Методи оцінювання параметрів сигналів

Методи оцінювання параметрів сигналів

• 1. Перетворення сигналів і виділення інформації
• 2. Загальні властивості оцінок
• 3. Методи одержання оцінок
• 4. Визначення характеристик оцінок початкових моментів
• 5. Заміна «усереднення по реалізаціях» «усередненням за часом»
• 6. Оцінка математичного очікування по декількох реалізаціях
• 7. Оцінка кореляційної функції
• 8. Оцінка спектральної щільності

1. Перетворення сигналів і виділення інформації

Перш ніж одержати результати вимірів прийнятий сигнал необхідно обробити — підсилити, перетворити в діапазон частот, на якому легше здійснити фільтрацію від сторонніх коливань, виділити інформаційний параметр, перетворити до виду, зручного для цифрової обробки й виконати ряд інших перетворень. Найчастіше обробляються квазігармонійні коливання, у яких можна виділити амплітуду, частоту або фазу коливання.

Підсилення сигналу здійснюється на радіочастоті до його перетворення й після перетворення на проміжній частоті. У цих підсилювачах разом з підсиленням забезпечується частотна селективність. Варто звернути увагу на визначення основних параметрів і властивостей підсилювачів: резонансний коефіцієнт підсилення, селективність, коефіцієнт шуму, перетворення сигналу й стійкість. Крім того, необхідно знати загальні принципи роботи гетеродинного перетворювача частоти.

Велику роль у перетворенні сигналів грають виділення амплітуди (амплітудна демодуляція) і процедури перетворення миттєвих значень у цифрову форму. Процедури амплітудної демодуляції виконуються за допомогою нелінійних пристроїв і докладно розглядаються в курсах радіоприймальних пристроїв. Перетворення миттєвих значень оброблюваних коливань у цифрову форму здійснюються методом порівняння із заздалегідь відомою напругою.

Визначення різниці фаз двох коливань також може здійснюватися аналоговими схемами, останнім часом ці процедури часто виконуються за допомогою цифрових перетворень сигналів. В останньому випадку обробляються масиви даних, які попередньо заносяться у пам’ять. Варто звернути увагу на способи визначення різниці фаз. Найпоширенішим є спосіб, заснований на вимірі часових інтервалів: один з них дорівнює запізнюванню вимірюваного коливання щодо опорного, а другий — тривалості періоду. Підвищену точність забезпечує спосіб, у якому використовується метод максимальної правдоподібності.

При вивченні даного пункту варто звернути увагу також на нормалізацію випадкових процесів у вузькосмугових лінійних ланцюгах.

2. Загальні властивості оцінок

Результат виміру на виході радіотехнічної системи завжди є випадковою величиною або функцією випадкових величин, тому що до вимірюваного параметра завжди додаються шуми. Тому результат виміру визначається на підставі обробки експериментального матеріалу, що є масивом випадкових значень. Першою задачею, що завжди виникає при обробці експериментальних даних, є знаходження наближених значень, які доцільно прийняти як шукані величини. Ці наближені значення в математичній статистиці називають «оцінками». Як правило, вони позначаються тими ж символами, що й оцінювані параметри, але з «шапкою» або «тильдою» зверху: для величини оцінка позначається або .

Найбільш важливими в прикладному плані є три задачі математичної статистики

1. Оцінка невідомої функції розподілу або щільності ймовірностей, коли за конкретним значенням, отриманим у результаті незалежних вимірів випадкової величини, потрібно оцінити невідому функцію розподілу величини або щільність імовірності, якщо — безперервна випадкова величина.

2. Оцінка невідомих параметрів. У цій задачі передбачається, що на підставі фізичних або загальнотеоретичних міркувань можна стверджувати, що випадкова величина має функцію розподілу певного виду, що залежить від декількох параметрів, значення яких невідомі. За результатами спостереження величини потрібно оцінити значення цих параметрів.

3. Статистична перевірка гіпотез. Звичайно це завдання формулюється так. Нехай на підставі деяких міркувань можна вважати, що функція розподілу досліджуваної випадкової величини є. Необхідно з’ясувати, чи сумісні дослідні дані з гіпотезою, що випадкова величина дійсно має розподіл. Інше формулювання. Припустимо, що спостережувані значення випадкової величини обумовлені двома або декількома різними причинами (гіпотезами). У результаті спостереження величини потрібно вирішити, з якої із гіпотез варто зв’язати отримані значення величини .

Як ми вже відзначали, вихідними даними, які підлягають обробці, є результати спостережень над випадковою величиною. Безліч всіх можливих значень випадкової величини називається генеральною сукупністю, а безліч дослідних значень — вибірковими значеннями, число — обсяг вибірки. Якщо відома функція розподілу або щільність імовірності випадкової величини, то говорять, що вибірка належить розподілу або. Розташувавши числа в зростаючому порядку, так що при, одержимо впорядковану вибірку, яку називають варіаційним або статистичним рядом.

Для того, щоб з різних оцінок, які можуть бути запропоновані для однієї й тієї ж величини, вибрати найбільш підходящу, необхідно встановити деякі загальні властивості оцінок. Найбільш важливими властивостями оцінок є: спроможність, незміщеність і ефективність.

Оцінка є спроможною, якщо при збільшенні обсягу вихідного масиву даних (збільшенні обсягу вибірки для випадку незалежних дискретних вимірів випадкової величини або збільшенні тривалості реалізації для безперервного процесу) імовірність як завгодно малих відхилень від істинного значення прагне до нуля. Якщо оцінка спроможна, то при досить великому обсязі статистичного матеріалу можна із практичною вірогідністю бути впевненим, що помилка оцінки не перевершує прийнятну величину. Якщо оцінка не спроможна, то такої впевненості не може бути навіть при дуже великому обсязі вимірюваних даних.

Оцінка є незміщеною, якщо її математичне очікування дорівнює оцінюваній величині. Вимога незміщеності оцінки еквівалентна вимозі відсутності систематичної помилки. Очевидно, що незміщеність є позитивною якістю оцінки, однак з метою одержання більш простої оцінки іноді (часто) задовольняються асимптотично незміщеною оцінкою. У цьому випадку обмежуються вимогою, щоб оцінка асимптотично прагнула до точного значення при зростанні об'єму статистичного матеріалу.

Ефективність незміщеної оцінки визначається зміною її дисперсії при збільшенні об'єму статистичного матеріалу. Незміщена оцінка, дисперсія якої знижується швидше при збільшенні обсягу вихідних даних, буде ефективніше оцінки, дисперсія якої знижується повільніше при цієї умові. Не завжди варто застосовувати найефективнішу оцінку, у ряді випадків має сенс використовувати не найефективнішу, але зате більш просту оцінку, одержання якої дозволяє істотно спростити розрахунки.

Крім загальної характеристики якості оцінки (спроможність, незміщеність, ефективність) звичайно виникає задача визначення точності оцінки. Для характеристики точності оцінки в статистиці звичайно використовують поняття довірчого інтервалу й довірчої ймовірності. Сутність цих понять можна пояснити на наступному прикладі. Нехай — оцінюваний параметр, а — його оцінка. Нехай нас цікавить одержання оцінки з помилкою, що не перевершує по абсолютній величині, тобто для нас істотно, щоб величина оцінки не вийшла за межі інтервалу. Тому що оцінка є величиною випадковою, то можливість одержання помилки в зазначеному інтервалі можна оцінити, задавши ймовірність

.

Ця ймовірність і зветься довірчою ймовірностю, а інтервал називається довірчим інтервалом.

3. Методи одержання оцінок

Для одержання точкових оцінок невідомих параметрів практично використовуються чотири методи: метод моментів, метод мінімальної дисперсії оцінки, метод максимальної апостеріорної ймовірності й метод максимальної правдоподібності. Частіше інших застосовуються метод моментів і метод максимальної правдоподібності. Останній у ряді випадків дає найбільш ефективні оцінки.

Метод моментів дає, як правило, менш ефективні оцінки, однак більш простий в обчислювальному відношенні. Сутність цього способу полягає в тому, що теоретичні значення моментів випадкових величин, що залежать від оцінюваних параметрів, прирівнюються статистичним значенням моментів. Вибравши достатнє число перших моментів, одержують необхідне число рівнянь для визначення шуканих параметрів закону розподілу випадкової величини.

Залежно від того, як зв’язана оцінка з реалізаціями випадкових величин (ординатами реалізацій випадкової функції), оцінки діляться на лінійні й нелінійні. Очевидно, найбільш ефективна оцінка не обов’язково повинна бути лінійною. Тому, якщо обмежитися розглядом лінійних оцінок, то найбільш ефективні оцінки такого типу не обов’язково будуть давати найменшу дисперсію із усіх можливих оцінок.

Лінійні оцінки, як правило, дозволяють одержувати більш прості розрахункові формули, широко застосовуються на практиці, а в ряді випадків дозволяють одержувати й найбільш ефективні оцінки. У даному курсі розглядаються, в основному, лінійні оцінки.

Крім визначення оцінок параметрів (і функцій), метою обробки статистичного матеріалу іноді є перевірка різних гіпотез, наприклад, про вид закону розподілу, про вплив різних факторів на результат досліду й т.д.

Принципи обробки дослідного матеріалу, застосовувані при рішенні зазначених вище задач, добре розроблені в математичній статистиці стосовно до послідовностей незалежних реалізацій випадкової величини (вибірки з генеральної сукупності обсягу)

Ці принципи придатні й до обробки реалізацій випадкових функцій, однак безпосереднє перенесення формул, отриманих для випадкових величин, на випадок обробки реалізації випадкових функцій, наштовхується на ряд труднощів. По-перше, тут немає сукупності незалежних реалізацій випадкових величин, а більшість виводів отримана в математичній статистиці для незалежних вибірок. По-друге, багато формул математичної статистики (наприклад, формули для довірчих імовірностей, різні критерії згоди й т.д.) явно включають об'єм вибірки. При обробці реалізацій випадкових функцій подібної величини не існує, тому що «об'єм вибірки» у цьому випадку визначається довжиною інтервалу часу, протягом якого записана реалізація. Тому доводиться виводити відповідні формули безпосередньо стосовно до обробки випадкових функцій або приблизно користуватися формулами для випадкових величин, замінивши в них обсяг вибірки іншою величиною, що враховує специфіку оброблюваного статистичного матеріалу.

При одержанні оцінок можуть з’являтися істотні похибки у зв’язку з тим, що невідомий точний закон розподілу, модель розподілу відрізняється від реального закону, є значні величини щільності імовірностей на окраїнах області розподілу й т.д. Тому багато уваги при одержанні оцінок приділяється стійким методам оцінювання. Статистичну процедуру оцінювання називають стійкою, якщо на значення одержуваної оцінки не роблять помітного впливу малі зміни всіх або великі зміни деяких випадкових величин в основній вибірці. У літературі як синонім такої стійкості використовується термін «робасність». Робасні методи оцінювання інтенсивно розвиваються, у числі їхніх основних типів варто назвати L, R, M - оцінки. Це лінійні комбінації порядкових статистик (L — оцінки), оцінки, засновані на рангових критеріях (R - оцінки), оцінки максимальної правдоподібності (M - оцінки), про які згадувалося вище.

4. Визначення характеристик оцінок початкових моментів

Розглянемо основні задачі обробки реалізації випадкових функцій. Розглянемо задачі знаходження оцінки математичного очікування випадкової функції, не припускаючи її стаціонарності.

Нехай отримано реалізацій випадкової функції однакової тривалості, які схематично зображені на рис. 1.

Виберемо в інтервалі часу, для якого зроблений запис реалізацій, довільний момент часу. Ординати реалізацій у цей момент часу, , … можна розглядати як знайдені з досліду значення випадкової величини, оцінка математичного очікування для якої визначається формулою

(1)

Знаходячи математичне очікування обох частин рівності (1), і з огляду на те, що для будь-якого номера реалізації, одержимо

. (2)

Таким чином, формула (1) дає незміщену оцінку для математичного очікування випадкової функції.

Знаходячи дисперсію обох частин рівності (1) і з огляду на те, що праворуч стоїть сума незалежних випадкових величин, що мають однакову дисперсію, одержимо

(3)

Таким чином, оцінка (1) є не тільки незміщеною, але й спроможною, тому що

(4)

при кожному .

перетворення сигнал оцінка інформація Питання про ефективність оцінки (1) вимагає спеціального розгляду. Дійсно, якщо оцінка обчислена для ряду значень із інтервалу, то можна вважати, що весь хід функції може бути використаний для згладжування випадкових помилок, що виникають при обробці реалізацій випадкової величини. Дійсно, нехай, наприклад, відомо, що. Тоді, мабуть, можна сподіватися уточнити оцінку математичного очікування, зробивши усереднення отриманих значень за часом.

Таким чином, якщо відомі деякі загальні властивості оцінюваного математичного очікування, то можна вважати, що замість оцінки (1), що використовує значення ординат реалізацій випадкової функції в один момент часу, можна використовувати оцінку, що враховує хід зміни всіх реалізацій у часі і яка повинна бути за рахунок цього більше ефективною, ніж (1).

5. Заміна «усереднення по реалізаціях» «усередненням за часом»

Розглянемо отримані оцінки трохи докладніше для стаціонарної випадкової функції. У цьому випадку при обробці доводиться мати справу не з великим числом реалізацій, отриманих за порівняно малі проміжки часу, а з декількома (або навіть із однією) реалізаціями, записаними за порівняно великий інтервал часу. Тому при обробці дослідного матеріалу доводиться замість усереднення за допомогою формули (1) ординат випадкових функцій, отриманих в однакові моменти часу для різних реалізацій, робити усереднення ординат для однієї й тієї же реалізації, отриманої у різні моменти часу. Для допустимості подібного способу дії, мабуть, необхідно, щоб зв’язок між ординатами випадкової функції, узятими в різні моменти часу, спадав досить швидко, тому що тільки в цьому випадку одну реалізацію за часом можна приблизно розглядати як сукупність декількох незалежних реалізацій. При цьому розходження між двома способами одержання оцінок зникає.

Установимо кількісні ознаки, яким повинна задовольняти випадкова функція для того, щоб замість «усереднення по реалізаціях» можна було проводити «усереднення за часом». Розіб'ємо інтервал часу, на якому задана реалізація, на рівних елементарних інтервалів довжиною .

Якщо усереднення за часом припустимо, то за оцінку математичного очікування потрібно прийняти вираз

. (5)

Перетворимо цей вираз, перейшовши від підсумовування за дискретним значенням часу до інтегрування по змінній. Помноживши й розділивши для цієї мети праву частину (5) на, одержимо

. (6)

Спрямовуючи інтервал до нуля, перетворимо суму в інтеграл, що дає

. (7)

Перевіримо, у яких випадках вираз (1.11) можна вважати незміщеною оцінкою математичного очікування. Для доказу незміщеністі оцінки досить застосувати операцію математичного очікування до обох частин виразу (7) і скористатися зміною місця операції знаходження математичного очікування й операції інтегрування. Виконавши ці перетворення, одержимо

. (8)

Математичне очікування ординати реалізації випадкової функції внаслідок стаціонарності розглянутого процесу — величина постійна. Виносячи її з-під знака інтеграла в (8), одержимо

. (9)

Отже, математичне очікування оцінки (9) завжди дорівнює математичному очікуванню випадкової функції й для виконання умови незміщеності не потрібно яких-небудь додаткових властивостей випадкової функції, крім її стаціонарності.

Інакше складаються обставини з вимогою спроможності оцінки: для того, щоб оцінка була спроможною, на кореляційну функцію процесу необхідно накласти додаткові обмеження. Дійсно, тому що, по-перше, відповідно до (7) виходить із ординат випадкової функції (її реалізацій) шляхом застосування лінійної операції інтегрування й множення на, по-друге, для дійсної випадкової функції маємо

. (10)

Якщо буде прагнути до нуля при зростанні, то оцінка буде спроможною. Це відбудеться в тому випадку, якщо при інтеграл збільшується з ростом не швидше, ніж, де .

Для виконання цієї умови, загалом кажучи, вимога не є обов’язковою. Однак звичайно

. (11)

тому що кореляційний зв’язок між ординатами випадкової функції спадає в міру збільшення інтервалу між цими ординатами. Щоб мати можливість користуватися усередненням за часом ординат однієї реалізації випадкової функції, досить зажадати, щоб інтеграл від кореляційної функції, узятий у межах, був кінцевий, тобто

(12)

тому що в цьому випадку буде також кінцевий, і величина (12) буде прагнути до нуля при зростанні, тобто

. (13)

Стаціонарні випадкові функції, для яких усереднення по реалізаціях можна замінити усередненням за часом, тобто для яких виконується умова (13), звуться ергодичними випадковими функціями, а доведена теорема про умови, що забезпечують ергодичність функції, називається ергодичною теоремою.

Таким чином, у практично цікавих випадках оцінка (10) є незміщеною й спроможною. У працях по математичній статистиці показано, що якщо ми не маємо ніяких додаткових відомостей про властивості випадкової функції крім її стаціонарності, то ця оцінка є й найбільш ефективною із усіх лінійних оцінок, тобто оцінок виду

(14)

де — деяка вагова функція (тобто найменша дисперсія буде в тому випадку, коли). Якщо відомі деякі додаткові властивості випадкової функції, то може бути знайдена більш ефективна оцінка.

6. Оцінка математичного очікування по декількох реалізаціях

Припустимо, що є кілька () незалежних реалізацій однієї й тої ж стаціонарної, випадкової функції, причому довжина реалізації дорівнює. Оцінка математичного очікування, знайдена по реалізації, відповідно до (1.11) буде

. (15)

Для того, щоб одержати оцінку математичного очікування з урахуванням всіх реалізацій, необхідно знайти середнє значення всіх реалізацій оцінки. Тому що ці оцінки відповідно до (11) мають при різних різні дисперсії

(16)

те усереднення потрібно провести за правилом усереднення величин, які мають різні точності. Тобто по формулі

. (17)

Дисперсія отриманої в такий спосіб оцінки визначається формулою

. (18)

Як виходить з формул (11) і (14), для визначення дисперсії оцінок математичного очікування необхідно знати кореляційну функцію досліджуваного процесу. Оскільки звичайно ця функція невідома, останніми формулами можна користуватися, підставивши в них замість невідомої кореляційної функції її оцінку.

У деяких випадках, наприклад, при записі значень в електронну пам’ять ЕОМ через рівні інтервали часу, не вдається одержати безперервну реалізацію випадкового процесу, а доводиться мати справу з набором значень ординат реалізацій процесу, отриманих у дискретні моменти часу. При цьому виникає питання, який інтервал дискретності може бути прийнятий без істотного зменшення точності одержуваної оцінки.

Стосовно до знаходження оцінки математичного очікування питання зводиться до визначення такого максимального значення, при якому формула (9) буде давати практично таку ж точність, як і формула (10). Обчисливши для цієї мети дисперсію, обумовлену (9), після перетворень будемо мати

. (19)

Порівняння (19) з (13) для випадку безперервної реалізації дозволяє зробити висновок про те, що вираз (19) дає наближене значення інтеграла, отриманого з (13) шляхом заміни на й обчисленого методом трапецій.

Співвідношення (19) дозволяє обчислити число інтервалів, на яке потрібно розділити час спостереження для одержання оцінки математичного очікування з мінімальною дисперсією.

7. Оцінка кореляційної функції

Нехай випадкова функція нестаціонарна. Тому що по визначенню

(20)

то для знаходження оцінки можна виходити з тих же міркувань, які були використані при знаходженні. Приймемо, як і раніше, що є реалізацій випадкової функції однакової тривалості. Припустимо спочатку, що математичне очікування відоме. Виберемо два довільних моменти часу, що перебувають усередині інтервалу. Ординати реалізацій у ці моменти часу можна розглядати як значення випадкових величин і, а вираз

(21)

як значення випадкової величини, що стоїть під знаком математичного очікування у формулі (20). Це значення отримане в досліді. Отже, для знаходження оцінки кореляційної функції потрібно знайти середнє значення виразу (21) по всіх реалізаціях. При цьому для оцінки одержимо

. (22)

Якщо математичне очікування невідоме, то замість математичного очікування у формулі (22) потрібно взяти її оцінку по формулі (1.5) і покласти

(23)

де, як звичайно в подібних задачах, множник перед сумою замінений на для того, щоб оцінка була незміщеною.

Дійсно, знаходячи математичні очікування обох частин рівностей (22) і (23) після простих перетворень одержимо, що в обох випадках

. (24)

Знання математичного очікування й кореляційної функції в більшості випадків дозволяє вирішувати задачі, що зустрічаються при виробленні технічних рішень. Тому застосуванням формул (5), (21), (22) і (23) звичайно закінчується обробка реалізацій нестаціонарних випадкових функцій.

Розглянемо оцінку кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу. Припустимо спочатку, що є одна реалізація випадкової функції, записана в інтервалі й математичне очікування відомо. Тому що

(25)

то для визначення можна скористатися отриманими раніше результатами для оцінки математичного очікування стаціонарної функції, якою у цьому випадку буде добуток .

Застосовуючи загальну формулу (1.11) і з огляду на те, що інтервал реалізації розглянутої в цьому випадку функції дорівнює, одержимо

. (26)

По доведеному раніше оцінка (26) є незміщеною. Для того, щоб переконатися в її спроможності, необхідно встановити, у яких випадках

. (27)

Для обчислення в загальному випадку недостатньо знати кореляційну функцію процесу, необхідно мати у своєму розпорядженні моменти ординат цієї функції більш високого порядку. Для нормального процесу може бути виражена через .

У випадку, якщо математичне очікування процесів невідоме, у формулі (26) необхідно замінити на; у цьому випадку маємо

. (28)

Слід зазначити, що можливо обробку масивів інформації вести інакше: спочатку одержати оцінку математичного очікування добутку, а потім перейти до оцінки кореляційної функції, скориставшись загальним співвідношенням між центральним і початковим моментами другого порядку

(29)

у якому математичні очікування необхідно замінити їхніми оцінками

. (30)

Формула (28) не збігається з (30), однак при великому результати, отримані по цих формулах, будуть практично ідентичні.

Незміщеність оцінки (28) або (30) повинна бути перевірена. Обчислимо математичні очікування обох частин рівності (30). Після зміни порядку інтегрування й знаходження математичного очікування одержимо

. (31)

Для ергодичних випадкових процесів, для яких, дисперсія прагне до нуля при зростанні. Отже, у цьому випадку

. (32)

Відзначимо, що на відміну від математичне очікування оцінки дорівнює тільки в межі .

Так само можна довести, що й оцінка (28) є асимптотично незміщеною, тобто при зростанні для ергодичних випадкових процесів математичне очікування прагне до .

При наявності ергодичності нормального процесу

(33)

тобто формули (28) і (30) дають спроможні, асимтотично незміщені оцінки кореляційної функції. Так само спроможною й асимтотично незміщеною оцінкою є оцінка по формулі (26).

8. Оцінка спектральної щільності

Для знаходження оцінки спектральної щільності стаціонарного випадкового процесу по його реалізації можна або попередньо знайти оцінку кореляційної функції методом, викладеним у п. 7, і знайти її перетворення Фур'є, або із самого початку вести обробку таким чином, щоб відразу знаходити ординати оцінки спектральної щільності. Розглянемо кожний із цих способів.

Якщо оцінка визначається по попередньо знайденій оцінці кореляційної функції, то можна діяти одним із двох способів. Перший — попередньо апроксимувати відповідним аналітичним вираженням, другий — виходити безпосередньо із графіка, отриманого шляхом обробки реалізації випадкового процесу.

Перший спосіб представляється більше практичним у тому випадку, коли із загальних міркувань вид кореляційної функції не викликає сумніву й немає небезпеки при її апроксимації упустити які-небудь істотні подробиці спектральної щільності.

Наприклад, відомо, що випадкова функція є вихідною функцією стаціонарної лінійної системи першого порядку, на вхід якої надходить «білий шум», а функція добре апроксимується виразом

. (34)

У цьому випадку оцінка спектральної щільності має вигляд

. (35)

Однак часто виникає задача з’ясувати тонкі властивості спектральної щільності, пов’язані із природою досліджуваного процесу. У цьому випадку необхідно звернутися до оцінки до її апроксимації або до самої реалізації випадкового процесу. Однак у першому випадку виникають принципові труднощі, пов’язані з тим, що оцінка кореляційної функції відома нам тільки на обмеженому інтервалі зміни її аргументу, причому точність оцінки зменшується з наближенням до границь інтервалу. Тому обчислення оцінки спектральної щільності по формулі

(36)

не є найкращим, а в ряді випадків і просто неприйнятним, тому що ігнорування ординат кореляційної функції при може істотно спотворити ординати спектральної щільності при малих значеннях .

Настільки ж неефективним виявляється й безпосереднє застосування перетворення Фур'є до реалізації для одержання оцінки .

Розглянемо це питання докладніше. Нехай дана реалізація, записана в інтервалі часу. Тому що спектральна щільність є усередненим значенням квадрата модуля амплітуди розкладання функції в ряд Фур'є, то як оцінку спектральної щільності можна прийняти вираз, що називають «періодограмой»; він має вигляд

. (37)

Обчислення цього виразу простіше, ніж обчислення кореляційної функції, тому що в цьому випадку відпадає необхідність у перемножуванні ординат випадкової функції, узятих у різні моменти часу.

Для того, щоб (37) можна було прийняти як оцінку, необхідно переконатися, що при зростанні математичне очікування цього виразу прагне до нуля. Це легко довести, приймаючи, обчислюючи математичні очікування обох частин рівності (37) і розглядаючи квадрат модуля інтеграла як подвійний інтеграл; у результаті одержимо

(38)

Переходячи до межі, маємо

. (39)

У такий спосіб перша умова, якій повинна задовольняти оцінка, дійсно виконується й оцінка, виконана за допомогою «періодограми» є незміщеною.

Для визначення, чи виконується друга умова, варто знайти дисперсію, наприклад, для нормального процесу при маємо

. (40)

Таким чином, точність визначення спектральної щільності, обчислена методом «періодограми» (37), не підвищується зі збільшенням інтервалу запису, тобто оцінка є неспроможною. Тому оцінка за допомогою «періодограми» по формулі (37) не може бути прийнята як оцінка спектральної щільності.

Неспроможність оцінки (37) спектральної щільності пов’язана з тим, що тут оцінюється не числовий параметр, що характеризує, а виробляється оцінка всього ходу функції, або, як називають у математичній статистиці, виробляється непараметрична оцінка. Кількість оцінюваних ординат спектральної щільності нескінченна, дисперсія оцінки кожної ординати не спадає з ростом. Дійсно, припустимо, що випадкова функція представлена не у вигляді інтегрального спектрального розкладання (представлення стаціонарного в широкому сенсі випадкового процесу у вигляді інтеграла Стілтьєса, а у вигляді відрізка ряду Фур'є:

(41)

де й — випадкові величини, що мають однакову дисперсію й нульові математичні очікування. Для одержання оцінки дисперсії представимо реалізацію випадкової функції у вигляді ряду (41), коефіцієнти якого можна розглядати як реалізацію випадкових величин і. Для оцінки дисперсії цих величин маємо:

. (42)

Припустимо тепер, що у формулі (41) збільшується кількість доданків. Тоді при відповідному граничному переході сума (41) перетвориться в інтеграл, а можна буде замінити на. Однак при цьому граничному переході оцінка як і раніше буде обчислюватися по формулі (42), що містить тільки два доданки, й, отже, дисперсія оцінки не буде зменшуватися з ростом. Тому отримана в такий спосіб оцінка не буде спроможною.

Положення зміниться, якщо замість оцінки дисперсії кожної амплітуди або оцінювати дисперсію суми амплітуд, що припадають на інтервал частот. Стосовно до безперервного спектра частот це означає, що ми будемо шукати не оцінку ординат спектральної щільності, а оцінку інтеграла від цієї спектральної щільності, узятого в межах від до або, що теж саме, різницю спектральних функцій. В цьому випадку

(43)

буде асимптотично незміщеною й спроможною.

Таким чином, внаслідок неспроможності оцінки формула (37) не дозволяє навіть при досить великих довжинах реалізації одержати надійне значення спектральної щільності в даній точці, тобто надійно визначити тонку структуру функції. Навпаки, якщо цікавитися усередненими значеннями цієї функції, то зі збільшенням інтервалу усереднення при тій же довжині реалізації ми будемо одержувати усе більш ефективні оцінки. Однак якщо ми будемо використовувати отримані усереднені оцінки для характеристики спектральної щільності, то неминуче одержимо систематичну помилку. Іншими словами, одержуючи спроможну оцінку шляхом зазначеного вище усереднення по частотах, ми тим самим порушуємо незміщеність оцінки.

Для подолання виникаючих труднощів застосовуються різні способи, засновані на раціональному усередненні ординат спектральної щільності. Проаналізуємо найпростіший з таких способів, що пояснює суть розв’язуваної задачі.

Повернемося до формули (37). Як уже визначено, цей вираз не може бути прийнятий як оцінка спектральної щільності, тому що не дає спроможної оцінки. Однак якщо розбити інтервал часу на інтервалів, що мають довжину, і застосувати формулу (37) до кожного із цих інтервалів, то одержимо оцінок спектральної щільності

(44)

середнє арифметичне яких при досить великих і можна прийняти за оцінку. Дійсно, приймаючи

(45)

і знаходячи математичні очікування обох частин рівності, на підставі формули (39) будемо мати

. (46)

Уважаючи при досить великому незалежними величинами й застосовуючи основні теореми для дисперсії суми незалежних випадкових величин, з урахуванням (40) одержимо

. (47)

Таким чином, отримана оцінка є спроможною.

Можна показати, що оцінку, практично еквівалентну отриманій за допомогою формули (45), можна знайти з формули (36), у якій використовується кореляційна функція. Для цього необхідно ввести в праву частину формули (36) відповідну вагову функцію. Для того, щоб у цьому переконатися, підставимо (44) в (45), представляючи одночасно квадрат модуля у вигляді подвійного інтеграла; у результаті одержимо

. (48)

Якщо в кожному з інтегралів, що стоять під знаком суми, зробити заміну змінних, поклавши

, (49)

те формула (48) прийме вигляд

. (50)

Увівши замість нову змінну інтегрування

(51)

формулі (50) можна надати вигляд

Перша сума в отриманій формулі з урахуванням множника дає оцінку кореляційної функції, обчислену по формулі (26) для реалізації довжини. Кожний із внутрішніх інтегралів у другій сумі формули (52) також дає оцінку кореляційної функції, обчислену по відрізку реалізації довжиною, але помножену на. Позначивши ці оцінки й для першого й другого інтегралів суми, замість (52) можна буде записати

Якщо у формулі (53) не робити різниці між оцінками, і написавши всюди, то одержимо

(54)

де «вагова функція» обертається в нуль при .

Таким чином, наведені якісні міркування показують, що введення у формулу перетворення Фур'є оцінки кореляційної функції додаткового множника, відмінного від нуля тільки в кінцевому (симетричному) інтервалі зміни аргументу, приблизно еквівалентно переходу від неспроможної оцінки по формулі (37) до спроможної оцінки по формулі (45). При цьому загальні міркування на вибір інтервалу залишаються колишніми: інтервал повинен бути досить великим для того, щоб оцінка була незміщеною, і досить малим, щоб було настільки великим числом, щоб оцінка була ефективною.

Загальні теоретичні рекомендації з вибору значення одержати не вдається, тому що оптимальне значення залежить не тільки від виду шуканої спектральної щільності, але й від тої конкретної задачи, що при цьому вирішується. Однак можна зробити загальні практичні вказівки на вибір ширини інтервалу (ширини вікна, як називають цей інтервал в англомовній літературі). Спочатку вибирають вид вагової функції, потім роблять розрахунок при різних, рухаючись від менших значень до більшого. Тому що мале значення відповідає великому числу у формулі (45), то одержувана при цьому оцінка буде найбільш ефективною (дисперсія оцінки буде найменшою), однак внаслідок малості оцінка буде характеризуватись найбільшою зміщеністю. Це може істотно спотворити графік оцінюваної функції. У міру збільшення ефективність оцінки буде падати, однак буде зменшуватися систематична помилка оцінки. На одержуваних графіках спектральної щільності при малих залежність буде плавною; усі піки, характерні для даної спектральної щільності, будуть згладжені. У міру росту тонка структура спектральної щільності буде поступово проявлятися, а при подальшому росту графік почне здобувати вид реалізації випадкової функції, поведінка якої не відображає характеру, а є наслідком неспроможності оцінки. Якщо загальна довжина реалізації випадкового процесу досить велика, то зазначений спосіб дозволяє підібрати «оптимальне» значення. Якщо мале, то ніяким вибором не можна одержати досить гарну оцінку спектральної щільності й необхідно збільшити обсяг дослідного матеріалу.

Формулу (54) можна перетворити так, щоб під знак інтеграла входила не оцінка кореляційної функції, а «періодограма». Для цієї мети вагова функція заміняється її перетворенням Фур'є, що має вигляд

(55)

оцінка кореляційної функції замінюється виразом через реалізацію випадкового процесу

(56)

яка відрізняється від (26) тільки тим, що інтервал усереднення взятий рівним, а не, і прийнято. Справедливість першого припущення визначається тим, що вагова функція обертається в нуль при. Друге припущення — про нульове математичне очікування приймається для спрощення перетворень.

Після виконання перетворень отримано наближений вираз для оцінки спектральної щільності

. (57)

Отже, для оцінки спектральної щільності є дві практично еквівалентні формули. Формула (54), у якій виражена через, і формула (57), у якій використовується зв’язок і. Для застосування цих формул необхідно вибрати вид вагової функції або перетворення Фур'є цієї функції. Залежно від того, яка вагова функція обрана, розглядаються різні види оцінок. Найбільш уживаними є наступні оцінки.

" Усічена оцінка"

(58)

. (59)

Видозмінена оцінка Бартлета

(60)

(61)

Оцінка Хемінга

(62)

. (63)

На підставі викладеного можна зробити висновок, що при з’ясуванні тонких властивостей спектральної щільності, для того, щоб використовувати всю інформацію, що міститься в реалізації випадкового процесу, доводиться застосовувати досить трудомісткі розрахунки. Тому в тих випадках, коли реалізація досить велика, а з’ясування тонкої структури спектральної щільності не є особливо важливим, з метою спрощення розрахунків іноді можна відмовитися від теоретично оптимальних методів обробки, прийнявши спрощену схему розрахунку.

У якості одного з таких способів одержання оцінки спектральної щільності можна вказати на пропущення реалізації випадкової функції через динамічну систему, яка має вузьку смугу пропущення. Цей метод фільтрації випадкової функції реалізується в такий спосіб.

Випробувана випадкова функція подається на вхід лінійної динамічної системи, з виходу якої знімається випадкова функція. Її властивості визначаються властивостями випадкової функції й властивостями динамічної системи.

Для знаходження спектральної щільності стаціонарного рішення лінійного диференціального рівняння, що відповідає динамічній системі, яка має передаточну функцію, досить помножити спектральну щільність стаціонарної функції, що надходить на вхід цієї системи, на квадрат модуля передаточної функції. У результаті маємо:

(64)

де — спектральні щільності випадкових процесів на вході й виході.

Припустимо тепер, що розглянута динамічна система має властивості вузькосмугового фільтра, тобто квадрат її передаточної функції має настільки різкий максимум у вузькій смузі частот, розташованої біля частоти, що можна вважати:

(65)

де — величина мала порівняно з областю, у якій спектральна щільність змінюється значно. У цьому випадку дисперсія випадкової функції може бути виражена приблизно через ординати спектральної щільності при. Дійсно, відповідно до загальної формули для дисперсії й формули (64) маємо:

. (66)

З огляду на співвідношення (65), інтегрування в (66) можна зробити тільки по вузькій смузі частот. Уважаючи, маємо:

. (67)

В отриманому виразі можна приблизно вважати постійною, рівною її ординаті в середній точці області інтегрування, і винести за знак інтеграла, після чого одержимо:

(68)

або, позначивши:

(69)

для визначення оцінки ординати спектральної щільності в точці будемо мати:

(70)

де постійна не залежить від властивостей досліджуваної випадкової функції й визначається тільки передатною функцією фільтра. Маючи у своєму розпорядженні набір фільтрів з різним положенням частоти пропущення, користуючись (70) можна визначити ординати оцінки спектральної щільності для різних значень її аргументу.

Помилка визначення ординат спектральної щільності розглянутим способом, крім наближеності, пов’язана з тим, що замість дисперсії випадкової функції, одержуваної на виході динамічної системи, використовується оцінка цієї величини, яка не вільна від випадкових помилок.

Перевагою даного способу визначення спектральної щільності полягає в тому, що для його здійснення досить виробляти визначення дисперсії випадкової функції на виході фільтра, що реалізується простіше, ніж визначення кореляційної функції. Недоліком цього способу є помилка, пов’язана із застосуванням формули (70) до реальних динамічних систем, які відрізняються від ідеальних вузькосмугових фільтрів.