Лінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння

Лінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння.

.

.

Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами Означення. Лінійним різницевим рівнянням n-го порядку називається рівняння.

.

де .

.

Число n називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна також записати в операторній формі.

.

Якщо .

Нагадаємо, що оператор зсуву S.

.

Далі, замість слів «різницеве рівняння» будемо використовувати позначення РР. Для однозначного визначення розв «язків РР достатньо задати початкові умови.

.

Означення. Розв «язком РР (2) називається послідовність .

Приклад. Покажемо, що послідовність .

2. Однорідні різницеві рівняння Наведемо деякі властивості розв «язків однорідного РР.

.

Якщо РР (6) має частинні розв «язки .

Якщо РР (6) має два розв «язки .

.

Означення: Розв «язок РР (6) при .

.

називають загальним, якщо за рахунок вибору довільних сталих С1, С2,…, Сn можна задовольнити довільні початкові умови (6).

Якщо .

Завжди має розв «язок відносно сталих С1, С2, …, Сn.

Означення. Визначник.

.

називається визначником Вронського.

Замінюючи k на k+1 у визначнику (8), одержимо рівняння для значника Вронського .

Л. Ейлер запропонував загальний метод розв «язання РР (6). Розглянемо спочатку РР першого порядку .

З рівняння при k=0, 1, 2… одержимо рівняння.

.

Виходячи з цього, РР (6) має частинний розв «язок.

Розв «язок .

Л. Ейлер запропонував шукати розв «язок РР (6) у вигляді .

Оскільки справедлива рівність .

є визначником Вандермонда і відрізняється від нуля при .

.

.

.

.

З цієї системи рівнянь знайдемо С3=0, С4=.

.

Теорема 8.3. Якщо мультиплікаторне рівняння .

.

.

3. Неоднорідне різницеве рівняння Неоднорідне РР.

.

Найбільш часто зустрічається РР.

.

Приклад. Знайдемо частининй розв «язок РР .

з якого знаходимо.

.

Приклад. Шукаємо частинний розв «язок РР.

.

.

.

_.

.