Нелінійні еволюційні рівняння (редукція)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Системи ЗДР, до яких за допомогою наведених анзаців редукуються нелінійні рівняння еволюційні рівняння, можна одержати як часткові випадки (4),(5),(6). Наприклад, поклавши в (4) 2 = 3 = 0 одержимо редуковану систему для випадку (7) — 3 = ± 2, 5 = ± 4 — систему ЗДР для випадку (8) — 3 = 4 = 0, 1 = 1 ' — 3 ' 2, 5 = 3 ' 2 — систему для випадку (9). Зауваження 1. У випадку N = 3 при 0 = — 3 4… Читати ще >

Нелінійні еволюційні рівняння (редукція) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Реферат на тему:

Нелінійні еволюційні рівняння.

(редукція).

В даній роботі розглядається проблема класифікації нелінійних рівнянь теплопровідності, що допускають редукцію до систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР). Наведені класи нелінійних еволюційних рівнянь, анзаци та системи ЗДР, до яких за допомогою цих анзаців редукуються вихідні рівняння. Одержано нові класи рівнянь, що редукуються до системи чотирьох ЗДР.

Розглянемо рівняння.

$u_{t} = {uu}^{(2)} + F (u, u^{(1)})$ (1).

з додатковою умовою на функцію $u (x, t)$ :

$u^{(N)} =_{i = 1}^{N - 1} a_{i} (x, t) u^{(i)}$ , (2).

де $u_{t} = \frac{u}{t}, u^{(i)} = \frac{^{i} u}{x^{i}}$ .

Редукцію рівняння (1) з квадратичними нелінійностями проведено в роботі [1] для випадків $N = 3$ та $N = 5$ . В [2] доведено, що для еволюційних рівнянь другого порядку не існує умовних симетрій порядку вище 5, тобто в рівнянні (2) $N <= 5$ .

В [3] було запропоновано новий метод класифікації нелінійних еволюційних рівнянь, що допускають умовні симетрії вищих порядків. Стосовно задачі (1), (2) цей алгоритм можна сформулювати так: диференціюємо (2) за змінною $t$ , а (1) $N$ разів за змінною $x$ — вилучаємо з розгляду мішані похідні функції $u$ та похідні за змінною $x$ порядків, вищих за $N - 1$ — розщеплюємо одержане рівняння відносно $u$ та її похіднихроз'вязуємо одержану перевизначену систему рівнянь для знаходження явного вигляду $F$ та $a_{i}$ , для яких система (1),(2) є сумісноюзнаходимо розв’язки рівняння (2). Підстановка одержаних анзаців.

$u =_{i = 1}^{N} f_{i} ()_{i} (t)$

(3).

де $= (t, x), f_{1} () - f_{N} ()$ — фундаментальна система розв’язків рівняння (2), а $_{i} (t)$ — довільні функції, в рівняння (1) редукує останнє до системи $N$ звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) першого порядку.

Випадок $N = 2$ розглянутий в [4]. Застосувавши описаний алгоритм для $N = 3,4,5$ одержуємо:

$N = 3 :$

1), $a_{0} (x) = a_{2} (x) 0, a_{1} (x) = B,$ .

де $B = -_{2} {(1 +_{0})}^{- 1}$ при $_{0} /= - 1$ та $B = const$ при $_{0} = - 1,_{2} = 0$ ;

2) $F =_{0} u_{x}^{2} +_{1} {uu}_{x} +_{2} u^{2} +_{0} u_{x} +_{1} u +_{2}$ , $a_{0} (x) 0,$ .

$a_{1} (x) = - 2_{1}^{2} {(3 + 4_{0})}^{- 2}$ , $a_{2} (x) = - 3_{1} {(3 + 4_{0})}^{- 1}$ , $_{0} /= - \frac{3}{4},_{1} /= 0$ ,.

$_{2} {(3 + 4_{0})}^{2} = 2_{1}^{2} (1 + 2_{0})$ ;

3) $F = - u_{x}^{2} +_{1} {uu}_{x} - 2 u^{2} +_{0} u_{x} +_{1} u$ ,.

$a_{2} (x) = 3_{1}, a_{1} (x) = {Be}^{- 2_{1} x} - 2_{1}^{2}, a_{0} (x) = - 2_{1} {Be}^{- 2_{1} x}, B = const$ .

$N = 4$ : $F = - \frac{2}{3} u_{x}^{2} +_{1} {uu}_{x} - 6_{1}^{2} u^{2} +_{0} u_{x} +_{1} u +_{2}$ ,.

$a_{0} = 0, a_{1} = 54_{1}^{3}, a_{2} = 9_{1}^{2}, a_{3} = - 6_{1}$ .

$N = 5$ : $F = - \frac{3}{4} u_{x}^{2} +_{2} u^{2} +_{0} u_{x} +_{1} u +_{2}$ ,.

$a_{0} = a_{2} = a_{4} = 0, a_{1} = - 4_{2}^{2}, a_{3} = - 5_{2}$ .

Таким чином, в рамках даного підходу ми можемо розглядати рівняння (1) лише з квадратичними нелінійностями.

Зауваження 1. У випадку $N = 3$ при $_{0} = - \frac{3}{4}$ одержано ряд додаткових умов виду (2), що дозволяють провести редукцію (1) до системи трьох ЗДР. Усі ці рівняння вдалось проінтегрувати. Одержані анзаци є частковими випадками анзаців, побудованих для $N = 5$ . Ці результати будуть наведені нижче.

Зауваження 2. Випадок $N = 4$ є новим, так як він не може бути одержаний, як частковий з випадку $N = 5$ , наведеного в [1].

Зауваження 3. Заміною $x^{'} = x +_{0} t$ ми можемо вилучити з розгляду доданок $_{0} u_{x}$ . Якщо $_{1} /= 0$ , то після заміни $t^{'} =_{1}^{2} t, x^{'} =_{1} x$ коефіцієнт при ${uu}_{x^{'}}$ дорівнює 1. При $_{1} = 0,_{2} /= 0$ , поклавши $t^{'} =_{2} t, x^{'} = \sqrt{\pm_{2}} x$ , одержимо, що коефіцієнт при $u^{2}$ дорівнює $\pm 1$ . Крім того, підстановка $u = e^{- \frac{2}{3 + 4_{0}}} v (e^{\frac{1}{3 + 4_{0}} x})$ зводить випадок 3) ( $N = 3$ ) до випадку 1) при $_{0} = - 1,_{2} = 0,_{2} = 0$ .

З урахуванням останнього зауваження наведем список нелінійних еволюційних рівнянь, відповідних їм рівнянь (2), анзаців (3) та редукованих за їх допомогою систем ЗДР.

1. $u_{t} = {uu}_{xx} - u_{x}^{2} +_{1} u +_{2}$

$u_{xxx} = {Bu}_{x}, B = const$ .

$u =_{1} (t) +_{2} (t) sh (\sqrt{B} x) +_{3} (t) ch (\sqrt{B} x), B > 0$ ,.

${\overset{}{}}_{1} = - B_{2}^{2} + B_{3}^{2} +_{1}_{1} +_{2}, {\overset{}{}}_{2} = B_{1}_{2} +_{1}_{2}, {\overset{}{}}_{3} = B_{1}_{3} +_{1}_{3}$ .

$u =_{1} (t) +_{2} (t) sin (\sqrt{- B} x) +_{3} (t) cos (\sqrt{- B} x), B < 0$ ,.

${\overset{}{}}_{1} = B_{2}^{2} + B_{3}^{2} +_{1}_{1} +_{2}, {\overset{}{}}_{2} = B_{1}_{2} +_{1}_{2}, {\overset{}{}}_{3} = B_{1}_{3} +_{1}_{3}$ .

$u =_{1} (t) +_{2} (t) x +_{3} (t) x^{2}, B = 0$ ,.

${\overset{}{}}_{1} = 2_{1}_{3} -_{2}^{2} +_{1}_{1} +_{2}, {\overset{}{}}_{2} = - 2_{2}_{3} +_{1}_{2}, {\overset{}{}}_{3} = - 2_{3}^{2} +_{1}_{3}$ .

2. $u_{t} = {uu}_{xx} +_{0} u_{x}^{2} + {uu}_{x} + \frac{2 + 4_{0}}{{(3 + 4_{0})}^{2}} u^{2} +_{1} u +_{2},_{0} /= - \frac{3}{4}$ ,.

$u_{x^{'} x^{'} x^{'}} = 3 u_{x^{'} x^{'}} - 2 u_{x^{'}}, x^{'} = - {(3 + 4_{0})}^{- 1} x$ .

$u =_{1} (t) +_{2} (t) e^{x^{'}} +_{3} (t) e^{2 x^{'}}$ ,.

$\begin{matrix} {\overset{}{}}_{1} = \frac{2 + 4_{0}}{{(3 + 4_{0})}^{2}}_{1}^{2} +_{1}_{1} +_{2}, \\ {\overset{}{}}_{2} = \frac{2 + 4_{0}}{{(3 + 4_{0})}^{2}}_{1}_{2} +_{1}_{2}, \\ {\overset{}{}}_{3} = \frac{2}{{(3 + 4_{0})}^{2}}_{1}_{3} + \frac{_{0}}{{(3 + 4_{0})}^{2}}_{2}^{2} +_{1}_{3} . \end{matrix}$ .

3. $u_{t} = {uu}_{xx} +_{0} u_{x}^{2} +_{2} u^{2} +_{1} u +_{2},_{0} /= - 1,_{0} /= - \frac{3}{4}$ ,.

$u_{x^{'} x^{'} x^{'}} = u_{x^{'}}, x^{'} = \sqrt{\pm_{2} {(1 +_{0})}^{- 1}} x$ .

${u =_{1} (t) +_{2} (t) sh {x}^{'} +_{3} (t) ch {x^{'},_{2} {(1 +_{0})}^{- 1} < 0$ ,.

$\begin{matrix} {\overset{}{}}_{1} =_{2}_{1}^{2} + \frac{_{0}_{2}}{1 +_{0}} (_{2}^{2} +_{3}^{2}) +_{1}_{1} +_{2}, \\ {\overset{}{}}_{2} =_{2} \frac{1 + 2_{0}}{1 +_{0}}_{1}_{2} +_{1}_{2}, \\ {\overset{}{}}_{3} =_{2} \frac{1 + 2_{0}}{1 +_{0}}_{1}_{3} +_{2}_{3} . \end{matrix}$ .

${u =_{1} (t) +_{2} (t) sin {x}^{'} +_{3} (t) cos {x^{'},_{2} {(1 +_{0})}^{- 1} > 0$ ,.

$\begin{matrix} {\overset{}{}}_{1} =_{2}_{1}^{2} + \frac{_{0}_{2}}{1 +_{0}} (-_{2}^{2} +_{3}^{2}) +_{1}_{1} +_{2}, \\ {\overset{}{}}_{2} =_{2} \frac{1 + 2_{0}}{1 +_{0}}_{1}_{2} +_{1}_{2}, \\ {\overset{}{}}_{3} =_{2} \frac{1 + 2_{0}}{1 +_{0}}_{1}_{3} +_{2}_{3} . \end{matrix}$ .

$u =_{1} (t) +_{2} (t) x +_{3} (t) x^{2},_{2} = 0$ ,.

$\begin{matrix} {\overset{}{}}_{1} = 2_{1}_{3} +_{0}_{2}^{2} +_{1}_{1} +_{2}, \\ {\overset{}{}}_{2} = (2 + 4_{0})_{2}_{3} +_{1}_{2}, \\ {\overset{}{}}_{3} = (2 + 4_{0})_{3}^{2} +_{2}_{3} . \end{matrix}$ .

4. $u_{t} = {uu}_{xx} - \frac{2}{3} u_{x}^{2} + {uu}_{x} - 6 u^{2} +_{1} u +_{2}$ , $u_{xxxx} = - 6 u_{xxx} + 9 u_{xx} + 54 u_{x}$ .

$u =_{1} (t) +_{2} (t) e^{3 x} +_{3} (t) e^{- 3 x} +_{4} (t) e^{- 6 x}$ ,.

$\begin{matrix} {\overset{}{}}_{1} = 18_{2}_{3} - 6_{1}^{2} +_{1}_{1} +_{2}, {\overset{}{}}_{2} =_{1}_{2}, \\ {\overset{}{}}_{3} = 54_{2}_{4} - 6_{1}_{3} +_{1}_{3}, {\overset{}{}}_{4} = 18_{1}_{4} - 6_{3}^{2} +_{1}_{4} . \end{matrix}$ .

5. $u_{t} = {uu}_{xx} - \frac{2}{3} u_{x}^{2} +_{1} u +_{2}$ , $u_{xxxx} = 0$ .

$u =_{1} (t) +_{2} (t) x +_{3} (t) x^{2} +_{4} (t) x^{3}$ ,.

$\begin{matrix} {\overset{}{}}_{1} = 2_{1}_{3} - \frac{2}{3}_{2}^{2} +_{1}_{1} +_{2}, {\overset{}{}}_{2} = 6_{1}_{4} - \frac{2}{3}_{2}_{3} +_{1}_{2}, \\ {\overset{}{}}_{3} = 2_{2}_{4} - \frac{2}{3}_{3}^{2} +_{1}_{3}, {\overset{}{}}_{4} =_{1}_{4} . \end{matrix}$ .

6. $u_{t} = {uu}_{xx} - \frac{3}{4} u_{x}^{2} - u^{2} +_{1} u +_{2}$ , $u_{xxxxx} = 5 u_{xxx} - 4 u_{x}$ .

$u =_{1} (t) +_{2} (t) shx +_{3} (t) chx +_{4} (t) sh 2 x +_{5} (t) ch 2 x$ ,.

$\begin{matrix} {\overset{}{}}_{1} = -_{1}^{2} - 3_{4}^{2} + 3_{5}^{2} - \frac{3}{8}_{2}^{2} + \frac{3}{8}_{3}^{2} +_{1}_{1} +_{2}, \\ {\overset{}{}}_{2} = 3_{3}_{4} - 3_{2}_{5} -_{1}_{2} +_{1}_{2}, {\overset{}{}}_{3} = 3_{3}_{5} - 3_{2}_{4} -_{1}_{3} +_{1}_{3}, \\ {\overset{}{}}_{4} = - \frac{3}{4}_{2}_{3} + 2_{1}_{4} +_{1}_{4}, {\overset{}{}}_{5} = - \frac{3}{8}_{2}^{2} - \frac{3}{8}_{3}^{2} + 2_{1}_{5} +_{1}_{5} . \end{matrix}$ (4).

7. $u_{t} = {uu}_{xx} - \frac{3}{4} u_{x}^{2} + u^{2} +_{1} u +_{2}$ , $u_{xxxxx} = - 5 u_{xxx} - 4 u_{x}$ .

$u =_{1} (t) +_{2} (t) sin x +_{3} (t) cos x +_{4} (t) sin 2 x +_{5} (t) cos 2 x$ ,.

$\begin{matrix} {\overset{}{}}_{1} =_{1}^{2} - 3_{4}^{2} - 3_{5}^{2} \frac{3}{8}_{2}^{2} - \frac{3}{8}_{3}^{2} +_{1}_{1} +_{2}, \\ {\overset{}{}}_{2} = - 3_{3}_{4} - 3_{2}_{5} +_{1}_{2} +_{1}_{2}, {\overset{}{}}_{3} = - 3_{3}_{5} - 3_{2}_{4} +_{1}_{3} +_{1}_{3}, \\ {\overset{}{}}_{4} = \frac{3}{4}_{2}_{3} - 2_{1}_{4} +_{1}_{4}, {\overset{}{}}_{5} = - \frac{3}{8}_{2}^{2} + \frac{3}{8}_{3}^{2} - 2_{1}_{5} +_{1}_{5} . \end{matrix}$ (5).

8. $u_{t} = {uu}_{xx} - \frac{3}{4} u_{x}^{2} +_{1} u +_{2}$ , $u_{xxxxx} = 0$ .

$u =_{1} (t) +_{2} (t) x +_{3} (t) x^{2} +_{4} (t) x^{3} +_{5} (t) x^{4}$ , .

$\begin{matrix} {\overset{}{}}_{1} = 2_{1}_{3} - \frac{3}{4}_{2}^{2} +_{1}_{1} +_{2}, {\overset{}{}}_{2} = 6_{1}_{4} -_{2}_{3} +_{1}_{2}, \\ {\overset{}{}}_{3} = 12_{1}_{5} + \frac{3}{2}_{2}_{4} -_{3}^{2} +_{1}_{3}, {\overset{}{}}_{4} = 6_{2}_{5} -_{4}_{4} +_{1}_{4}, \\ {\overset{}{}}_{5} = 2_{3}_{5} - \frac{3}{4}_{4}^{2} +_{1}_{5} . \end{matrix}$ (6).

Як було сказано вище для $_{0} = - \frac{3}{4}$ існують додаткові умови третього порядку, що дозволяють провести їх редукцію. Наведемо ці результати.

$u_{t} = {uu}_{xx} - \frac{3}{4} u_{x}^{2} - u^{2} +_{1} u +_{2},_{2} /= 0$ .

$u_{xxx} = 4 u_{x}$ , $u =_{1} (t) +_{2} (t) sh 2 x +_{3} (t) ch 2 x$ — (7).

$u_{xxx} = \pm 3 u_{xx} - 2 u_{x}$ $u =_{1} (t) +_{2} (t) e^{\pm x} +_{3} (t) e^{\pm 2 x}$ — (8).

$u_{xxx} = 3 {thxu}_{xx} - (3 {th}^{2} x - 1) u_{x}$ , $u =_{1} (t) +_{2} (t) shx +_{3} (t) {sh}^{2} x$ — (9).

$u_{xxx} = 3 {cthxu}_{xx} - (3 cthx - 1) u_{x}$ , $u =_{1} (t) +_{2} (t) chx +_{3} (t) {ch}^{2} x$ .

Для $_{2} = 0$ крім наведених одержано також наступні результати.

$u_{xxx} = 3 \frac{shx}{chx +} u_{xx} - (3 \frac{chx}{chx +} + 3 {(\frac{shx}{chx +})}^{2} - 4) u_{x} -$ .

$- 6 (\frac{shx}{chx +} - \frac{shxchx}{{(chx +)}^{2}}) u$ ,.

$u =_{1} (t) (2 chx +^{2} + 1) +_{2} (t) shx (1 + chx) +_{3} (t) {sh}^{2} x$

;

$u_{xxx} = 3 \frac{chx}{shx +} u_{xx} - (3 \frac{shx}{shx +} + 3 {(\frac{chx}{shx +})}^{2} - 4) u_{x} -$ .

$- 6 (\frac{chx}{shx +} - \frac{shxchx}{{(chx +)}^{2}}) u$

$u =_{1} (t) (2 shx +^{2} - 1) +_{2} (t) chx (1 - shx) +_{3} (t) {ch}^{2} x$

;

$u_{xxx} = \pm 3 \frac{e^{\pm x}}{e^{\pm x} +} u_{xx} - (3 \frac{e^{\pm x}}{e^{\pm x} +} + 3 \frac{e^{\pm 2 x}}{{(e^{\pm x} +)}^{2}} - 4) u_{x} \pm 6 (\frac{e^{\pm x}}{e^{\pm x} +} - \frac{e^{\pm 2 x}}{{(e^{\pm x} +)}^{2}}) u$

$u =_{1} (t) (^{2} e^{\pm 2 x} + 4^{\pm x} + 4) +_{2} (t) (2 e^{\pm x} +) +_{3} (t) e^{\pm 2 x}$

$u_{t} = {uu}_{xx} - \frac{3}{4} u_{x}^{2} + u^{2} +_{1} u +_{2},_{2} /= 0$ .

$u_{xxx} = - 4 u_{x}$ , $u =_{1} (t) +_{2} (t) sin 2 x +_{3} (t) cos 2 x$ ;

$u_{xxx} = - 3 {tgxu}_{xx} - (3 {tg}^{2} x + 1) u_{x}$ , $u =_{1} (t) +_{2} (t) sin x +_{3} (t) {sin}^{2} x$ ;

а також для $_{2} = 0$ .

$u_{xxx} = - 3 \frac{sin x}{cos x +} u_{xx} + (3 \frac{cos x}{cos x +} - 3 {(\frac{sin x}{cos x +})}^{2} - 4) u_{x} -$ .

$- 6 (\frac{sin x}{cos x +} - \frac{sin x cos x}{{(cos x +)}^{2}}) u$ ,.

$u =_{1} (t) (2 cos x +^{2} + 1) +_{2} (t) sin x (1 + cos x) +_{3} (t) {sin}^{2} x$

$u_{t} = {uu}_{xx} - \frac{3}{4} u_{x}^{2} +_{1} u +_{2}$

$_{2} /= 0$ .

$u_{xxx} = 0$

u =_{1} (t) +_{2} (t) x +_{3} (t) x^{2}

;

$u_{xxx} = 3 x^{- 1} u_{xx} - 3 x^{- 2} u_{x}$

u =_{1} (t) +_{2} (t) x^{2} +_{3} (t) x^{4}

;

а для $_{2} = 0$ також.

$u_{xxx} = \frac{6 x}{x^{2} +} u_{xx} - 6 (\frac{1}{x^{2} +} + 2 {(\frac{x}{x^{2} +})}^{2}) u_{x} + \frac{24 x}{{(x^{2} +)}^{2}} u$

$u =_{1} (t) (x^{4} +^{2}) +_{2} (t) (x^{3} -) +_{3} (t) x^{2}$ .

Системи ЗДР, до яких за допомогою наведених анзаців редукуються нелінійні рівняння еволюційні рівняння, можна одержати як часткові випадки (4),(5),(6). Наприклад, поклавши в (4) $_{2} =_{3} = 0$ одержимо редуковану систему для випадку (7) — $_{3} = \pm_{2},_{5} = \pm_{4}$ — систему ЗДР для випадку (8) — $_{3} =_{4} = 0,_{1} =_{1}^{'} - \frac{_{3}^{'}}{2},_{5} = \frac{_{3}^{'}}{2}$ — систему для випадку (9).

Зазначимо, що вказаний підхід можна застосувати для редукції рівнянь з похідними вищих порядків відносно $t$ , за умови, що в рівнянні (2) $a_{i} = a_{i} (x)$ .

1.Galaktionov V.A. Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution equations with quadratic nonlinearities.// Proc. Roy Soc. Edinburgh 125A. -1995.-p.225−246.
2.Svirshchevskij S.R. High-order symmetries of linear differential equations and linear spaces invariant under nonlinear operators.//Preprint No.14, Inst. Math. Modell., Moscow, 1993.
3.Zhdanov R.Z. Conditional Lie-B" acklund symmetry and reduction non-linear evolution equation. // J. Phys A: Math Gen.-1995.-28,№ 13. p. 3841−3850.
4.Андрейцев А. Ю. Про умови редукції одного класу нелінійних еволюційних рівнянь.// Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения.- Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1999.-С.3−6.

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою