Методи інтегрування

Методи інтегрування Перш за все відмітимо, що в усіх табличних інтегралах підінтегральна функція є певною функцією, аргумент якої співпадає із змінною інтегрування.

Розглянемо, наприклад, інтеграл x222Bsin (x2+l)dx. В цьому випадку аргументом основної елементарної функції сінус буде u=х2+1, а змінна інтегрування — х, тому при знаходженні цього інтеграла не можна використати табличну формулу.

x222Bsin udu=- cos +С Заданий невизначений інтеграл x222Bf (x)dx можна знайти, якщо якимось чином вдається звести його до одного із табличних інтегралів.

Найбільш часто для знаходження заданого невизначеного інтеграла використовують методи: безпосереднього інтегрування, заміни змінної (підстановки), інтегрування частинами, а також знаходження заданого інтеграла за допомогою довідника.

Ознайомимось з основними методами інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування.

сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегрільна функція f має вигляд однієї із підінтегральних функцій табличних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійном доданком або постійним множником або постійним множником та постійним доданком.

Приклад. Знайти інтеграли.

Розв’язування.

У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргумента степеневої функції u8 = (ч + 3)8 на постійний доданок 3;

У цьому випадку аргумент функції косінус відрізняється від змінної інтегрування х на множник ½.

У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргументи степеневої функції u2/5 = (3x — 7)2/5 постійним множником 3 та постійним доданком (- 7).

Метод підстановки (заміни змінної).

Цей метод містить два прийоми.

a) Якщо для знаходження заданого інтеграла x222Bf (x)dx зробити підстановку x = x03C6(t), тоді має місце рівність.

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба; щоб функція х — x03C6 (t) мала обернену t = x03C8(х).

Приклад. Знайти інтеграл.

Розв «язування. Зробимо підстановку х = 5sint, тоді.

Отже, одержимо.

Із рівності х = 5sin t одержимо t = arcsin (х/5);

b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = x03C6 (х) тоді має місце.

Після знаходження останнього інтеграли треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = x03C6 (х).

Метод інтегрування частинами Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, причому хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).

Нехай u та v деякі функції х, тобто u = u (x), v = v (x).

Розглянемо диференціал добутку цих функцій.

d (uv) = udv + vdu.

Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо.

Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо.

Отже, одержали формулу.

яку називають формулою інтегрування частинами.

v = x.

За формулою інтегрування частинами (4) одержимо.

Література:

Барковський В.В., Барковська Н. В. Вища математика для економістів — Київ: ЦУЛ, 2002 — 400 с. Серія: Математичні науки.