Розвиток уявлень учнів про величини

Вступ

Величезну роль в розумовому вихованні і в розвитку інтелекту грає математика. В даний час, в епоху комп’ютерної революції точка зору, що зустрічається, висловлюється: «Не кожен буде математиком», безнадійно застаріла.

Сьогодні, а тим більше завтра математика буде необхідна величезному числу людей різних професій. У математиці закладені величезні можливості для розвитку мислення дітей, в процесі їх навчання з найранішого віку.

Математика в початковій школі - це одна з найважливіших дисциплін. Вона розвиває уяву, спостережливість, образне й логічне мислення, яке є основою творчості, складовою частиною інтуїції, без якої не обходиться жодне наукове відкриття. Саме на уроках математики формуються особисті якості дитини: зібраність, організованість, здатність швидко та якісно приймати рішення, доводити й відстоювати свою думку.

Сьогодні важливе значення приділяється оновленню змісту освіти на засадах особистісної орієнтації, що передбачає, насамперед, всебічне врахування потреб дитини, її схильностей та інтересів, розробку змісту навчання й різних способів навчання.

У початкових класах учні дістають уявлення про величини і розглядають довжину, площу, масу, місткість, час, швидкість, вартість.

Ознайомлення учнів з поняттям величини має бути інтуїтивним, але при цьому не слід нехтувати науковими засадами. Словом величина можна називати тільки геометричні, фізичні астрономічні та інші величини. Порівнюють, додають і віднімають не величини, а значення величин.

Вивчення величин — це один із засобів зв’язку навчання математики з життям. Ознайомлення учнів початкових класів треба організувати так, щоб діти набули деяких практичних навичок вимірювання величин, конкретно уявляли собі одиниці їх вимірювання та співвідношення між ними.

Розробленість теми:

У вітчизняній літературі проблеми методики математики у початкових класах висвітлювали такі автори, як С.І. Дятлова, Л. П. Кочина, Г. П. Бевз, Я.І. Груденов та ін.

Вивченню величин в учнів початкової школи присвячені праці О.І. Юрчишина, І.М. Шаповала, Л. Сухіної та ін.

Мета курсової роботи полягає у дослідженні розвитку уявлень учнів про величини в процесі розв’язування задач.

Завдання курсової роботи обумовлені її метою:

— виявити та опрацювати літературу з теми курсової роботи;

— ознайомитись з відображенням властивостей дійсного світу через поняття величини;

— дослідити роль задач в ознайомленні учнів з властивостями величин;

— розкрити методику роботи над простими задачами з іменованими числами;

— вивчити особливості формування часових уявлень в учнів в процесі розв’язування задач на тривалість подій.

Об'єктом дослідження для даної курсової роботи є уроки математики в початкових класах.

Предметом є дослідження розвитку уявлень учнів про величини в процесі розв’язування задач.

Методи дослідження обумовлені об'єктом і предметом курсової роботи. Для розв’язання визначених завдань, досягнення мети застосовано такі методи дослідження: вивчення та аналіз літературних джерел, узагальнення, спостереження.

Структура роботи обумовлена логікою розгляду теми. Курсова робота складається з вступу, основної частини, висновку, списку використаної літератури та додатків. Основна частина складається з двох розділів.

1. Теоретичні основи вивчення величин у початковій школі

1.1 Відображення властивостей дійсного світу через поняття величини

Поняття величини є складовою змісту багатьох наук: математики, фізики, хімії, біології та ін. Без поняття величини вивчення дійсного світу обмежувалося б лише спостереженнями і залишалось би на описовому рівні. Введення таких величин як довжина, об'єм і температура, встановлення залежності між ними дозволило не тільки значно збагатити знання про світ та інші явища природи, а враховувати їх при розв’язуванні конкретних задач, що пов’язані з практичною діяльністю людини. Умови для введення тієї чи іншої величини визрівають у процесі розвитку даної галузі науки.

Кожний об'єкт має багато різних властивостей, які відображаються у відповідних величинах. Наприклад, властивості просторової протяжності відповідає величина, що називається довжиною, властивості інертності тіла — маса, властивості провідника перешкоджати проходженню електричного струму — опір провідника і т. ін.

Величини, які виражають одну і ту ж властивість деякої сукупності об'єктів, називають однорідними, різні властивості - неоднорідними. Так, довжина і площа є неоднорідними величинами [33, с. 25].

Величини не існують самі по собі, як деякі субстанції, що відірвані від матеріальних об'єктів і їх властивостей. В самій природі немає швидкостей, імпульсів, сил і т. ін. З другого боку величини певною мірою ідеалізують властивості об'єктів. У процесі абстракції завжди відбувається деяке спрощення дійсності, відволікання від ряду обставин. Тому величина — не сама дійсність, а лише її відображення свідомістю людини. Проте практика підтверджує, що величини правильно відображають властивості навколишньої дійсності.

При вимірюванні величин важлива роль вибору одиниць вимірювання. Навіть для вимірювання однієї величини не можна обійтися однією одиницею вимірювання. Наприклад, щоб виміряти довжини зернини пшениці, будинку або залізниці від Києва до Харкова зручніше користуватися міліметром, метром і кілометром відповідно. В різних народів і в різні часи одиниці вимірювання були різними.

Спершу за одиниці вимірювання вибиралися довжини руки, ноги, пальця людини, або предметів, що найчастіше оточували людину. На Україні здавна урожай рахували «копами» (копа 60 снопів) та «возами» або «хурами» (кількість снопів, яка вміщалася на возі). Рідину — воду, молоко тощо міряли «квартами» (2 пляшки), «гранцями» (4 кварти), «відрами» (10−12 літрів). У ткацькій справі використовувалися одиниці загальнослов’янського походження — «чисниця» (три нитки), «пасмо» (10 чисниць), «моток» (30 пасом). Селянами використовувалися оригінальні одиниці площі землі: «день» (площа, яку можна виорати за день волами), «опруг», «гона», «волока», «лан» та ін. З розвитком торгівлі, обміну товарами та іншими потребами людей виникла необхідність у введенні однакових для всіх країн одиниць вимірювання [33, с. 31].

Сукупність одиниць вимірювання різних величин, що ввійшли до вжитку, називається системою одиниць (системою мір). В 1960 році Генеральна конференція по мірам і вагам прийняла міжнародну систему одиниць (СІ) як універсальну систему для всіх галузей науки і техніки. На даний час вона включає:

1) сім основних одиниць: метр (м) — для довжини; кілограм (кг) — для маси; секунда (с) — для часу; моль (моль) — для кількості речовини; кельвін (К) — для термодинамічної температури; кандела (кд) — для сили світла; ампер (А) — для сили електричного струму;

2) дві додаткових одиниці: радіан (рад) — для плоского кута; стерадіан (ср) — для тілесного кута;

3) похідні одиниці, серед яких, наприклад, квадратний метр (м2) — для площі, кубічний метр (м3) — для об'єму [33, с. 43].

Похідні одиниці утворюються з основних та додаткових. Їх називають, як правило, через основні, додаткові або похідні одиниці; деякі одиниці мають свої спеціальні назви.

1.2 Величини, їх вимірювання і властивості

Поняття величини вперше виникло в філософії і пов’язувалось з дійсним числом. Арістотель писав, що та чи інша кількість є множиною, якщо її можна перелічити, і є величиною, якщо її можна виміряти. В книзі Евкліда «Начала» немає поняття величини, але в ній перераховуються аксіоми, які описують загальні властивості величин. Протягом довгого часу вчені намагалися дати означення величини:

за Героном Александрійським (мабуть, 1 ст. н. е.) величиною є все те, що може бути збільшене, чи зменшене необмежено;

за Ейлером величиною є те, що може збільшуватися і зменшуватися;

за Грасманом (1809−1877) величиною є певна річ, яка може бути визначена рівною чи нерівною другій речі;

за О. Д. Александровим (1912;1994) величиною є така властивість об'єктів, яка в певному відношенні може бути більшою або меншою, причому існує можливість її точного порівняння [33, с. 14].

У сучасній математиці існують різні точки зору на місце і значення величин у ній. Одні математики вважають це поняття неістотним для математики, інші ж, навпаки, вважають його одним із основних її понять.

Величина — одне з основних математичних понять, зміст якого узагальнюється з розвитком математики. Величина є узагальненням таких конкретних понять як довжина, площа, об'єм, час, маса тощо і які можна виразити додатним відношенням однорідних їм величин, обраних за одиницю вимірювання.

Величини відображають різноманітні властивості об'єктів реального світу: довжину, масу, об'єм, місткість, площу тощо. У математиці поняття величини виникло в результаті абстрагування від якісних особливостей, властивостей реальних об'єктів, щоб виділити лише кількісні відношення.

Величина — поняття абстрактне. В самій природі немає довжини, площі, сили, швидкості, маси і т.д. Ці та інші величини вводяться в процесі пізнання для описання конкретних предметів чи явищ природи. Тому величина — це не сама реальність, а лише її відображення.

Багатовікова практика показує, що величини правильно відображають властивості об'єктів навколишнього середовища і в даному випадку абстракція є засобом пізнання.

Поняття величини тісно пов’язане з поняттям вимірювання.

Виміряти величину — значить порівняти її і іншою однорідною з нею величиною, умовно прийнятою за одиницю.

Вимірювання — це дія, внаслідок якої експериментально встановлюється у скільки разів вимірювана величина більша або менша від умовно прийнятої одиниці.

Процес порівняння залежить від роду величини: для довжини він один, для площі - інший, для маси — третій і т.д.

Але яким би не був цей процес, в кінцевому результаті вимірювання ми отримуємо певне числове значення величини при обраній одиниці вимірювання.

Вимірювання є одним із шляхів пізнання природи людиною, який поєднує теорію з практикою. Роль і значення вимірювань в процесі розвитку природничих і технічних наук безперервно зростає, величини дають змогу перейти від описового до кількісного вивчення властивостей об'єктів, тобто математизувати знання про природу. Ще з початкових класів відомо, що величини можна порівнювати і з цього робити висновок про їх рівність чи нерівність. Так, прикладанням чи візуально діти порівнюють величини, вживаючи слова «довгий — короткий», «високий — низький», «важкий — легкий», «більший — менший». Але коли це неможливо і нам потрібно дізнатись у скільки разів величина одного об'єкту більша (чи менша) величини іншого, її треба виміряти.

Величини, які повністю визначаються одним числовим значенням, називаються скалярними величинами. Такими є: довжина, площа, об'єм, маса, вартість тощо.

Довжину, площу, об'єм, величину кутів ще називають геометричними величинами. Геометричні величини — це властивості геометричних фігур, які характеризують їх розміри і форму.

Є ще векторні величини: швидкість, сила, прискорення тощо. Векторними величинами називаються такі величини, які характеризуються числовим значенням і напрямком.

Латентна величина — це величина, властивість об'єкта чи явища, яку не можна виміряти (воля, сміливість, горе, щастя, радість, гнів). Її можна порівнювати на деякій інтуїтивній основі через систему поступків поведінки: порівняння їх умовне, не числове. Над такими величинами не можна виконувати арифметичні дії. Є ще величини тензорні, неархімедові та інші.

Однорідними величинами називають величини, які характеризують одну і ту ж якість предмета.

В початкових класах розглядаються лише адитивно-скалярні величини. Системою адитивно-скалярних величин називається така система однорідних величин, на якій визначена операція додавання, яка дає змогу замінити дві однорідні величини, а і b їх сумою a + b.

Для скалярних однорідних величин справджуються такі властивості (аксіоми):

1) Будь-які дві величини одного роду можна порівнювати.

Для довільних величин, а і b має місце один і тільки один з трьох випадків: «а = b», «а < b», або «а > b».

2) Для будь-яких а, b, с, якщо, а < b і b < с, слідує а < с (транзитивність нерівності).

3) Величини одного роду можна додавати, в результаті отримуємо величину цього ж роду.

Для будь-яких величин, а і b існує таке с, що с = a + b (існування і єдиність суми).

4) Для будь-яких величин, а і b справджується рівність a + b = b + a (комутативність додавання).

5) Для довільних величин а, b, с справджується рівність (а + b)+ с = а + (b+ с) (асоціативність додавання).

6) Існує нульова величина, яку позначаємо 0. Вона має такі властивості:

а) якщо, а? 0, то, а > 0;

б) для кожної величини, а справджується рівність, а + 0 = а;

в) а х 0 = 0.

7) Для будь-яких величин, а і b; b? 0; а+ b> а (монотоність додавання).

8) Для будь-яких величин, а і b, якщо а>b, то знайдеться таке с, що b + с = а (можливість віднімання).

9) Величини можна множити на дійсне число, в результаті отримаємо величину цього ж роду.

Для будь-якого натурального п знайдеться таке b, що п х b = а (виконуваність ділення: а: b= п).

10) Для будь-якого, а і додатного b (b>0) знайдеться таке натуральне число п (п є N), що а

11) Для двох послідовностей величин а₁<�а₂<�а₃<�…321 завжди існує така величина с, яка більша від усіх а_п і менша під усіх b_п (аксіома неперервності)

а₁<�а₂<�а₃<�…n<�сn…321

а) Довжина

Довжиною відрізка називається додатна величина, визначена для кожного відрізка так, що:

1) рівні відрізки мають рівні довжини;

2) якщо відрізок складається з скінченої кількості відрізків, то його довжина дорівнює сумі довжин цих відрізків;

3) існує відрізок, довжина якого дорівнює одиниці.

Властивості довжин відрізків:

1. При вибраній одиниці довжини, довжина будь-якою відрізка виражається додатним дійсним числом. Для кожною додатного дійсного числа існує відрізок, довжина якого виражається цим числом.

2. Якщо два відрізки рівні, то числові значення їх довжин також рівні, і навпаки: якщо числові значення довжин двох відрізків рівні, то рівні і самі відрізки.

а = b т_е (а) = т_е (b)

3. Якщо даний відрізок є сумою декількох відрізків, то числове значення його довжини дорівнює сумі числових значень довжин доданків, і навпаки: якщо числове значення довжини відрізка дорівнює сумі числових значень декількох відрізків, то і сам відрізок дорівнює сумі цих відрізків.

с= а + b т_е © = т_е (а) + т_е (b)

4. Якщо довжини відрізків, а і b такі, що b= ха, де х є R, і довжина a виміряна за допомогою одиниці е, то щоб знайти числове значення довжини b при одиниці виміру е, достатньо число х помножити на числове значення довжини, а при одиниці е.

b= ха т_е (b) = х т_е (а) Нехай х = 2; а = 7 см, тоді b = 2а = 2×7 см = 14 см.

5. При заміні одиниці довжини числове значення збільшиться (зменшиться) у стільки разів, у скільки нова одиниця менша (більша) старої.

Наприклад:

а) 5 м = 500 см

(1 м = 100 см) (нова одиниця у 100 разів менша, то числове значення збільшиться у 100 разів);

б) 5 м = 0,005 км

(1 км = 1000 м) (нова одиниця у 1000 разів більша, то числове значення у 1000 разів менше).

6. Відрізок, а більший відрізка b, якщо числове значення довжини відрізка, а більше числового значення довжини відрізка b при одній і тій же одиниці виміру і - навпаки:

а > b т_е (а) > т_е (b);

а < b т_е (а) < т_е (b);

7. Якщо даний відрізок с є різницею відрізка, а і b, то числове значення довжини відрізка с є різницею числових значень відрізка, а і b при одиниці виміру е і - навпаки:

с= а — b т_е © = т_е (а) — т_е (b)

8. Якщо відрізок b вміщається х разів у відрізку а, то числове значення довжини відрізка, а ділиться націло на числове значення відрізка b і отримаємо число х і навпаки:

х = а: b т_е (а): т_е (b)

В початковій школі:

— знаходять довжину відрізка з точністю до 1 мм (3 клас);

— будують відрізок даної довжини і порівнюють довжини відрізків;

— додають і віднімають відрізки, виконуючи відповідні дії над їхніми числовими значеннями;

— множать на число, ділять на число;

— дізнаються скільки разів менший відрізок вміщується в більшому.

В повсякденному житті сьогодні ми користуємось такими мірами довжини:

1 км = 1000 м;

1 м =10 дм = 100 см = 1000 мм;

1 дм = 10 см = 100 мм;

1 см = 10 мм;

1 мм.

Наведемо вираження деяких старих українських і російських неметричних одиниць довжини метричними:

Миля — 7 верст — 7,4 км;

1 верста — 500 сажнів — 1,0668 км;

1 сажень — 3 аршини — 2,1336 м;

маховий сажень — 1,76 м;

косий сажень — 2,48 м;

аршин — 16 вершків — 71,12 см;

1 вершок — 1,75 дюйма — 4,445 см;

дюйм — 10 ліній — 2,54 см.

В Англії та США користуються такими неметричними одиницями:

миля морська (міжнародна) — 1,852 км;

миля законна — 1,609 км;

ярд — 3 фути — 0,9144 м;

фут — 12 дюймів — 30,48 см;

дюйм — 2,54 см;

велика лінія — 2,54 мм;

мала лінія — 2,117 мм.

б) Маса

Маса тіла — одна із основних фізичних величин, вона тісно пов’язана з поняттям ваги — сили, з якою тіло притягується Землею. Тому вага тіла залежить не лише від самого тіла, але й від того, де розміщене тіло. Наприклад, вага тіл на Місяці у 6 разів менша, ніж на Землі. На екваторі вага тіла буде на 0,5% меншою, ніж на полюсі.

Отже, вага — сила притягання тіла, залежно від місця міняється, а маса (порівняно з іншою одиницею) не міняється.

Маса — це така додатна величина, яка має властивості:

1) маса однакова у тих тіл, які зрівноважуються на вагах;

2) маса декількох тіл, разом взятих, дорівнює сумі їх мас;

3) існує маса, прийнята за одиницю.

Вимірювання маси відбувається за допомогою ваг.

Для цього вибираємо тіло, масу якого приймаємо за одиницю (е) і дивимось, яке положення займуть шальки ваг. Зараз існують різні види ваг: талькові, механічні, електронні.

За одиницю маси прийнято 1 кг:

1/1000 кг = 1;

1 ц = 100 кг;

1 т = 1000 кг;

1 т = 10 ц.

в) Площа

В житті постійно доводиться стикатись з поняттям площі (площі кімнати, присадибної ділянки, площі поверхні стола тощо). Під площею розуміють місце, яке займає певне тіло (предмет) на площині (підлоги, землі, стола).

Площею фігури називають невід'ємну величину, визначену для кожної фігури так, що

1) рівні фігури мають рівні площі;

2) якщо фігура складена із скінченної кількості фігур, то її площа дорівнює сумі площ її частин;

3) існує квадрат, площа якого дорівнює 1 (е²) (сторона його дорівнює одиниці довжини).

Часто площу позначають буквою S. S (F) — площа фігури F.

Вимірювання площі - це порівняння площ даної фігури із площею одиничного квадрата е².

Наприклад,

S (F) = 5 e²

Число 5 називають числовим значенням площі при даній одиниці виміру е².

Щоб виміряти площу довільної фігури, покривають її сіткою квадратів, площа кожного з яких рівна е². Таку сітку називають палеткою.

При вимірюванні площі за допомогою палетки отримуємо М — кількість квадратів, які цілком лежать у фігурі (5); N — кількість квадратів, через які проходить фігура (нецілих — 13).

Тоді Ме < S (F) < (М+N) e²;

(5 см < S (F) < (5 + 13) см²).

М, М+N — наближені значення площі з недостачею та надлишком.

Тоді S (F) = М + (М+N)/ 2 х e²

S (F) = (5 + 18): 2 = 23:2 = 11,5 (см²).

Щоб отримати точніші виміри, потрібно збільшити кількість квадратиків сітки, тобто зменшити самі квадратики е₁ = (1/10) е, тоді = (1/10) е² (1 см²= 100 мм²; S (F) = 1150 мм²).

В результаті отримаємо наближене значення площі з більшою точністю.

Властивості площі.

1. Якщо фігури рівні, то числові значення їх площ теж рівні (при одній і тій же одиниці площі), але — не навпаки.

F₁ = F₂ S (F₁) = S (F₂)

2. Якщо фігуру F складено із фігур F₁, F₂ …, F_n, то числове значення площі фігури F дорівнює сумі числових значень площ фігур F₁, F₂ …, F_n при одній і тій же одиниці виміру площі.

F = F₁ F₂ F₃ S (F) = S (F₁)+ S (F₂)+ S (F₃)

3. При заміні одиниці площі числове значення площі збільшиться (зменшиться) у стільки разів, у скільки нова одиниця менша (більша) старої.

Наприклад 5 м² = 0,5 км² (бо 1 м² = 1/1 000 000 км);

5 м² = 5 * 100 дм² = 500 дм² (бо 1 м² = 100 дм²)

Площі можна множити на число, ділити на число, віднімати, додавати, порівнювати, при цьому виконуються відповідні дії над їх числовими значеннями.

Стандартні одиниці площ та залежності між ними^

1 мм² — площа квадрата із стороною 1 мм;

1 см² — площа квадрата із стороною 1 см; 1 см² = 100 мм²;

1 дм² — площа квадрата із стороною 1 дм; 1 дм² = 100 дм²;

1 м² — площа квадрата із стороною 1 м; м² = 100 дм² = 10 000 см² = 1 000 000 мм²;

1 а (ар) — площа квадрата із стороною 10 м; 1а = 10 м х 10 м = 100 м²;

1 га (гектар) — площа квадрата із стороною 100 м; 1 га = 100 м х 100 м = 100 а = 10 000 м²;

1 км — площа квадрата із стороною 1000 м;

1 км² = 100 га = 10 000 а = 1 000 000 м².

Розглянемо деякі старі українські і російські неметричні одиниці площі:

квадратна верста — 1,14 км²;

десятина — 2400 квадратних саженів — 10 925 м²;

квадратний сажень — 9 квадратних аршинів — 4,552 м²;

квадратний аршин — 256 квадратних вершків — 0,506 м²;

квадратний вершок — 3,06 квадратних дюйма — 19,758 см²;

квадратний дюйм — 6,452 см²;

квадратна лінія — 6,452 мм².

Одиниці площі широко використовуються в повсякденному житті. Відомо, що площа України становить 603 700 км². Площа менших ділянок землі вимірюється в гектарах. Площі невеликих ділянок землі вимірюють в арах (сотках). Площу поверхні шкіри в легкій промисловості вимірюють квадратними дециметрами і т.д.

г) Час

Поняття часу складніше поняття, між поняття геометричних величин чи маси.

В житті час — це те, що відділяє одну подію від іншої.

В математиці і фізиці час розглядають як скалярну величину, тому що проміжки часу мають ті ж самі властивості, що й інші скалярні величини:

1) проміжки часу можна порівнювати між собою;

2) проміжки часу можна додавати, при цьому отримаємо величину цього ж роду;

3) проміжки часу можна віднімати;

4) проміжки часу можна множити і ділити на додатні числа;

5) одні проміжки часу можна ділити на інші проміжки часу, при цьому отримаємо число, яке показує у скільки разів один проміжок більший, або менший другого.

Отже, час — це скалярна величина, що має ті ж властивості, що довжина, площа, маса.

Для вимірювання проміжків часу в Міжнародній системі СІ прийнято секунду (то одиницю практично показати неможливо, ми інтуїтивно уявляємо її, як проміжок, за який можна сказати «раз»). Поряд з 1 с використовують такі штучні одиниці часу (придумані людиною вважають в Вавілоні та Єгипті):

1 хв = 60с

1 год = 60 хв = 3600 с;

і природні одиниці часу, взяті з природи:

1 доба = 24 год — (оберт Землі навколо осі);

1 рік = 365 (366) діб — оберт Землі навколо Сонця;

1 рік = 12 (міс);

1 місяць = 30 (31) доба, лютий — 28 (29) діб. Місяць — оберт Місяця навколо Землі становить 29,5 діб.

Колись рік мав 13 місяців (28 * 13 = 364 (діб), а місяць становив 4 тижні тобто 7 * 4 = 28 діб.

Час вимірюють такими інструментами, як годинник та календарі.

д) Об'єм

Об'ємом геометричного тіла називається величина обмеженої частини простору, яку займає тіло.

Щоб знайти чисельне значення цієї величини, розбивають простір на кубики (за допомогою прямокутної системи координат і одиничного відрізка е).

Якщо в цю сітку помістити опукле геометричне тіло, то можна полічити, скільки одиничних кубиків міститься всередині цього тіла, тобто дістанемо наближене число, яке показує об'єм даного тіла. Щоб дістати точніше значення об'єму, одиницю об'єму зменшуємо в 10³ разів і т.д.

Кожному замкненому тілу ставиться і відповідність додатне число, яке називається його об'ємом.

Об'єм — це додатна величина, яка має такі властивості:

1) рівні тіла мають рівні об'єми;

2) якщо тіло розбито площиною на дві частини, то об'єм цього тіла дорівнює сумі об'ємів утворених частин;

3) існує тіло, об'єм якого дорівнює 1.

Для об'єму справджуються всі властивості адитивно-скалярних величин.

За одиницю виміру об'єму беруть об'єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини.

1 мм³ — об'єм куба, ребро якою дорівнює 1 мм;

1 см³ — об'єм куба, ребро якого дорівнює 1 см;

1 см³ = 1000 мм³;

1 дм³ — об'єм куба, ребро якого дорівнює 1 дм;

1 дм³ = 1000 см³;

1 м³ — об'єм куба, ребро якого дорівнює 1 м;

1 м³ = 1000 дм³ = 1 000 000 см³;

1 км³ — об'єм куба із стороною 1 км;

1 км³ = 1 000 000 000 м³.

За одиниці об'єму рідких тіл беруть 1 літр (1 літр = 1 дм³);

децилітр (дл) = 0,1 л; сантилітр (сл) = 0,01 л;

мікролітр (мкл) = 0,001 л; декалітр (дкл) = 10 л;

гектолітр (гл) = 100 л; кілолітр (кл) = 1000 л.

Колись на Україні користувались такими неметричними одиницями місткості для рідин:

Бочка — 40 відер — 0,5 м³;

відро — 12,299 літра — 12,299 дм³;

чверть — 3,075 літра — 3,075 дм³;

штоф — 0,1 відра — 1,22 994 дм³;

шкалик — 61,497 мл — 61, 497 см³.

2. Розвиток уявлень учнів про величини в процесі розв’язування задач

2.1 Задачі як дидактичний засіб ознайомлення з властивостями величин

дидактичний задача вимірювання величина розв’язування Вивчення величин — це один із засобів зв’язку навчання математики з життям. Ознайомлення учнів початкових класів треба організовувати так, щоб діти набули деяких практичних навичок вимірювання величин, конкретно уявили собі одиниці їх вимірювання та співвідношення між ними.

У початкових класах розглядають 7 величин: довжина, площа, маса, місткість, час, швидкість, вартість. Діти ознайомлюються з властивостями цих величин і основними одиницями їх вимірювання.

Ознайомлювати учнів з властивостями величин у багатьох випадках зручніше на основі спеціально підібраних задач.

В початковій школі дії над величинами зводять до дій над їх числовими значеннями:

1) Учні повинні усвідомити, що величини одного роду можна додавати і в результаті отримати величину цього ж роду. Для цього достатньо додати числові значення цих величин.

Так, при вивченні довжини, щоб ознайомити дітей з цією властивістю, доцільно використати таку задачу:

Равлик у пошуках їжі проповз 5 см, а потім — ще 3 см. Скільки всього сантиметрів проповз равлик?

Під час аналізу і розв’язування цієї задачі діти приходять до висновку: щоб знайти всю відстань, яку подолав равлик, потрібно до 5 см додати 3 см і отримаємо 8 см. Тобто, щоб знайти загальну довжину певного відрізка потрібно додати довжини відрізків, з яких він складається.

При вивчення маси можна розглянути таку задачу:

Маса гуски 6 кг, а поросяти 8 кг. Яка загальна маса гуски і поросяти?

Діти дізнаються, що щоб знайти скільки кілограмів становить гуска і порося, потрібно до маси гуски додати масу поросяти, тобто до 6 кг додати 8 кг і отримаємо 14 кг. Отже, щоб знайти загальну масу двох або більше предметів, потрібно додати масу кожного з цих предметів.

Аналогічна робота проводиться і при вивченні місткості. Розглядається задача:

У відрі було 6 л. води. Долили ще 2 л. скільки літрів води стало в відрі?

Під час розв’язування цієї задачі діти роблять висновок, що якщо до 6 л води долити, тобто додати ще 2 л води, то отримаємо 8 л цієї ж рідини.

2) Учні початкових класів на прикладах задач на різницеве порівняння вчаться порівнювати величини одного роду. для цього достатньо порівняти числові значення цих величин.

Так, під час вивчення довжини можна використати таку задачу:

Висота барбарису 4 м, а калини — 3. На скільки метрів барбарис нищій, ніж калина?

Діти порівнюють числові значення цих величин і приходять до висновку, що та величина є більшою, у якої більше числове значення.

При вивченні інших величин доцільно використовувати такі задачі:

а) маса:

Тато купив 8 кг капусти і 2 кг буряків. На скільки кілограмів більше капусти ніж буряків купив тато?

б) площа:

Площа України 604 000 км², а площа Франції - 551 000 км². На скільки квадратних кілометрів площа України більша за площу Франції?

в) час:

У тата на тиждень 5 робочих днів і 2 вихідні. На скільки менше у тата вихідних днів, ніж робочих?

г) місткість:

В одному бідоні 6 л води, а в іншому — 4. на скільки літрів менше води в другому бідоні, ніж у першому?

3) Учні також повинні усвідомлювати, що величини можна множити на дійсне число і в результаті отримати величину цього ж роду. Для цього достатньо помножити числове значення цієї величини на дійсне число.

Щоб проілюструвати цю властивість на прикладі, можна використати таку задачу:

В одному ящику було 7 кг яблук, а в іншому — у 2 рази більше. Скільки кілограмів яблук було у другому ящику?

Вчитель узагальнює: щоб знайти масу яблук у другому ящику, потрібно масу яблук у першому ящику помножити на 2, тобто 7 кілограмів помножити на 2 і отримаємо 14 кілограмів.

4) важливо дітям показувати і те, що величини можна ділити на натуральні числа. Таку властивість величин доцільно показувати на прикладах задач на поділ на рівні частини і на зменшення у кілька разів. Можна використати такі задачі:

16 л молока розлили порівну у 4 банки. Скільки літрів молока було у кожній банці?

В одному ящику було 6 кг яблук, а в другому — у 2 рази менше. Скільки кілограмів яблук було у другому ящику.

В ході розв’язування таких задач в учнів формується уявлення, що, якщо числове значення однієї величини поділити на натуральне число, то отримаємо числове значення величини цього ж роду.

5) Також у початкових класах вивчається ділення двох іменованих чисел, результатом якого є натуральне число. Це можна продемонструвати у ході розв’язування задач на ділення на вміщення і кратне порівняння. Наприклад:

500 г. цукерок розклали на тарілки по 100 г. нп кожну. На скількох тарілках були розкладені цукерки?

Хлопчик стрибнув у довжину з місця на 12 дм, а дівчинка — на 6 дм. У скільки разів дальше стрибнув хлопчик, ніж дівчинка?

Після розв’язування таких задач діти роблять висновок: якщо числове значення величини поділити на числове значення величини цього ж роду, то отримаємо натуральне число.

2.2 Методика роботи над простими задачами з іменованими числами

Успіх розв’язування задач з іменованими числами значною мірою залежить від уміння учнів усвідомити умову задачі, провести аналіз з метою відшукання способу розв’язання задачі. Для того, щоб допомогти дітям у цьому відповідно до індивідуальних особливостей слід пропонувати підготовчі вправи, запитання, вказівки, схеми, ілюстрації, розв’язування простих задач, які містять величини тощо.

Відповідно до теоретико-методичних основ навчання учнів розв’язувати задачі перед введенням кожного нового виду задач з величинами слід провести підготовчу роботу. Вона проводиться до ознайомлення дітей із цими задачами і полягає в тому, що у дітей формуються уявлення про ці величини. Крім цього вивчаються взаємозв'язки між ними, діти вчаться знаходити одну із величин за двома відомими. Безпосередньо на уроці, де діти ознайомлюються із новим видом типових задач, щоб зменшити труднощі учнів треба повторити відомості про групу величин, яка розглядається у конкретній задачі, повторити одиниці її вимірювання та розв’язати кілька усних вправ з іменованими числами.

У процесі розв’язування задач з іменованими числами відбувається формування уявлень учнів про всі види величин, що розглядаються в курсі математики початкових класів і повторення відомостей про величини, які зустрічаються в таких задачах.

Розв’язуючи прості задачі з величинами потрібно весь час вимагати від учнів відповідей на такі запитання: Які величини відомі? Які величини необхідно знати?

Наприклад, для задачі «За шість однакових блокнотів заплатили 48 грн. скільки коштує один блокнот?» роботу слід провести так: про які величини йдеться в задачі? (Ціна, кількість і вартість). Які з цих величин відомі в задачі? (Кількість і вартість). Яку величину слід знайти, щоб дати відповідь на запитання задачі? (Ціну).

У роботі над простою сюжетною задачею йдеться не про «створення» арифметичної ситуації, а про вибір тієї дії (з відомих учням), за допомогою якої реалізується задачна ситуація. Отже, основне призначення простих сюжетних задач — розкрити випадки застосування арифметичних дій. Тому прості задачі класифікують за характером цих випадків. Є три основних види таких задач:

До першого виду належать задачі на конкретний зміст арифметичних дій. Це задачі на знаходження: суми двох чисел, остачі, добутку, частки (ділення на рівні частини і на вміщення).

До другого виду належать задачі на зв’язки між компонентами і результатами арифметичних дій. Це задачі на знаходження невідомих компонентів: доданка, зменшуваного, від'ємника, множника, діленого, дільника.

До третього виду належать задачі, пов’язані з поняттям різницевого чи кратного відношення двох чисел. Це задачі на збільшення чи зменшення числа на кілька одиниць чи в кілька разів (у прямій і непрямій формі), на різницеве чи кратне порівняння двох чисел.

До окремих видів належать задачі на ділення з остачею, на знаходження частини числа і числа за його частиною та задачі на час і обчислення площі прямокутника.

Всі прості задачі, крім задач на непряме збільшення чи зменшення числа на кілька одиниць чи в кілька разів, є складовою частиною програмного мінімуму.

Роль простих задач у навчанні математики надзвичайно велика. Вони є основним засобом у формуванні поняття про арифметичні дії та величини. В процесі розв’язування простих задач учні опановують основні прийоми роботи над задачею. Високий рівень умінь розв’язувати прості задачі - необхідна умова успішного розвитку вмінь розв’язувати складені задачі.

Продемонструю роботу над простими задачами з іменованими числами кожного виду.

І. Задача. У Марини було 2 кг слив. Мама купила їй ще 3 кг. Скільки кілограмів слив стало у Марини?

— Що було у Марини? (Сливи). Скільки кілограмів слив було у Марини? (2 кг). Скільки кілограмів слив купила її мама? (3 кг). Яке запитання задачі?

Було — 2 кг.

Купила — 3 кг? кг

— Якщо відомо, що в Марини було 2 кг слив і мама їй купила ще 3 кг, то слив стало більше чи менше? (Більше). То якою дією розв’яжемо цю задачу? (Дією додавання). До якого числа, яке число будемо додавати? (До 2 додамо 3). Запишемо розв’язання задачі:

Задача

2 + 3 = 5 (кг) Відповідь: 5 кілограмів слив.

ІІ. Задача. Коли з бочки взяли для поливання квітів 5 л води, то в ній залишилося ще 2 л води. Скільки літрів води було в бочці?

— Що було в бочці? (Вода). Скільки літрів води взяли з бочки? (5 л). Скільки літрів води залишилося? (2 л). Яке запитання задачі?

Було — ?

Взяли — 5 л.

Залишилося — 2 л.

— Якщо відомо, що коли з бочки взяли 56 л води, то в ній залишилося ще 2 л, то якою дією знайти скільки літрів води було в бочці спочатку? (Дією додавання). До якого числа яке число будемо додавати? (До 5 додамо 2). Запишемо розв’язування задачі:

Задача

5 + 2 = 7 (л) Відповідь: було 7 літрів води.

ІІІ. Задача. З однієї яблуні зібрали 20 кг яблук, а з другої - на 2 кг більше. Скільки кілограмів яблук зібрали з другої яблуні?

— Скільки кілограмів яблук зібрали з першої яблуні? (20 кг). Чи відомо, скільки кілограмів яблук зібрали з другої яблуні? (не відомо). А що відомо про їх масу? (Що їх на 2 кг більше). Яке запитання задачі?

І - 20 кг.

ІІ -? кг, на 2 кг більше.

— Якщо нам відомо, що з першої яблуні зібрали 20 кг яблук, а з другої - на 2 кг більше, то якою дією знайдемо масу яблук, зібраних з другої яблуні? (Дією додавання). До якого числа яке число будемо додавати? (До 20 додамо 2). Запишемо розв’язування задачі:

Задача

20 + 2 = 22 (кг) Відповідь: 22 кілограми яблук.

2.3 Використання співвідношень між величинами в процесі розв’язування складених задач

Аналіз методичної літератури та наявних підручників з математики для початкових класів дає підстави для висновку про те, що в процесі вивчення курсу математики І-ІV класів учні повинні навчитися розв’язувати такі групи типових складених задач:

1) на знаходження четвертого пропорційного, серед яких виділяють ще три види задач: а) на знаходження четвертого пропорційного, які розв’язуються способом прямого зведення до одиниці. Наприклад: «Для вироблення 2 кг масла витратили 50 л молока. Скільки літрів молока потрібно, щоб виробити 5 кг масла?» б) на знаходження четвертого пропорційного, які розв’язуються способом оберненого зведення до одиниці. Наприклад: «За 2 години роботи трактор витратив 14 л пального. На скільки годин роботи вистачить йому 56 л пального?» в) на знаходження четвертого пропорційного, які розв’язуються способом відношень. Наприклад: «Із 3 кг сирої кави виходить 2 кг смаженої. Скільки смаженої кави вийде з 12 кг сирої кави?»;

2) задачі на пропорційний поділ, в яких потрібно одну з величин поділити на частини пропорційно двом іншим величинам. Наприклад: «На базу завезли 2 вагони бурого вугілля і 4 вагони антрациту, в кожному вагоні порівну. Всього завезли 96 тон вугілля. Скільки бурого вугілля і скільки антрациту завезли на базу?»;

3) задачі на знаходження невідомого за двома різницями. Наприклад: «До млина привезли 58 мішків пшениці і 38 мішків жита. Пшениці привезли на 16 центнерів більше, ніж жита. Скільки окремо кілограмів жита і пшениці завезено, якщо всі мішки із зерном мали однакову масу?»;

4) задачі на знаходження середнього арифметичного^. Наприклад: «З 20 гектарів зібрали по 13 тон картоплі з гектара, а з 5 гектарів — по 18 тон з гектара. Знайди середню врожайність картоплі на цих двох ділянках»;

5) задачі на знаходження четвертого пропорційного, які називаються ускладненими і які розв’язуються способом послідовного зведення до одиниці, Інколи їх називають задачами на складне правило трьох. Наприклад: Трьома косарками за 7 годин скосили 42 га трави. Скільки гектарів трави скосять дві косарки за 4 год.

Теоретико-методичні основи роботи над будь-якою складеною задачею передбачають підготовчу роботу до введення задачі нового типу, ознайомлення з нею та формування умінь її розв’язувати. З іншого боку формування умінь розв’язувати будь-яку задачу проходить наступні етапи: 1) ознайомлення з умовою задачі; 2) проведення аналізу задачі; 3) складання плану розв’язання задачі; 4) запис розв’язання задачі; 5) робота над розв’язаною задачею. Таким чином, можна твердити, що робота над типовими складеними задачами немає принципових відмінностей від навчання школярів розв’язувати будь-які складені задачі.

Відносно ознайомлення дітей із першою типовою задачею на знаходження четвертого пропорційного, яка розв’язується способом прямого зведення до одиниці, існує дві думки методистів. Одна група методистів пропонує ознайомлювати дітей з такими задачами, ввівши їх у готовому вигляді, а інша — пропонує скласти її з двох простих разом з дітьми. Проведені дослідження свідчать, що перший варіант необхідно використовувати тоді, коли рівень математичної підготовки класу не високий, а діти недостатньо володіють уміннями складати задачі. Використання другого способу сприяє розвиткові учнів, оскільки відмінність обох способів точки зору діяльності вчителя полягає лише у роботі зі складання нової задачі.

Враховуючи останнє, розглянемо другий спосіб на конкретному прикладі. Пропонуємо учням самостійно розв’язати спочатку першу задачу «Хлопчик купив 6 блокнотів і заплатив за них 36 гри. Яка ціна блокнота?», а потім другу — «Ціна одного блокнота 6 гри. Хлопчик купив 8 блокнотів. Яка вартість покупки?». Після того, як діти розв’яжуть обидві ці задачі пропонуємо їм скласти із них складену задачу, використовуючи дані обох задач. Якщо діти не зможуть скласти такої задачі «Хлопчик за 6 блокнотів заплатив 36 гри. Скільки грошей він повинен заплатити за 8 таких самих блокнотів?», то вчитель пропонує їм допомогу: використовуючи дані обох задач, складіть складену задачу з таким запитанням '" Скільки грошей потрібно заплатити за 8 таких самих блокнотів?". Склавши нову задачу, вчитель зобов’язаний перевірити як діти засвоїли її зміст.

Тепер приступаємо до аналізу задачі, який необхідно для цього типу задач провести синтетичним способом, тобто від умови до запитання задачі. Аналіз проводиться у вигляді бесіди, коли діти відповідають на запитання вчителя: скільки грошей витратив хлопчик першого разу? — 36 гривень. Скільки блокнотів він купив першого разу? — 6 блокнотів. Що можна визначити за цими даними? — яка ціна одного блокнота. Що можна визначити, знаючи ціну блокнота і знаючи, що другого разу хлопчик купив 8 блокнотів? — скільки грошей заплатив хлопчик за 8 блокнотів (вчитель повинен вимагати від учнів повної відповіді на поставлені запитання, хоча ми з метою економії місця не завжди даємо такі відповіді).

Для того, щоб скласти план розв’язання задачі, пропонуємо школярам відповісти на наступні запитання: що будемо визначати у першій дії? — ціну блокнота. Як це будемо робити? — слід кількість грошей, заплачених за 6 блокнотів, поділити на кількість блокнотів. Що будемо робити у другій дії? — визначати скільки грошей необхідно заплатити за 8 блокнотів. Як це будемо робити? — ціну блокнота, яку ми визначили у першій дії, помножимо на кількість блокнотів, куплених другого разу. З метою особистісної орієнтації навчального процесу сильним учням необхідно запропонувати розв’язання задачі виконати самостійно, а решта школярів у цей час працюватиме під керівництвом вчителя. Крім цього, слід запропонувати сильним учням записати розв’язання задачі двома способами, які представлені у таблиці № 1.

Таблиця № 1

Після ознайомлення учнів з задачами на знаходження четвертого пропорційного, які розв’язуються способом прямого зведення до одиниці, розпочинається робота з формування у дітей уміння розв’язувати задачі цього типу. З цією метою розглядаються задачі з іншими групами величин, а також інші види задач на знаходження четвертого пропорційного.

Підготовча робота до ознайомлення учнів з кожним новим видом задач має свою специфіку. Саме тому аналіз методичної літератури, наявних підручників з математики для початкових класів дозволяє стверджувати, що підготовча робота до введення першої складеної задачі на пропорційний поділ полягає в наступному:

1) виконання завдань, в яких подано дві різні групи однакових предметів, що розміщені порівну у кожній з наявних там коробок, ящиків, ваз тощо.

2) розв’язування задач виду «Купили два сувої однакової тканини. У першому сувої було 3 м тканини, а в другому — 6 м. За обидва сувої заплатили 144 гривні. Яка ціна 1 м тканини?»;

3) розв’язування задач виду: «Наталка купила 3 кг яблук собі та 2 кг — бабусі. За всю покупку вона заплатила 10 гривень. Скільки коштує 1 кг яблук? Скільки грошей має віддати бабуся Наталці?»;

4) Ціна 1 м тканини 9 гривень. Скільки коштують 2 куска тканини, перший з яких має 5 м, а другий — 7 м?;

5) За 5 м тканини заплатили 75 гривень. Скільки коштують два сувої тканини, перший з яких має 5 м, а другий — 7 м?.

Аналіз методичної літератури, спостереження за роботою вчителів-новаторів свідчать, що першу задачу на пропорційний поділ краще ввести в готовому вигляді, хоча, враховуючи рівень математичної підготовки класу можна запропонувати скласти задачу на пропорційний поділ із двох задач.

Сутність теоретико-методичних основ ознайомлення учнів з першою задачею такого виду покажу на прикладі наступної задачі «У першому сувої 5 м тканини, а в другому — 7 м такої самої тканини. Скільки коштує кожний сувій, якщо за обидва заплатили 288 грн?» (задачі такого виду називають задачами на пропорційний поділ, бо у наведеній вище задачі слід одну величину 288 грн — вартість покупки — поділити пропорційно до двох інших величин 5 м і 7 м — кількість тканини). Відповідно до індивідуальних особливостей дітей, з метою особистісної орієнтації навчального процесу задачу може прочитати вчитель або учні. Для тих учнів, яким важко засвоїти зміст задачі, слід запропонувати короткий запис умови задачі. Його можливі варіанти представлені у таблицях №№ 2 і 3. При вивченні умови задачі особливу увагу школярів слід звернути на з’ясування наступного: 1) якщо тканини така сама, то її ціна однакова; 2) чим більша кількість тканини в куску, тим він дорожчий.

Таблиця № 2

Таблиця № 3

Провести аналіз задачі на пропорційний поділ можна аналітичним способом, тобто від запитання до умови. Отже, пропонуємо учням відповісти на наступні запитання: що необхідно знати, щоб визначити окрему вартість кожного сувою? — ціну тканини та її кількість. Що із цих даних нам невідомо? — ціну тканини. Які дані слід знати, щоб визначити ціну? — вартість і кількість. Чи відомо нам загальну вартість обох сувоїв? — так, вона складає 288 грн. Що ще необхідно знати для того, щоб визначити ціну? — загальну кількість тканини. Що для цього слід знати? — скільки тканини було в кожному сувої. Чи відомі нам ці дані? — так, 5 м і 7 м.

Після цього приступаємо до складання плану розв’язування задачі: що будемо визначати у першій дії? — загальну кількість тканини. Як це можна зробити? — до кількості тканини у першому сувої додати кількість тканини у другому сувої. Що будемо визначати у другій дії? — ціну тканини. Що для цього слід зробити? — загальну вартість тканини поділити на загальну її кількість. Що будемо робити у третій дії? — визначати вартість першого сувою. Як це будемо робити? — ціну тканини помножимо на кількість тканини у першому сувої. Що будемо робити у четвертій дії? — визначати вартість другого сувою. Як це будемо робити? — ціну тканини помножимо на кількість тканини у другому сувої або від загальної вартості обох сувоїв віднімемо вартість першого сувою. Зазначимо, що з метою особистісної орієнтації навчального процесу окремим учням слід пропонувати знайти різні способи розв’язання задачі та записувати розв’язання задачі не лише по діях, але й за допомогою складання рівняння (сутність такої роботи вчителя буде висвітлюватися пізніше, а обидва способи запису розв’язання задачі представлені у таблиці № 4).

Таблиця № 4

Наступним видом складених типових задач, з якими слід ознайомити учнів, є задачі на знаходження невідомого за двома різницями. Ці задачі одержали таку назву, бо в умові йдеться про дві різниці, одна з яких задана явно, а інша — неявно, але її можна знайти. Прикладом такої задачі може бути наступна «Перший покупець купив 4 м тканин, а другий — 9 м такої самої тканини. Другий покупець заплатив на 90 гривень більше, ніж перший. Скільки грошей заплатив за покупку кожен покупець?».

Як же ознайомити школярів з першою текстовою задачею на знаходження невідомого за двома різницями? — аналіз методичної літератури (роботи М. В. Богдановича, Ю.М. Колягіна, А.А. Свєчнікова, Л.М. Скаткіна та ін.) дозволяє твердити, що зробити це можна двома способами: а) ввести її в готовому вигляді; б) скласти її із двох простих. Якщо рівень математичної підготовку класу високий і учні у достатній мірі володіють уміннями утворювати складену задачу із простих, то слід використовувати другий спосіб. Використовуючи другий спосіб, вчитель повинен провести таку роботу: запропонувати розв’язати дітям дві простих задачі: 1) Перший покупець купив 5 м тканини, заплативши за неї 90 гривень. Скільки коштує 1 метр тканини?; 2) Перший покупець купив на 4 м тканини більше, ніж другий, заплативши за неї на 72 гривні більше, ніж другий. Скільки коштує 1 м такої тканини? Після того, як учні розв’язали кожну задачу, вчитель пропонує учням скласти нову, використовуючи такі дані: 9 м, 5 м, 72 гривні і запитання другої задачі. Склавши разом з учнями задачу, вчитель пропонує кільком дітям повторити задачу: «Перший покупець купив 9 м тканини, а другий -5 м такої самої тканини. Перший покупець заплатив за неї на 72 грн більше, ніж другий. Скільки коштує 1 м тканини?», а потім приступає до аналізу задачі. Його для задач цього типу краще проводити синтетичним способом, тобто від умови до запитання.