Збудження об"ємних резонаторів

Реферат на тему:

Збудження об'ємних резонаторів.

1. 1.Доведемо ортонормованість власних функцій резонатора.

$$\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\text{rot {}\stackrel{}{E}\end{array}}_S={\text{ik}}_S{\stackrel{}{H}}_S\left(1\right)\\ \text{rot {}\stackrel{}{H}{}_S={\text{ik}}_S{\stackrel{}{E}}_S\left(2\right)\end{array}$$, $$j=0$$, бо задача про власні коливання розв’язується без струмів. Для другого коливання: $$\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\text{rot {}\stackrel{}{E}\end{array}}_{S^{\text{'}}}={\text{ik}}_{S^{\text{'}}}{\stackrel{}{H}}_{S^{\text{'}}}\left(3\right)\\ \text{rot {}\stackrel{}{H}{}_{S^{\text{'}}}={\text{ik}}_{S^{\text{'}}}{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}\left(4\right)\end{array}$$ .

$$\left(1\right)x{H}_{S^{\text{'}}}+\left(4\right)x{E}_S\mathrm{:}$$ $$\text{div}\left[{\stackrel{}{E}}_S{\stackrel{}{H}}_{S^{\text{'}}}\right]={\text{ik}}_S{\stackrel{}{H}}_S{\stackrel{}{H}}_{S^{\text{'}}}+{\text{ik}}_{S^{\text{'}}}{\stackrel{}{E}}_S{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}$$ ,.

$$\left(3\right)x{H}_S+\left(2\right)x{E}_{S^{\text{'}}}\mathrm{:}$$ $$\text{div}\left[{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}{\stackrel{}{H}}_S\right]={\text{ik}}_{S^{\text{'}}}{\stackrel{}{H}}_S{\stackrel{}{H}}_{S^{\text{'}}}+{\text{ik}}_S{\stackrel{}{E}}_S{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}$$ .

Проінтегрувавши обидві рівності по всьому об'єму та врахувавши властивості $$\text{div}$$ векторного добутку, отримаємо:

$$k_{S^{\text{'}}}{\stackrel{}{E}}_S{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}\text{dV}=-k_S{\stackrel{}{H}}_S{\stackrel{}{H}}_{S^{\text{'}}}\text{dV}$$ ,.

$$k_S{\stackrel{}{E}}_S{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}\text{dV}=-k_{S^{\text{'}}}{\stackrel{}{H}}_S{\stackrel{}{H}}_{S^{\text{'}}}\text{dV}$$ .

Враховуючи, що $$k_S=\frac{{}_S}{c}$$ та позначивши $${\stackrel{}{E}}_S{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}\text{dV}=x-{\stackrel{}{H}}_S{\stackrel{}{H}}_{S^{\text{'}}}\text{dV}=y$$ маємо лінійну однорідну систему відносно $$x,y$$ з коефіцієнтами $${}_S$$ та $${}_{S^{\text{'}}}$$ :

$$\{\begin{array}{c}{}_{S^{\text{'}}}x+{}_{S}y=0\\ {}_{S}x+{}_{S^{\text{'}}}y=0\end{array}$$. Система має нетрівіальні розв’язки якщо $$\text{det}=0$$ — $${}_{{S^{\text{'}}}^2}-{}_{S^2}=0=>{}_{S^{\text{'}}}={}_S$$. Тоді $$x=-y$$, тобто $${\stackrel{}{E}}_S{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}\text{dV}=-{\stackrel{}{H}}_S{\stackrel{}{H}}_{S^{\text{'}}}\text{dV}=\text{.}\text{.}\text{.}=4{\mathit{}}_S{}_{S{S}^{\text{'}}}$$. Таким чином маємо ортонормованість власних функцій резонатора з нормою $$4{\mathit{}}_S{}_{S{S}^{\text{'}}}$$, яку легко знайти.

1. 2.Знайдемо поля $$\stackrel{}{E}$$ та $$\stackrel{}{H}$$ всередині резонатора при наявності струмів.

$$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\text{rot {}\stackrel{}{E}\end{array}=\text{ik}\stackrel{}{H}\\ \\ \text{rot {}\stackrel{}{H}\\ \{\text{ik}\stackrel{}{E}+\frac{4}{c}\stackrel{}{j}\end{array}$$ — рівняння Максвела.

Псевдовектор в математиці - вектор, що змінює свій напрямок при інверсії системи координат (напрямок, векторний добуток). У фізиці псевдовектор змінює напрямок при інверсії часу $$\left(t->-t\right)$$. Наприклад, при інверсії часу електрон починає обертатися в протилежному напрямку, а відповідно змінює і напрямок МП.

Таким чином, МП — псевдовектор, ЕП — вектор. Звідси можна зробити висновок, що гамільтоніан не може містити $$\stackrel{}{H},{\stackrel{}{H}}^{з},\text{.}\text{.}\text{.}$$ (щоб він був інваріантний до інверсії часу). Ще один висновок — що немає магнітного п'єзоефекту.

Існує іще одна класифікація:

соленоїдальні та потенціальні.

Потенціальний (поздовжній):

$${\text{rotE}}^l=0$$ — немає вихорів.

Соленоїдальний (поперечний):

$${\text{divH}}^t=0$$ — немає вузлів.

Записавши $$E=C_S{\stackrel{}{E}}_S$$ ми зробили помилку, бо не врахували потенційні поля, пов’язані з електростатичними полями зарядів, що збуджують струми.

Отже, $$\stackrel{}{H}={\stackrel{}{H}}^l+{\stackrel{}{H}}^t$$, $$\stackrel{}{E}={\stackrel{}{E}}^l+{\stackrel{}{E}}^t$$, де $${\stackrel{}{H}}^t=B_S{\stackrel{}{H}}_S$$, $${\stackrel{}{E}}^t=B_S{\stackrel{}{E}}_S$$. Взагалі то, $${\stackrel{}{H}}^l=0$$, бо магнітних зарядів не існує. Проте, є припущення про існування магнітних зарядів — монополь Діракатоді $${\stackrel{}{H}}^l/=0$$ .

$$\text{rot {}\stackrel{}{E}=\text{rot}\left({\stackrel{}{E}}^l+{\stackrel{}{E}}^t\right)=\text{rot {}\stackrel{}{E}{}^l+\text{rot {}\stackrel{}{E}{}^t=0+\text{rot}{A}_S{\stackrel{}{E}}_S=A_S{\text{ik}}_S{\stackrel{}{H}}_S$$ ,.

$$\text{rot {}\stackrel{}{H}=\text{rot {}\stackrel{}{H}{}^t=\text{.}\text{.}\text{.}=B_S\left({\mathit{i}}_S\right){\stackrel{}{E}}_S$$ .

Підставимо в рівняння Максвела: $$\begin{array}{c}\begin{array}{c}{A}_S{\text{ik}}_S{\stackrel{}{H}}_S=\text{ik}{B}_S{\stackrel{}{H}}_S\\ \underset{\text{rot {}\stackrel{}{H}}{\underset{}{-B_S{\text{ik}}_S{\stackrel{}{E}}_S}}\end{array}=-\left(\text{ik}{A}_S{\stackrel{}{E}}_S+{\stackrel{}{E}}^l\right)+\frac{4}{c}\stackrel{}{j}\\ \begin{array}{c}\left(a\right)\\ \left(b\right)\end{array}\{\end{array}$$. Прирівнявши відповідні коефіцієнти при базисних функціях $${\stackrel{}{H}}_S$$ та $${\stackrel{}{E}}_S$$, одержимо $$A_S{k}_S=B_{S}k$$ — з рівняння а). Оскільки $$\text{div}\text{rot {}\stackrel{}{H}=0$$, то $$\text{div}\left(-\left(\text{ik}\left[A_S{\stackrel{}{E}}_S+{\stackrel{}{E}}^l\right]\right)+\frac{4}{c}\stackrel{}{j}\right)=0$$ .

$${\text{div {}\stackrel{}{E}}_S=0=>\text{div}\left(\frac{4}{c}\stackrel{}{j}-\text{ik}{\stackrel{}{E}}^l\right)=0$$. $$\text{div {}\stackrel{}{j}=\frac{}{t}$$ — $$={}_0{e}^{\mathit{i}}=>\frac{}{t}=i$$ .

Таким чином, для гармонічних полів: $$\text{div {}\stackrel{}{j}=-i$$. Тоді $$-\frac{4}{c}i-\text{div}\left(\text{ik}{\stackrel{}{E}}^l\right)=0$$. Використаємо $${\stackrel{}{E}}^l=-\text{grad}$$, $${\text{div {}\stackrel{}{E}}^l=-\mathit{}$$. $$\mathit{k}-\frac{4}{c}=0$$, $$\mathit{}=\frac{4}{}$$ бо $$k=\raisebox{1ex}{$$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$c$}\right.$$. Таким чином, довели строге рівняння Пуансона для електростатичної частини полів.

Проінтегруємо $$\left(b\right)$$ по $$V$$, попередньо помноживши на $$E_S$$ :

$$E_{S^{\text{'}}}\text{dV}\left(\left(-{\text{ik}}_S{B}_S{\stackrel{}{E}}_S\right)=-\text{ik}{A}_S{E}_S+\frac{4}{c}j-\text{ik}{\mathit{}}^l\right)$$.

$$\text{dV}\mathit{i}\left({\text{kA}}_S-k_S{B}_S\right){\stackrel{}{E}}_S{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}=\text{dV}\frac{4\mathit{}}{c}j{\stackrel{}{E}}_{s^{\text{'}}}\text{ik}\mathit{}$$.

$$\mathit{i}\left(\underset{\frac{}{c}}{\underset{}{k}}{A}_{S^{\text{'}}}-\underset{\frac{{}_{S^{\text{'}}}}{c}}{\underset{}{k_{S^{\text{'}}}}}{B}_S\right)4{\mathit{}}_{S^{\text{'}}}=\frac{4}{c}\stackrel{}{j}{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}\text{dV}$$ .

В результаті отримаємо: $$\{\begin{array}{c}{\mathit{}}_{S^{\text{'}}}-{}_{S^{\text{'}}}{B}_{S^{\text{'}}}=\frac{1}{N_S\mathit{i}}{\text{jE}}_{S^{\text{'}}}\text{dV}=\\ {}_{S^{\text{'}}}{A}_{S^{\text{'}}}-{\mathit{}}_{S^{\text{'}}}=0\end{array}$$, маємо систему двох рівнянь з двома невідомими. Амплітуда $$A_{S^{\text{'}}}=\frac{}{{}^2-{}_s^2}$$ .

Ми отримали формулу для резонансного збудження. Тут не враховано дисипацію, тому можливо $$A_{S^{\text{'}}}->\mathrm{}$$. Якщо дисипацію врахувати наступним чином: $${}_{S^{\text{'}}}->{}_{S^{\text{'}}}+{\mathit{i}}_r$$, то отримаємо Лоренцівську резонансну криву: $$A_{S^{\text{'}}}=\frac{}{{}^2-{}_S^2+2{\mathit{i}}_S{}_r}$$ .