Числові ряди.
Збіжність і розбіжність.
Сума ряду.
Дії над збіжними рядами.
Необхідна ознака збіжності.
Гармонічний ряд
При дослідженні рядів одним із головних питань є питання про те, чи збігається даний числовий ряд. Нижче будуть розглянуті достатні ознаки збіжності рядів. Тут ми розглянемо необхідну ознаку збіжності ряду, тобто встановимо умову, при невиконанні якої ряд розбігається. Числові ряди. Збіжність і розбіжність. Сума ряду. Дії над збіжними рядами. Необхідна ознака збіжності. Гармонічний ряд. Таким… Читати ще >
Числові ряди. Збіжність і розбіжність. Сума ряду. Дії над збіжними рядами. Необхідна ознака збіжності. Гармонічний ряд (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Пошукова робота на тему:
Числові ряди. Збіжність і розбіжність. Сума ряду. Дії над збіжними рядами. Необхідна ознака збіжності. Гармонічний ряд.
План Числові ряди. Збіжність і розбіжність.
Сума ряду.
Дії над збіжними рядами.
Необхідна ознака збіжності.
Гармонічний ряд.
ЧИСЛОВІ РЯДИ.
1 Ряд. Сума ряду Означення 1. Нехай задана нескінченна послідовність чисел.
Вираз.
(13.1).
називаються членами ряду.
ою частинною сумою ряду:
. (13.2).
Означення 3. Якщо існує скінчена границя.
(13.3).
то її називають сумою ряду (13.1) і говорять, що ряд збігається.
не існує або дорівнює нескінченності, то говорять, що ряд (13.1) розбігається і суми не має.
Приклад 1. Розглянемо ряд.
).
її членів обчислюється за формулою.
.
Тоді.
, який розбігається.
.
В цьому випадку.
границі немає і ряд в цьому випадку розбігається.
Таким чином, геометрична прогресія збігається тільки тоді, коли її знаменник за абсолютною величиною менший одиниці.
на простіші дроби.
і.
Теорема 1. На збіжність числового ряду не впливає відкидання або додавання скінченого числа його членів.
. Тоді маємо:
і, навпаки. А це доводить вірність даної теореми.
то ряд.
Теорема доведена.
Теорема 3. Якщо ряди.
то ряди.
Д о в е д е н н я. Частинні суми даних рядів мають вигляд.
і.
що і доводить дану теорему.
2. Необхідна ознака збіжності ряду.
При дослідженні рядів одним із головних питань є питання про те, чи збігається даний числовий ряд. Нижче будуть розглянуті достатні ознаки збіжності рядів. Тут ми розглянемо необхідну ознаку збіжності ряду, тобто встановимо умову, при невиконанні якої ряд розбігається.
Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.1) збігається, тобто має місце рівність.
сума ряду; але тоді має місце також рівність.
Віднімаючи почленно із першої рівності другу, одержимо:
Отже.
що й потрібно було довести.
то числовий ряд розбігається.
Приклад. Ряд.
Ряд.
називається гармонічним рядом. Цей ряд розбігається, хоча й.