Комп'ютерне моделювання ринкових механізмів

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛЮВАННЯ РИНКОВИХ МЕХАНИЗМОВ.

Нужно чи знати математику і його докладання у сфері аналізу соціально-економічних процесів економісту, соціологу та інших представникам гуманітарних професій? Якщо ж потрібно, то якій мірі? Питання далеко ще не пусті: практично під час вирішення багатьох конкретних управлінських проблем часто беруть гору неформализуемые чинники, а застосування математики зводиться для використання лише чотири дій арифметики. Нині у таке важко повірити, але передусім 70 років як розв’язано аналогічні питання гостро обговорювалися розробки навчальні програми технічних вузів. Видатний російський математик академік А. Н. Крылов, обґрунтовуючи потребу глибокого математичної освіти інженерів, висловив у доповіді «Прикладна математика» на що відбулася влітку 1931 р. надзвичайної сесії Академії наук СРСР наступний доказ, який, гадаю, буде цікавий читачам:

«…за тисячоліття від 500 до 1500 роки ми можемо простежити значного розвитку техніки, хоча… навіть правило простого складання сил, зване правилом паралелограма сил, відомо був. Це ще більше укореняло свідомість, що математика по суті є «переливання з порожнього в порожнє», бо всі, що є, взяте з її основних аксіом, що здавалися до тривіальності очевидними, наприклад, дві речі, порізно рівні третьої, рівні собою, ціле більше своєї частини й т.п. — отже, всеосяжний розум бачив б відразу у тих аксіомах і всі їх слідства, тобто. всю математику.

Да, але ці бачив б розум всеосяжний, а відомо, що людський обмежений — дурість безмежна; математика та росіян потрібний розуму обмеженому як підмога для правильних умовиводів" [1].

Математика в экономике.

Приложения математики соціально-економічних науках розвивалися паралельно з недостатнім розвитком самої математики, а перші досліди побудови математичних моделей у суспільних науках пов’язані з допомогою фізичних аналогій щодо соціальних процесів в XVII—XVIII ст., які заклали основу «соціальної фізики». У цьому, спираючись, наприклад, однією і хоча б закон гравітації, різні вчені доходили різним соціальним моделям. Так, голландський соціолог Г. Гроций (1583—1645) думав, що за своїй — природі тяжіють друг до друга, а Б. Спиноза (1632—1677) вважав, що вони одне одного відштовхують. Багато сучасні поняття економіки теж мають давню історію. Наприклад, в статті Д. Бернулли про Санкт-Петербурзькому парадоксі (1738) був обгрунтований принцип «дедалі нижчій граничною корисності».

Принято вважати, що математичне моделювання як засіб аналізу макроекономічних процесів вперше застосована лейб-медиком короля Людовіка XV доктором Ф. Кенэ, що у 1758 р. опублікував роботу «Економічна таблиця». У ній було зроблено перша спроба кількісно описати національну економіку.

Одно із перших логічно послідовних викладів математичну модель економіки було реалізоване у книзі О. Курно «Дослідження математичних принципів теорії багатства», опублікованій у Франції 1838 р. У роботі, хто поклав початок сучасної математичної економіці, вперше використані кількісні методи для аналізу конкуренції між товарами що за різних ринкових ситуаціях (зокрема, побудована динамічна модель дуополии).

В наступні роки відбувалася інтенсивна математизація економічної теорії. Наприклад, у книзі У. Джевонса «Короткий опис загальної математичної теорії політичної економії» (1862) викладено одне з перших версій теорії корисності. Про роль і значенні методу математичного моделювання для дослідження економічних процесів у другій половині в XIX ст. найкраще свідчить такий факт, наведений сучасним істориком економічної науки М. Блаугом: серед видатних економістів цього періоду «лише Кларк і Бем-Баверк зуміли внести фундаментальний внесок у економічну теорію без використання чи знання математики» [2]. Примітно, що всі лауреати Нобелівської премії з економіки теж зверталися до математичним методам у наукові дослідження.

Успешное застосування математики економіці межі XIX—XX ст. стимулювало математизацію та інших громадських наук. Наприклад, до цього час Ф. Эджворт опублікував книжку «Математична психологія», а В. Парето розробив основи теорії еліт.

Надо сказати, питання об'єктивного аналізу соціально-економічних процесів завжди, були центрі уваги вітчизняних учених. Попри відомі труднощі післяжовтневого періоду, економічна наука у Росії постійно розвивалася, а багато з її результати стали надбанням світової культури. До них насамперед слід віднести: проведений Е. Е. Слуцким аналіз моделей поведінки споживача; відкриття Н. Д. Кондратьевым довгих хвиль економіки; розробку першого балансу народного господарства СРСР за 1923—1924 рр., з урахуванням якого було побудована широко відома нині модель В. В. Леонтьева; розвиток Л. В. Канторовичем методів дослідження лінійних систем. На жаль, досі метод математичного моделювання соціально-економічних процесів застосовувався (використовується) переважно у наукових розробках, а рекомендації учених найчастіше просто ігнорувалися всіх рівнях управління.

Причины зневажливого ставлення до наукового аналізу наслідків управлінські рішення мають глибоке коріння (як об'єктивні, і суб'єктивні), а опір, на який наражається метод математичного моделювання під час аналізу соціально-економічні проблеми, — більш як вікову історію. Наприклад, в 1890-х роках проти використання Л. Вальрасом математичних моделей знає політичної економії виступало переважна але його колег із Лозаннскому університету.

Основные перепони, які стоять по дорозі розвитку формалізованих методів у соціально-економічних науках, носять великою мірою суб'єктивний характер. Про головна з них сказав П. Л. Капица міжнародною симпозіумі із планування науки ще 1959 р. Розмірковуючи про розвиток громадських наук, він використовував аналогію зі становищем математично-природничої грамотності у середні віки, коли.

«церковь брала він монополію схоластически-догматического тлумачення всіх явищ природи, рішуче відкидаючи усе, що хоча у найменшої мері суперечило канонічним писаниямј Нині є велика різноманітність державними структурами, які визнають за істину тільки те у суспільних науках, що доводить доцільність цих структур нейтральних. Природно, що з такі умови розвиток громадських наук сильно пригнічений» [3].

К жалю, за 40 років це слово вони втратили своєї актуальності.

Суть математичного моделювання залежить від заміні досліджуваного економічного об'єкта (процесу) адекватної математичної моделлю і наступному дослідженні властивостей цієї моделі з допомогою або аналітичних методів, або обчислювальних експериментів. Слабка уявлення про можливості математичного моделювання призводить до емоційної реакцію невідповідність чекань й конкретних результатів соціально-економічної політики, заснованої на використанні неадекватних моделей: «економічні закони не діють», «розумом Росію не зрозуміти», «моделювання в умовах безглуздо» тощо. Але це однаково, що сьогодні траєкторію руху балістичної ракети за такою формулою з шкільного підручника фізики, і потім обурюватися розбіжністю теорії та практики.

Какими бувають модели.

К на даний момент у економічній теорії міцно закріпилися різні моделі взаємодії ринків робочої сили в, товарів хороших і грошей, моделі однопродуктовой і многопродуктовой фірм, модель поведінки споживача і ще. Ці моделі — результат розвитку математичної економіки як частини математичної науки. Про значення математичної економіки, яка стала інтенсивно розвиватися лише на початку ХХ в., чудово сказав одне із основоположників сучасної економічної теорії А. Маршалл:

«…когда доводиться використовувати занадто багато символів, розбирати їх важко всім, крім самого автора. Щоправда, геній Курно має надати новий стимул розумової діяльності всіх, хто відчуває у собі вплив його праці, а рівні йому за рівню математики стані використовувати своє улюблена зброя, щоб пробити собі шлях до суті тих найважчих проблем економічної теорії, які досі порушувалися дуже поверхово» [4].

Существенно, що переважна більшість економічних процесів протікає у часі, унаслідок чого математичні моделі, адекватні об'єкту дослідження, би мало бути динамічними. Одне з традиційних підходів до прогнозу розвитку динамічних економічних процесів — квазистационарный. У межах такий підхід аналізується, як зміщується точка рівноваги відповідної динамічної моделі за зміни тих чи інших параметрів останньої. Чудово розуміючи, що економічні процеси слід вивчати у поступовій динаміці, Маршалл виправдовував використання квазистационарного підходу тим, що «наш аналіз усе ще перебуває в дитячому віці». У цьому він зазначав, що «природа робить стрибків» особливо підходять в ролі епіграфа до робіт основи економічної науки.

В макроекономіці квазистационарный підхід спирається на ключову концепцію класичної політекономії — «невидиму руку» Адамом Смітом включно. Ця концепція є гіпотезу про існування на конкурентних ринках автоматичного рівноважного механізму. Інакше висловлюючись, під час використання квазистационарного підходу розвиток будь-який складної економічної системи (тут слово «система» розуміється над політичному, а кібернетичному сенсі) сприймається як зміна одного стійкого стану іншим з коротким періодом переходу від однієї до іншого.

Следует підкреслити, що складним економічним системам відповідають моделі, істотно нелинейные. Тому квазистационарный підхід ефективний лише до певного часу, поки деяких причин характер стаціонарного стану не зміниться кардинально. Такі зміни, звані бифуркациями, належать вже безпосередньо до області додатків методів нелінійного динамічного аналізу. Розвиток цього напряму досліджень наводить до дедалі більшого поширенню погляду, за якою навколишній світ — цей постійний розвиток, вічна нестійкість, а періоди стабілізації — стислі миті по дорозі просування.

Динамические математичні моделі, добре зарекомендували себе спочатку у фізиці, потім у біології, дедалі ширше застосовують у соціології і економіці [5, 6, 7]. На цей час методологія аналізу нелінійних динамічних систем оформилася на новий науковий напрям, націлене шукати загальних принципів еволюції і самоорганізації складних систем у різноманітних галузях знання. Спільним ланкою, сполучною зовсім різні явища, і стають нелинейные динамічні математичні моделі *. Поняття «катастрофа», «біфуркація», «граничний цикл», «дивний аттрактор», «диссипативная структура», «біжучий хвиля» тощо., виниклі під час використання порівняно простих нелінійних моделей, дозволяють глибше поринути у суть багатьох процесів. Фізика, хімія, біологія багаторазово демонструють приклади успішного застосування цієї методології. До них віднести: хвилі горіння; фазові переходи між агрегатными станами речовини; структури у середовищі за наявності автокаталитических реакцій; турбулентні течії рідини; коливання чисельності природних популяцій та інших.

* Докладно історію і перспективи методів нелінійної динаміки див.: Малинецкий РР. Новий образ нелінійної динаміки // Природа. 2001. № 3. С.3—12.

Неудивительно, що ця універсальна методологія, виникла порівняно нещодавно Грузія й добре зарекомендувала себе в природознавстві, стала проникати у традиційно гуманітарні науку й насамперед на що.

Сложность поведінки динамічної системи обумовлена її нелинейностью і багатомірністю. Проте складне й навіть хаотичне (квазистохастическое) поведінка можуть демонструвати і найпростіші одномірні системи з дискретним часом, властивості яких описуються рекуррентными співвідношеннями нелінійних точкових відбиття. Розглянемо узагальнену динамічну макроекономічну модель Кейнса—Фридмена, яка докладно описано на моєї монографії [8].

Об стійкості ринкових механизмов.

Классическая теорія до перших десятиліть ХХ в. служила досить добре й у розуміння макроекономічних процесів, й у обгрунтування державної економічної політики. Загальний принцип економічної поведінки держави було сформульовано як принципу нейтральності стосовно економічної діяльності приватних осіб — як фізичних, і юридичних. Відповідно до цього принципу, держава мало мінімізувати несприятливі економічні наслідки свого власного роботи і утриматися від безпосереднього впливу на рішень суб'єктів, які у умовах конкуренції. Отже, завдання держави у сфері економічної політики полягала у забезпеченні умов функціонування конкурентного ринку, у своїй до державного бюджету мав постійно поступово переорієнтовуватися під рівність прибутків і витрат.

Однако класична теорія не дати пояснень багатьох проблем, що виникли після першої Першої світової, і особливо під час економічної кризи 1930;х. Приміром, відповідно до ній вимушена безробіття мала не могло у Великобританії 1931—1935 рр. Водночас у цей період безробіття як не разу я не опускалася нижче 20%. Для пояснення нових економічних труднощів робилися різні спроби вдосконалити теорію, але тільки теорія англійського економіста Дж.М.Кейнса, котрий стверджував, що економіка неспроможна існувати з урахуванням саморегулювання І що держава має прийняти завдання управління економічними процесами, отримала найбільше визнання.

Эта завдання, по Кейнсу, зводилася переважно до того що, щоб підтримувати і стимулюватиме попит, навіщо необхідно створити умови, у яких товаровиробникам було б вигідно робити на інвестиції та розширювати виробництво, збільшуючи кількість робочих місць і тим самим скорочуючи безробіття. У стислі терміни після опублікування Кейнсом своєї теорії [9] його ідеї було прийнято найширшими колами фахівців, а економічна політика майже всіх країн стала спиратися на аналіз відповідних моделей.

Надо сказати, що кейнсианская теорія сукупного попиту досить складна, оскільки включає майже всі агрегированные макропоказники — як грошові, і реальні. Основним припущенням цієї теорії служить гіпотеза: «Попит створює пропозицію». Ця помітна, тож і добре гарна формула — сутнісно вираз іншого, менш виразного припущення, за яким «підприємцям вигідно розширювати виробництво (і отже, збільшувати пропозицію) за наявності надлишкового попиту». Сказане означає, що у теорії Кейнса закладено умова, відповідно до якому національна економіка має потенціал належала для розширення виробництва (наприклад, є резерв робочої сили в, устаткування, матеріалів і т.д.). На жаль, модель Кейнса часто застосовується для обгрунтування шляхів переходу Росії до ринків, хоча її основне припущення явно не виконується, і, отже, модель найменшого стосунку до реальну ситуацію немає.

Гипотеза «попит створює пропозицію» дозволяє побудувати цілу систему моделей, пояснюють функціонування ринкової економіки. Розглянемо за приклад спрощеному варіанту кейнсіанської моделі, який тим щонайменше дає наочне уявлення про дії ринкових механізмів. У цієї моделі, яку часто називають також моделлю мультиплікатора, аналізується один макроекономічний ринок — ринок товарів та послуг, а стан всієї економіки описується двома перемінними. Перша змінна YS — вироблений національний дохід, використовуваний споживання й нагромадження. Ця змінна сприймається як пропозицію товарів та послуг. Друга змінна YD — сукупний попит на товари та; вона становить собою суму двох складових: попиту інвестиції I і поточний споживання З:

YD = I + З. (1).

Существенным припущенням моделі і те, що поточний споживання З є зростаюча функція національного доходу: З = C (YS). У цьому вважають, що змінюється повільніше, ніж національний дохід, унаслідок чого похідна функції споживання З «(YS) — так звана гранична схильність до споживання — задовольняє умові 0 < З «(YS) < 1.

В подальшому спрощення аналізу моделі приймемо, звісно ж, що поточний споживання З змінюється по лінійному закону:

C (YS)= a + cYS, (2).

где чи з — позитивні константи (бо тут З «(YS) = з, то 0 < з < 1).

Пусть до певного моменту часу T економіка перебувала у стані рівноваги, тобто. при t < T сукупний попит дорівнював пропозиції: YD (t) = = YS (t). Що буде, коли з будь-якої причини у момент T сукупний попит збільшиться (наприклад, з допомогою зростання на інвестиції)?

Логика спрощеної (канонічної) моделі Кейнса, використовуваної щоб одержати відповіді це запитання, така. По-перше, зі збільшенням попиту інвестиції станеться усунення лінії сукупного попиту, унаслідок чого система характеризуватиметься новим станом рівноваги. По-друге, зростання сукупного попиту призведе (у дії гіпотези Кейнса «попит створює пропозицію») до підвищення пропозиції. Увеличившемуся пропозиції (національному прибутку), викликаного зростанням виробництва товарів та послуг, відповідає увеличившееся значення сукупного попиту. Та оскільки гранична схильність до споживання менше одиниці, різницю між попитом й пропозицією скорочується. Цю різницю E = YD — YS називають надлишковим попитом на товари та. Отже, позитивний надлишковий попит на товари та викликає у кожну наступну час зростання їх пропозиції, що зумовлює скорочення надлишкового попиту. Так само, якщо надлишковий попит негативний, відбувається скорочення національного доходу.

При формалізації описаного механізму спрощеної моделі Кейнса зазвичай продиктовані тим, що таке національний дохід у момент t+1 дорівнює сукупного попиту попередній момент t, тобто.

YS (t+1) = YD (t), (3).

где t = T, T + 1, ј.

Математики кажуть, що рівняння (3) задає итерационный процес (одномірне відображення). Постає питання, спричинить той процес до новому рівноважному значенням національного доходу YE? Для відповіді зручно запровадити нову зміну yt = YS (t) — YE, яка дорівнює відхилення поточного значення національного доходу його нового рівноважного значення YE. Можна показати, що динаміку цієї перемінної з рівнянь (1), (2) і (3) описується формулою геометричній прогресії:

yt+1 = cyt. (4).

А оскільки гранична схильність до споживання задовольняє умові 0 < з < 1, те, як знаємо з шкільного курсу алгебри, рівняння (4) задає нескінченно убутну геометричну прогресію, унаслідок чого yt ® 0 при t ® Ґ. Тому національний дохід YS (t) потрапляє до свого нового рівноважному значенням YE.

Рассмотренная нами динаміка національного доходу називається «мультиплікативний процес». Графічно той процес змальовується в вигляді ламаної лінії з допомогою з так званого хреста Самуэльсона—Хансена (мал.1). Тут лінія Y = YS (бісектриса координатного кута) є графіком функції пропозиції, а лінія Y = YD (YS), де YD (YS) = C (YS) + I — графіком функції сукупного попиту.

.

Рис. 1. Мультиплікативний процес. Спочатку попит характеризувався прямий Y = YD, і системи лежить у стані рівноваги A. Потім попит виріс (пряма Y = YD), і цього итерационного процесу (відповідні переходи показані кольором) система перейшов у стан рівноваги B.

Отже, дію гіпотези «попит створює пропозицію» наводить макроекономічну систему (у разі ринок товарів та послуг) до нового стану рівноваги. Тож у методологічному плані спрощена модель Кейнса використовують у економічної теорії підтвердження тези дії ринкових механізмів, призводять систему до стану рівноваги, якщо товаровиробникам вигідно робити на інвестиції та розширювати виробництво за наявності надлишкового попиту. Нагадаємо, що ключова гіпотеза Кейнса «попит створює пропозицію» висловлює дію саме цього механізму.

Упрощенная модель Кейнса, викладена у вигляді практично переважають у всіх підручниках макроекономіки, формує у читачів переконання, що макроекономічна система завжди стійка у зазначеному вище сенсі програми та будь-яка зміна точки рівноваги пов’язано остаточному підсумку зі зміщенням функції попиту. Виявляється, проте, що самого дії розглянутої механізму недостатньо: стан рівноваги, як побачимо далі, може і наступити.

Рождение хаоса.

Статистические дані, що характеризують динаміку національної економіки, говорять про нерівномірності розвитку: темпи економічного зростання змінюються у часі. Відкриття Кондратьєвим «довгих хвиль економіки» (свідчать періодичні спади і підйоми темпи зростання макроекономічних показників приблизно через кожні 50 років) дало імпульс у розвиток теорії циклів, у результаті у економічній теорії розробили різноманітні моделі, які мають властивістю циклічності. До до їх числа належить, наприклад, модель Самуэльсона—Хикса, у якій коливання національного доходу пояснюються єдиною причиною — коливаннями сукупного попиту. Проте дію гіпотези Кейнса може і додаткових допущень спричинить циклічною, або навіть хаотичної динаміці змінних.

В як приклад розглянемо таку модифікацію спрощеної моделі Кейнса, для побудови якої знову повернемося до її ключовою гіпотезі. Як було зазначено, традиційна, більше — загальноприйнята трактування цього принципу формалізується з допомогою рівняння (3). Проте з гіпотези Кейнса зовсім не від слід, що значення пропозиції (національного доходу) у кожний наступний час має бути одно значенням попиту попередній момент. У принципі, вона визначає лише напрям зміни національного доходу, тому більш послідовною і загальної є така її формалізація: знаки збільшень національного прибутку і надлишкового попиту збігаються. І тут зростання національного доходу відбувається, якщо попит вище пропозиції, а зниження національного доходу — якщо попит нижче пропозиції. Такому умові задовольняє як розглянута модель, а й таке, вже нелінійне, одномірне відображення:

YS (t+1) = YS (t)exp{g[YD (t)-YS (t)]}, (5).

где g > 0 — коефіцієнт реакції економіки на дисбаланс між попитом й пропозицією. Рівняння (5) може бути зведене суто формально до рівнянню Риккера, задающему итерационный процес:

yt+1 = Aytexp (-yt). (6).

Здесь yt = qYS (t), де q = g (1 — з), A = exp (qYE).

Уравнение Риккера (6) було вперше використано в математичної біології під час аналізу динаміки популяцій. Воно має здатність біфуркації подвоєння періоду, що полягає у наступному: при порівняно малих значеннях бифуркационного параметра A рівноважний рішення рівняння стійко; зі збільшенням цього параметра рівновагу порушується — виникають цикли періоду 2, 4, 8 тощо., а при ще більших значеннях бифуркационного параметра настає детермінований хаос. Це видно на мал.2 і рис. 3 (зліва), де итерационный процес (6) зображений на площині що за різних значеннях бифуркационного параметра A з допомогою графіків функцій y = xAe-x і y = x. Тут використовується хоча б прийом, як і під час розгляду динаміки національного доходу на спрощеної моделі Кейнса (див. мал.1).

.

Рис. 2. Динамічна спіраль — цикли періоду 2 (зліва) і 4. Тут згодом встановлюються цикли: змінна yt приймає послідовно значення y1 і y2 (у разі) чи значення y1, y2, y3 і y4 (у другому). Переходи при ітераційному процесі показані кольором.

.

Рис. 3. Детермінований хаос. Зліва зображено фазовая діаграма, характеризує динаміку перемінної yt. Праворуч — відповідну зміну yt у времени.

Рассмотрим уважно рис. 3 (справа), де показано динаміка перемінної yt у невеликому временном проміжку. У читача можна скласти враження, що саме змінна yt змінюється випадково, хаотично. Та оскільки динаміка системи описується детермінованим рівнянням (6), цю особливість почали називати детермінованим хаосом.

Для ілюстрації властивості біфуркації зручно використовувати бифуркационные діаграми, які у випадку одномірного відображення представляють собою безліч точок площині, абсциссы яких рівні значенням бифуркационного параметра, а ординати — які встановилися значенням аналізованої перемінної (рис.4). На малюнку видно, як у процесі зростання параметра A змінюється характер рішення. Спочатку рішення відповідає стану рівноваги, потім стає періодичним, з циклічними коливаннями перемінної yt між двома значеннями (крива «роздвоюється»), і, нарешті, переходить до детерминированному хаосу (тонированная область, на діаграмі).

До цього часу ми згадали одномірному відображенні, яке виникало під час моделювання динаміки національного доходу на дусі спрощеної моделі Кейнса. Проте макроекономіка — складна система, і його розвиток характеризується багатьма перемінними. Нами розроблено різні нелинейные динамічні моделі, у яких розглядалася динаміка низки макроперемінних, зокрема ставки відсотка голосів і рівня цін. Природно, що ускладнення об'єкта дослідження (зокрема, облік взаємовпливу товарного і грошової ринків) зумовлювало ускладнення моделі: збільшувалася як розмірність відображення, а й число бифуркационных параметрів.

Выполненные нами обчислювальні експерименти свідчать: зі збільшенням розмірності моделі ускладнюється поведінка аналізованої динамічної системи, що це випливає з порівняння рис. 4 і п’яти. Проте основне властивість одномірного відображення (6) — властивість біфуркації — також властиво збудованим двумерному і тривимірному точковим відображенням, що моделює взаємовплив кінцевий продукт, рівня цін, і ставки відсотка. Тут, як й у одномірному разі, стан рівноваги макроекономічної системи змінюється циклами періодів 2, 4, 8 тощо., які переходить до область хаосу; хаотичне зміна змінюється на циклічне з періодами 5, 6 і від, після чого період може знизитися, і знову можливо хаотичне поведінку і т.д. У цьому область стійкості рівноважного рішення досить вузька (див. див. мал.5).

.

Рис. 4. Бифуркационная діаграма одномірного відображення (6) і його збільшений фрагмент (справа). За віссю абсцис відкладаються значення параметра A, по осі ординат — значення перемінної yt при 4900.