Приближенный метод рішення з дитинства інтегралів. 
Метод прямокутників (правих, середніх, левых)

Лабораторна робота № 4.

Наближений метод рішення интегралов.

Метод прямокутників (правих, середніх, левых).

Гребенникова Марина.

12-Ю класс Многие інженерні завдання, завдання фізики, геометрії і багатьох інших галузей людської діяльності призводять до необхідності вираховуватимуть певний інтеграл виду [pic]где f (x) -дана функція, безперервна на відрізку [a; b]. Якщо функція f (x) задана формулою і ми вміємо знайти невизначений інтеграл F (x), то певний інтеграл обчислюється за такою формулою НьютонаЛейбніца: [pic].

Если ж невизначений інтеграл даної функції ми знайти вміємо, чи з будь-якої причини ні скористатися формулою Ньютона-Лейбница чи якщо функція f (x) задана графічно чи таблицею, то тут для обчислення певного інтеграла застосовують наближені формули. Для наближеного обчислення інтеграла можна використовувати метод прямокутників (правих, лівих, середніх). При обчисленні інтеграла слід, який геометричний сенс певного інтеграла. Якщо f (x)>=0 на відрізку [a; b], то [pic]численно дорівнює площі постаті, обмеженою графіком функції y=f (x), відрізком осі абсцис, прямий x=a і прямий x=b (рис. 1.1) Таким чином, обчислення інтеграла рівносильне вирахування площі криволінійної трапеції. [pic].

Разделим відрізок [a; b] на n рівних частин, тобто. на n елементарних відрізків. Довжина кожного елементарного відрізка [pic]. Крапки розподілу будуть: x0=a; x1=a+h; x2=a+2*h, …, xn-1=a+(n-1)*h; xn=b. Числа y0, y1, y2, …, yn є ординатами точок графіка функції, відповідних абсциссам x0, x1, x2, …, xn (рис. 1.2). Будуємо прямокутники. Це можна зробити кількома способами:

Левые прямоуголики (зліва на право) Правые прямоугоники (побудова справа на лево).

[pic] Середні прямокутники (посередині) [pic].

Из рис. 1.2 слід, що загальна площа криволінійної трапеції наближено замінюється площею багатокутника, що складається з n прямокутників. Отже, обчислення певного інтеграла зводиться до пошуку суми n елементарних прямоугольников.

[pic] h=(b-a)/n -ширина прямоугольников Формула лівих прямокутників: [pic](1.3) Формула правих прямокутників: [pic](1.4) Формула середніх прямокутників. Sсредих= (Sправых + Sлевых) /2 [pic](1.5).

Программа обчислення [pic] методом лівих прямокутників. Program levii;{Метод лівих прямоугольников}.

uses crt;

var i, n: integer; a, b, h, x, xb, s: real;

function f (x:real):real;

begin f:=(1/x)*sin (3.14*x/2); end;

begin.

clrscr;

write («Запровадьте нижню межу інтегрування »); readln (a);

write («Запровадьте верхня межа інтегрування »); readln (b);

write («Запровадьте кількість відрізків »); readln (n);

h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;

for i:=0 to n-1 do.

begin x:=xb+i*h; s:=s+f (x)*h; end;

writeln («Інтеграл дорівнює «, s:12:10); readln;

end. a=1 b=2 n=10 P. S= 18,077 a=1 b=2 n=20 P. S= 18, 208 a=1 b=2 n=100 P. S= 18, 270.

Программа обчислення [pic] методом правих прямоугольников.

Program pravii; {Метод правих прямоугольников}.

uses crt;

var i, n: integer; a, b, h, x, xb, s: real;

function f (x:real):real;

begin f:=(1/x)*sin (3.14*x/2); end;

begin.

clrscr;

write («Запровадьте нижню межу інтегрування »); readln (a);

write («Запровадьте верхня межа інтегрування »); readln (b);

write («Запровадьте кількість відрізків »); readln (n);

h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;

for i:=1 to n do.

begin x:=xb+i*h; s:=s+f (x)*h; end;

writeln («Інтеграл дорівнює «, s:12:10); readln;

end. a=1 b=2 n=10 S=18,5 455 a=1 b=2 n=20 S=18,55 555 a=1 b=2 n=100 P. S= 18,2734.

Програма обчислення [pic] методом середніх прямоугольников.

Program srednii; {Метод середніх прямоугольников}.

uses crt;

var і, n: integer; a, b, dx, x, p. s, xb: real;

function f (x: real):real;

begin f:=(1/x)*sin (3.14*x/2); end;

begin.

clrscr;

write («Запровадьте нижню межу інтегрування »); readln (a);

write («Запровадьте верхня межа інтегрування »); readln (b);

write («Запровадьте кількість відрізків »); readln (n);

dx:=(b-a)/n; xb:=a+dx/2;

for i:=0 to n-1 do.

begin x:=xb+i*dx; s:=s+f (x)*dx; end;

write («Інтеграл дорівнює «, s:15:10); readln;

end.

a=1 b=2 n=10 S=18,7 667 a=1 b=2 n=20 S=18,368 a=1 b=2 n=100 P. S= 18,156.

Заключение

і выводы.

Отже очевидно, що з обчисленні певних з дитинства інтегралів методами прямокутників це не дає нам точного значення, лише приближенное.

Чим більший значення n, тим точніше значення интеграла.