Задачі, що приводять до послідовності Фібоначчі
Хтось помітив пару кроликів у певному місці, огородженому з усіх сторін стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів народжує не світ другу пару, а народжують кролики на другий місяць після свого народження. Нехай перша пара кроликів є новонародженою. Тоді на 2-ий місяць ми все ще матимемо тільки 1 пару… Читати ще >
Задачі, що приводять до послідовності Фібоначчі (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Послідовність, яку в наш час називають «послідовність Фібоначчі» була відома ще в Стародавній Індії. У 1202 році видатний італійський математик Леонардо із Пізи (більш відомий по прізвиську Фібоначчі) опублікував свою працю «Liber abac» («Книга абака»); до наших днів зберігся тільки доповнений рукопис 1228 року. Ця книга містить майже всі арифметичні й алгебраїчні відомості того часу, викладені з винятковою повнотою і глибиною. Одна із задач з «Книги абака» Леонардо Пізанського здобула особливу популярність у зв’язку з тим, що послідовність чисел, яка з’являється в результаті її розв’язування, має багато цікавих властивостей, а що найголовніше — неймовірним чином проявляється у найрізноманітніших областях як математики, так й інших наук. Свою нинішню назву «числа Фібоначчі» отримали завдяки дослідженню властивостей цих чисел Едуардом Лука в другій половині дев’ятнадцятого століття.
Розглянемо детально задачу з праці Леонардо із Пізи:
«Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться?».
Хтось помітив пару кроликів у певному місці, огородженому з усіх сторін стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів народжує не світ другу пару, а народжують кролики на другий місяць після свого народження. Нехай перша пара кроликів є новонародженою. Тоді на 2-ий місяць ми все ще матимемо тільки 1 пару. На 3-ій місяць ця пара дасть перше потомство і, отже, вже буде 2 пари. На четвертий місяць матимемо 2 + 1 = 3 пари (з двох наявних пар потомство дасть лише перша). На п’ятий місяць буде 3 + 2 = 5 пар, на шостий 5 + 3 = 8 (бо потомство дають тільки ті пари, які народилися не пізніше четвертого місяця). На сьомий 8 + 5 = 13. На дев`ятий 13 + 5 = 21. На десятий 21 + 13 = 34…і так можна робити до нескінченної кількості місяців". Вже не важко простежити деяку послідовність про яку і буде йти мова в даній роботі, але спершу розглянемо ще одну задачу:
Бджоли в природі розмножуються за певним законом: кожен самець з`являється на світ непарним шляхом від самки (яку також називають маткою), проте кожна самка має двох батьків — самця і самку. У трутня один дід і одна бабка, один прадід і дві прабабці, два прапрадіда і три прапрабабці, далі кількість родичів певного поверху родового дерева будимо наводити через кому в дужках, спочатку чоловічої статі, а потім жіночої: (3, 5), (5, 8), (8, 13)… і так далі будуть утворюватися пари із вже знайомих нам чисел з попередньої задачі. Перейдемо, нарешті, до самої послідовності:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,277,…u n.
Перші два члени послідовності задані u1 = 1, u 2 = 1, а наступні члени визначаються з рекурентного співвідношення:
u n = u n — 2 + u n — 1 для n > 2.
Як бачимо, послідовність і закон за яким вона визначається зовсім не складний, тому не дивно що послідовність Фібоначчі з’являється в попередніх двох задачах і в багатьох інших найрізноманітніших ситуаціях. З цього можна зробити сміливий висновок, що навіть без праці Фібоначчі математика рано чи пізно прийшла б до цієї дивовижної послідовності бо вона існує в природі не залежно від людини.