. Натиснувши комбінацію клавіш++ виконайте операцію над виділеним масивом. У виділеному діапазоні з’являться обчислені значення функції. Крок 3. Знайдемо початкові наближення. Оскільки табулируемая функція задає поверхню, то початкові наближення слід шукати у западинах, тобто. в точках, де функція приймає найменші значення. На малюнку ці точки затемнені. Початковими… Читати ще >

Вирішення математичних завдань серед Excel (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Рішення математичних завдань серед Excel.

1 Кількісна дифференцирование.

Відомо, що численними наближеними методами похідна функції в заданої точці то, можливо обчислена з допомогою кінцевих разностей. Вислів, записаний у кінцевих разностях, для обчислення похідною функції одного змінного має вид:

Для обчислення похідною в Excel використовуватимемо наведену зависимость.

Розглянемо методику обчислення похідною з прикладу упражнения.

Припустимо потрібно знайти похідну функції Y= 2×3 + x2 у точці x=3. Похідна, розрахований аналітичним методом, дорівнює 60.

Для обчислення похідною виконайте такі дії:. табулируйте задану функцію на околиці точки х=3 з досить малим кроком, наприклад 0,001 (див рис.).

. в осередок С2 введіть формулу обчислення похідною. Тут осередок В2 містить значення хк+1, осередок А2 — хк.. буксировкой скопіюйте формулу до рядки 7, одержимо значення похідних в точках табуляції аргументу. Для значення x =3 похідна функції дорівнює значенням 60,019, що близько до значенням, вычисленному аналитически.

2 Кількісна обчислення певних интегралов.

Для чисельного обчислення певного інтеграла методом трапецій використовується формула:

Методику обчислення певного інтеграла в Excel з допомогою наведеної формули розглянемо на примере.

Пусть потрібно обчислити певний інтеграл Розмір інтеграла, розрахований аналітично дорівнює 9. Для чисельного обчислення величини інтеграла з наведеної формули виконайте такі действия:

. табулируйте подинтегральную функцію буде в діапазоні зміни значень аргументу 0 — 3 (див. рис.).

. в осередок С3 введіть формулу =(A3-A2)*B2+(A3-A2)*(B3-B2)/2+C2, яка реалізує подинтегральную функцию.

. Скопіюйте буксировкой формулу, записану в осередку С3 до значення аргументу x = 3. Розрахований значення в осередку С17 і буде величиною заданого інтеграла — 9.

3 Перебування экстремумов функцій з допомогою інструмента Пошук решения.

Якщо функція F (x) безупинна на відрізку [a, b] і має всередині цього відрізка локальний екстремум, його можна знайти використовуючи надбудову Excel Пошук решения.

Розглянемо послідовність перебування экстремума функції з прикладу наступного упражнения.

Нехай задана нерозривна функція Y= X2+X +2. Потрібна знайти її екстремум (мінімальне значение).

Аби вирішити завдання виконайте дії:. У осередок А2 робочого аркуша введіть будь-яке число те що області визначення функції, у цьому осередку перебуватиме значення Х;. У осередок В2 введіть формулу, визначальну задану функцію. Замість перемінної Х у цій формулі мусить бути посилання осередок А2: =A2² + A2.

+2. Виконайте команду меню Сервис/Поиск рішення;. Настройте параметри інструмента Пошук рішення: число ітерацій — 1000, відносна похибка 0,1.. на полі Встановити цільову осередок зазначте адресу осередки, що містить формулу.

(А2), встановіть перемикач Мінімального значенням, на полі Змінюючи осередки введіть адресу осередки, що містить Х (А2);. Клацніть на кнопці Виконати. У осередку А2 буде вміщено значення Х функції, у якому вона не має мінімальне значення, а осередку В2 — мінімальне значення функции.

Зверніть увагу, що у вікні Пошук рішення можна встановлювати обмеження. Їх доцільно використовувати, якщо функція многоэкстремальна, А слід знайти екстремум в заданому діапазоні зміни аргумента.

4 Рішення систем лінійних уравнений.

1 Вбудовані функції до роботи з матрицами В бібліотеці Excel розділ математичних функцій є функції для операцій над матрицями (табл.1.1).

Таблиця 1.1.

Параметрами функцій, які у таблиці, може бути адресні посилання на масиви, містять значення матриць, чи імена діапазонів та вислови, например

МОБР (А1: B2) чи МОПР (матрица₁).

2 Рішення систем лінійних уравнений Известно, що систему лінійних рівнянь в матричному поданні записується в виде:

AX=B. Розв’язання такої системи записується в виде.

X=A-1B, Де A-1 -матриця, зворотна стосовно А.

3 Приклад рішення системи лінійних уравнений:

Пусть система рівнянь задана матрицами:

Для виконання завдання виконайте дії:. Виділіть діапазон размерностью 2×2 і привласніть йому ім'я А;. Виділіть діапазон размерностью 1×2 і привласніть йому ім'я У;. Виділіть діапазон размерностью 1×2 і привласніть йому ім'я Х;. Використовуючи список імен виділіть діапазон Проте й введіть до нього значення елементів матриці А;. Використовуючи список імен виділіть діапазон У і введіть до нього значення елементів вектора У;. Використовуючи список імен виділіть діапазон Х для приміщення результату рішення системи;. У виділений діапазон Х введіть формулу.

=МУМНОЖ (МОБР (А);В);. Зазначте Excel, що виконується операція над масивами, при цьому натиснімо комбінацію клавіш ++, в осередках діапазону Х отримають результат: х1=2,16 667, х2= - 1,33 333.

Щоб виконувати перевірку отриманих результатів досить перемножити вихідну матрицю на вектор результату, результатом цієї операції є вектор вільних членов.

Решите систему рівнянь виду AX=B і виконайте перевірку решения.

5 Рішення нелінійних рівнянь методом добору параметра.

Використовуючи можливості Excel можна знаходити коріння нелінійного рівняння в припустимою області визначення перемінної. Послідовність операцій перебування коренів следующая:

1. Рівняння представляється як функції однієї переменной;

2. Виробляється табулювання функції буде в діапазоні ймовірного існування корней;

3. По таблиці фіксуються найближчі наближення до значенням корней;

4. Використовуючи засіб Excel Підбір параметра, обчислюються коріння рівняння із заданої точностью.

Розглянемо послідовність відшукання коренів нелінійного рівняння на примере.

Потрібна знайти коріння рівняння X3−0,01X2−0,7044X+0,139 104=0 на відрізку [-1; 1]. Права частина рівняння представлена полиномом третьої ступеня, отже, рівняння може мати трохи більше трьох коренів. 1. уявімо рівняння як функции.

Y = X3−0,01X2−0,7044X+0,139 104.

Відомо, що вихідного рівняння перебувають у точках перетину графіка функції з віссю Х. 2. Для локалізації початкових наближень необхідно визначити інтервали значень Х, всередині яких значення функції перетинає вісь абсцис, тобто. функція змінює знак. Для цього він табулируем функцію на відрізку [-1;+1] з кроком 0,2, одержимо табличні значення функції. З отриманої таблиці знаходимо, що значення функції тричі перетинає вісь Х, отже, вихідне рівняння тримає в заданому відрізку все три кореня. 3. Аналіз таблиці показує, що функція змінює знак у таких інтервалах значень аргументу Х: (-1;-0,8), (-0,2;0,4) і (0,6;0,8).

Тож у ролі початкових наближень візьмемо значення Х: -0,8; -0,2 и.

0,6. 4. На вільному ділянці робочого аркуша, як показано малюнку, в ячейки.

А15: A17 введіть початкові наближення, а відповідні осередки столбца.

У скопіюйте формулу.

5. Виконайте команду меню Сервис/Параметры, у вкладке Обчислення встановіть відносну похибка обчислень E=0,1, а число ітерацій N=1000, встановіть прапорець Ітерації. 6. Виконайте команду меню Сервис/Подбор параметра. У діалоговому вікні заповніть такі поля:

Встановити в осередку: на полі вказується адресу осередки, у якій записана формула правій частині функции;

Значення: на полі вказується значення, яке повинен мати поліном в результаті обчислень, тобто. права частина рівняння (у разі 0);

Змінюючи значення: на полі вказується адресу осередки (яка гласить початкова наближення), у якій обчислюватися корінь рівняння і яку посилається формула.

Після щиглика на ОК одержимо значення першого кореня: -0,92.

Виконуючи послідовно операції аналогічні попереднім, обчислимо значення інших коренів: -0,209 991 і 0,720 002.

6 Рішення систем нелінійних уравнений.

Застосовуючи надбудову Excel Пошук рішення можна вирішити системи нелінійних рівнянь. Попередньо система рівнянь мусить бути приведено одного рівнянню. Розглянемо послідовність рішення на прикладі упражнения.

Дана система двох уравнений:

Требуется знайти коріння наведеного рівняння для діапазону значень x і y [-3; 3]. Крок 1. Наведемо систему одного рівнянню. Кілька (x, y) розв’язує системи тоді й тільки тоді, коли він розв’язує наступного рівняння з цими двома неизвестными:

(x2 + y2 — 3)2 + (2x + 3y — 1)2 = 0 Крок 2. Аби вирішити останнього рівняння необхідно знайти початкові наближення, при цьому табулируем вираз, що стоїть у лівої частини як функцію з двох змінним x і y. Для табуляції функції виконайте такі дії:. У стовпець, А введіть послідовність значень Х з кроком 0,5, а рядок 3.

— послідовність значень У і з кроком 0,5.. Привласніть діапазонів значень Х і У імена Х і У, відповідно.. Виділіть діапазон осередків, у якому обчислюватись значення функции.

(B4:N16).. У виділений діапазон введіть формулу.

=(Х²+Y²−3)^2+(2*Х+3*Y-1)^2.. Натиснувши комбінацію клавіш [Ctrl]+[Shift]+[Enter] виконайте операцію над виділеним масивом. У виділеному діапазоні з’являться обчислені значення функції. Крок 3. Знайдемо початкові наближення. Оскільки табулируемая функція задає поверхню, то початкові наближення слід шукати у западинах, тобто. в точках, де функція приймає найменші значення. На малюнку ці точки затемнені. Початковими приближениями є пари (-1;1) і (1,5; -0,5). Запровадьте значення знайдених наближень в суміжні осередки робочого аркуша (див. рис.). Над стовпчиками зробіть написи XX і YY, котрі виконуватимуть в формулах роль міток. Зверніть увагу, що ми сьогодні вже використовували імена Х і Y, тому імена нових міток мають відрізнятися. Крок 4. У осередок рядки, у якій записана перша пара Х і У введіть формулу, вычисляющую значення функции:

=(XX²+YY²−3)^2+(2*XX+3*YY-1)^2 і скопіюйте їх у наступний рядок. Крок 4. Встановіть курсор на осередок, у якій записана формула і виконайте команду меню Сервис/Поиск рішення. Виконайте настроювання параметрів інструмента Пошук рішення: Граничне число ітерацій — 1000, відносна похибка 0,1. У вікні Пошук рішення як цільової осередки встановіть адресу осередки, що містить формулу, взведите перемикач Мінімального значенням, на полі Змінюючи осередки зазначте адресу діапазону, що містить початкові наближення і клацніть на ОК. У осередках, де зберігалися початкові наближення буде отримано перший пара коренів. Повторіть таку ж операції для другий пари наближень. Рішенням системи є пари (-1,269; 1,1791) і (1,5764; -0,718).

Завдання для самостійної работы.

1. Знайти коріння уравнения:

|Вариант |Рівняння |Відповідь | |1 |Sin (x)e-2x = 0 для значень x [-2;2] |Х = 0 | |2 |X3−2,56×2−1,3251x+4,395 006=0 |X=-0,94 644 | |3 |X3−2,92×2+1,4355x+0,791 136=0 для x |-0,32; 1,229 997; | | |[-3;3] |2,10 001 | |4 |x3−2,84×2−5,6064x-1 476 336 = 0 |4,700 766 | |5 |X3+1,41×2−5,4724x-7,380 384 = 0 |3,542 723 |.

2. Знайти коріння лінійного рівняння виду Ах=В і проверку:

Варіант 1 Вариант2.

Варіант 3 Варіант 4.

3. Знайти похідну функції: a) Y = 2×2 при x = 3 b) Y= Sin (x) для x = 0 з) Y = Cos (x) для x = 0 d) Y= Sin (x) для x = Пи/2 e) Y = Cos (x) для x = Пи/2 f) Y= Tg (x) для x = 0 4. Обчислити певний інтеграл: А) В) С) D).

5. Знайти екстремум функції: a) Y = (2 — x)2 b) Y = x2 + y2 — 3 з) Y = (x-2)2 +(y+3)2−6 d) Y = sin (2x) для x [0; Пи/2].

———————————- [pic]EMBED Equation.3[pic].

[pic].

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою