Алгебраїчні числа

1. Запровадження 2 2. I. Короткий історичний нарис 3 3. II. Поле алгебраїчних чисел 4 4. 2.1. Поняття числового поля 4 5. 2.2. Алгебраїчне число 5 6. 2.3. Поле алгебраїчних чисел 11 7. III. Раціональні наближення алгебраїчних чисел 14 8. 3.1 Теорему Лиувиля 14 9. 3.2 Трансцендентні числа Лиувиля 16 10. Укладання 18.

Курсова по алгебре.

Тема: «Алгебраїчні числа».

Початкові елементи математики пов’язані з її появою навичок рахунки, що виникають у примітивною формі на порівняно ранніх щаблях розвитку людського суспільства, у процесі трудовий деятельности.

Історично теорія чисел виникла як безпосереднє розвиток арифметики. Нині в теорію чисел включають значно більше широке коло питань, виходять далеко за межі вивчення натуральних чисел. У теорії чисел розглядаються як натуральні числа, а й безліч всіх цілих чисел, а як і безліч раціональних чисел.

Коли дивитися на коріння багаточленів: f (x)=xn+a1xn-1+…+an з цілими коефіцієнтами, то звичайні цілі числа відповідають випадку, коли цей багаточлен має ступінь n=1. Існує безліч комплексних чисел природно виділити звані цілі алгебраїчні числа, які становлять коріння багаточленів з цілими коэффициентами.

Вивчення властивостей таких чисел становить на утримання однієї з найважливіших розділів сучасної теорії чисел, званого алгебраїчній теорією чисел. Вона пов’язані з вивченням різних класів алгебраїчних чисел.

I. Короткий історичний очерк.

Величезне значення у розвитку теорії чисел мали чудові роботи До. Гаусса (1777−1855). Гаусс поруч із вивченням звичайних чисел почав розглядати також і арифметику чисел, що дістали назву цілих гауссовских чисел, саме числа виду a+bi, де a і b — звичайні цілі числа. Ці дослідження поклали початку алгебраїчній теорії чисел.

Теорія алгебраїчних чисел було побудовано на роботах Куммера (1810- 1893) і Дирихле (1805−1859) і розвинена потім Кронекером (1823−1891), Дедекиндом (1831−1916) і Є.І. Золотаревым (1847−1878). Роботи Лиувилля (1809−1882) і Эрмита (1822−1901) стали основою трансцендентних чисел.

Питання апроксимації алгебраїчних чисел раціональними були істотно просунуті на початку А. Туэ, потім у 50-х роках в роботах До. Рота.

Останнім часом дедалі більша увага фахівців із теорії чисел приваблює алгебраїчна теорія чисел.

Тут слід назвати роботи Р. Хассе, Є. Гекке, особливо французького математика А. Вейля, результати якої було використано у багатьох теорико-числовых дослідженнях, як, наприклад Д. Берджессом в проблемі про найменшому квадратичном вычете.

До алгебраїчній теорії чисел належить і цікаві роботи радянського математика І.Р. Шафаревича, а як і роботи Б. М. Делонга з теорії кубічних форм.

II. Поле алгебраїчних чисел.

2.1 Поняття числового поля.

Природний й таке важливе підхід до виділення і вивченню саме тих чи інших множин чисел пов’язані з замкнутістю множин чисел щодо розв’язання тих чи інших действий.

Визначення 1: Ми говоримо, що якийсь безліч чисел М замкнуто щодо деякого дії, для будь-яких двох чисел їх М, котрим визначено результат даного дії з нього, число, є цей результат, завжди що належить М.

Пример:

1) N Безліч натуральних чисел замкнуто щодо складання, т.к.

(a, b (N (((a+b) (N.

Що стосується множення безліч N як і замкнуто. Але він перестав бути замкнутим щодо вирахування і деления.

Действительно:

5, 7 (N, але 5−7=-2 (N,.

3, 2(N, але 3:2=1,5 (N.

2) Безліч цілих чисел Z замкнуто щодо складання, вирахування і умножения.

3) Безліч чисел виду 2к, к (N, замкнуто щодо множення і деления.

2к (2l=2k+l.

2к:2l=2k-l.

У зв’язку з замкнутістю дій на безлічі виділилися класи числових множин. Розглянемо один їх класів, званих полем.

Визначення 2: Безліч чисел М, містять щонайменше двох чисел, називається числовим полем, коли вона замкнуто стосовно дій складання, вирахування, множення і деления.

Останнє означає, що з будь-яких a, b (M, повинно бути і a+b, ab, a*b (M. Також нічого для будь-якого a (M і жодного b (0 з М, мало виконуватися a: b (M.

Пример:

Серед найважливіших числових полів найважливішими являются:

1) полі всіх раціональних чисел;

2) полі всіх речовинних чисел;

3) полі всі комплексні чисел.

Що ж до безлічі всіх цілих чисел, воно перестав бути числовим полем, бо замкнуто щодо деления.

Існує нескінченно багато числових полів. Нас, у разі цікавить полі алгебраїчних чисел.

2.2 Визначення алгебраического числа.

Є різноманітні ознаки, за якими їх загального безлічі Z виділяю ті чи інші підмножини, подвергаемые спеціальному вивченню. З погляду важливого моменту алгебри поняття алгебраического рівняння, природним представляється виділення класів чисел, є корінням алгебраїчних рівнянь, коефіцієнти яких належать тому чи іншому класу чисел.

Визначення 3: Кількість Z називається алгебраїчним, коли вона є коренем якогось алгебраического рівняння з цілими коефіцієнтами: anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0.

(a0, a1, …, an (Z; an (0), тобто. виконується: anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0=0.

Числа які є алгебраїчними називаються трансцендентными.

У визначенні алгебраического числа можна припустити, щоб коефіцієнти a0, a1, …, an-1, an були будь-якими раціональними числами, оскільки, помноживши ліву праву частини рівняння на ціла кількість, є загальним кратним знаменником всіх коефіцієнтів, ми маємо рівняння з цілими коефіцієнтами, коренем якого «буде наше число.

До алгебраїчним числам належать, зокрема, і всі раціональні числа. Справді, раціональне число z=[pic] (p, q (N) очевидно є коренем рівняння: qx-p=0.

Також всяке значення кореня будь-якого рівня з раціонального числа є алгебраїчним числом. Справді, число z=[pic] (p, q (N) є коренем рівняння: qxn-p=0.

Є й інші алгебраїчні числа, ніж зазначена вище. Пример:

1) Чиcло z=[pic] є алгебраїчним. Справді, споруджуючи в квадрат обидві частини рівності, визначального число z, одержимо: z2=2+2[pic]+3. Звідси z2−5=[pic]. Споруджуючи в квадрат обидві частини цієї рівності, одержимо: z4−10z2+25=24. Звідси випливає, що кількість z є коренем наступного рівняння: x4−10×2+1=0.

2) Будь-яке число z=a+bi, яка має компоненти a і b — раціональні числа, є алгебраїчними. Доведемо это.

[pic], [pic] (p, q, [pic](N).

З рівності [pic], отримуємо: [pic]. Звідси, споруджуючи в квадрат, одержимо: [pic]. Отже, я є коренем уравнения:

[pic] все коефіцієнти якого цілі числа.

Надалі ми розглядати лише справжні алгебраїчні числа, не надавши цього кожен раз.

З f (x)=0 слід f (z)((x)=0, де серед ((x) можна взяти будь-який багаточлен з цілими коефіцієнтами. Отже нічого для будь-якого алгебраического числа z, із усіх цих багаточленів зазвичай розглядають багаточлен найменшої степени.

Визначення 4: Кількість n називається ступенем алгебраического числа z, якщо z є корінь деякого багаточлена n-ой ступеня з раціональними коефіцієнтами і немає тотожний не рівного нулю багаточлена з раціональними коефіцієнтами ступеня, меншою ніж n, коренем якого є z. Якщо корінь багаточлена n-ой ступеня з цілими раціональними коефіцієнтами z перестав бути коренем жодного тотожний нерівного нулю багаточлена з цілими коефіцієнтами ступеня меншою ніж n, то z може бути коренем і тотожний нерівного нулю багаточлена з раціональними коефіцієнтами ступеня меншою ніж n, тобто. z — алгебраїчне число ступеня n.

Раціональні числа є алгебраїчними числами першого ступеня. Будь-яка квадратическая ірраціональність є алгебраїчне число ІІ-го ступеня, оскільки, будучи коренем квадратичного рівняння з цілими коефіцієнтами, не є коренем будь-якого рівняння 1-го ступеня з цілими коефіцієнтами. Алгебраїчні числа III ступеня часто називають кубічними иррациональностями, а 4-го ступеня биквадратическими иррациональностями.

Пример:

1) [pic] - алгебраїчне число III ступеня, тобто. кубічна ірраціональність. Справді, їх кількість є корінь многочлена.

III ступеня з цілими коефіцієнтами x3−2=0 і [pic] перестав бути коренем будь-якого багаточлена 1-ї чи ІІ-го ступеня з цілими коэффициентами.

Визначення 5: Якщо алгебраїчне число енну кількість ступеня z є коренем багаточлена f (x)=xn+b1xn-1+ … +bn (n (1) (1) з раціональними коефіцієнтами, то f (x) називається мінімальним многочленом для z.

Отже, мінімальним многочленом для z називається багаточлен найменше з раціональними коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом, рівному одиниці, коренем якого є z.

Якщо замість багаточлена (1) взяти якась інша багаточлен з раціональними коефіцієнтами ступеня n, коренем якого є z, то багаточлен (1) можна отримати потім із нього розподілом всіх коефіцієнтів на старший член.

Пример:

1) Мінімальним многочленом для [pic] є x3−2, оскільки коріння цієї багаточлена [pic] перестав бути коренем будь-якого багаточлена ступеня з раціональними коэффициентами.

Теорему 1: Якщо f (x) мінімальний багаточлен алгебраического числа z і f (x) багаточлен з раціональними коефіцієнтами, такий, що F (z)=0, то f (x) дільник F (x), тобто. F (x)=f (x)g (x), де g (x) також багаточлен з раціональними коэффициентами.

Доказ: Відповідно до відомої теоремі алгебри F (x) можна в виде:

F (x)=f (x)g (x)+r (x) де g (x) і к (ч) — багаточлени з раціональними коефіцієнтами, причому ступінь r (x) менше ступеня f (x). Оскільки F (x)=0 і f (z)=0, то надаючи x значення z, отримуємо r (z)=0; z — корінь багаточлена r (x) з раціональними коефіцієнтами ступеня, меншою ніж в мінімального для z багаточлена, тобто. меншою ніж ступінь z. Це може лише якщо r (x) тотожний нульовий, отже F (x)=f (x)g (x). Теорему доказана.

Теорему 2: Для будь-якого алгебраического числа z мінімальний багаточлен неприводим над полем раціональних чисел.

Доказательство:

Нехай f (x) — мінімальний багаточлен для z. Припустимо, що f (x) наводимо над полем раціональних чисел, тобто., що f (x)=((x)((x),.

((x)((x) — багаточлени з раціональними коефіцієнтами, ступеня меншою, ніж n.

З рівності ((x)((x)=f (x)=0 слід, що з цих двох чисел ((x) і ((x), по крайнього заходу одне одно нулю. Нехай наприклад ((x)=0, тоді z — корінь тотожний не рівного нулю багаточлена ((x) з раціональними коефіцієнтами, ступеня меншою, ніж n, тобто. меншою ніж в f (x). І це суперечить з того що f (x) — мінімальний багаточлен для z. Припущення, що f (x) наводимо над полем раціональних чисел, виявилося неправильним, тобто. f (x) неприводим з цього полем. Теорему доказана.

Теорему 3: Якщо z корінь неприводимого над полем раціональних чисел багаточлена F (x) з раціональними коефіцієнтами ступеня n, то z — алгебраїчне число ступеня n.

Доказательство:

Означимо мінімальний багаточлен для z через f (x). Відповідно до теореми 1:

F (x)=f (x)g (x); де g (x) — багаточлен з раціональними коэффициентами.

Оскільки F (x) неприводим над полем раціональних чисел і f (x) відмінно від постійного, то g (x)=c, де з — раціонально. F (x)=cf (x), тобто. z — алгебраїчне число енну кількість ступеня. Теорему доказана.

Пример:

Нехай p — просте число.

[pic] незалежно від простому цілому a (a>1), не рівному p-ой ступеня іншого цілого, є алгебраїчне число ступеня p. Справді їх кількість є корінь неприводимого над полем раціональних чисел багаточлена. xp-a=0.

Якщо z — алгебраїчне число ступеня n і f (x) — мінімальний багаточлен для z, то ми все коріння z1, z2, … zn рівняння f (x)=0, які від z, називають сопряженным з z.

Одне з коренів збігаються з z, ставитимемо його за місце, тобто. z=z1.

2.3. Поле алгебраїчних чисел.

Теорему 4: Безліч всіх дійсних алгебраїчних чисел є полі, тобто. сума, різницю, твір і приватне двох алгебраїчних чисел (і ((для приватного при ((0) є алгебраїчними числами.

Доказательство:

1) Нехай (- корінь багаточлена f (x) ступеня n з цілими коефіцієнтами, коріння якого (1, (2, … ,(n, (і (- корінь багаточлена ((x) ступеня m з цілими коефіцієнтами, коріння которого.

(1, (2, … (m ((=(1). Розглянемо многочлен:

F (x)=[pic](x-((i+(i))=.

= (x-(1-(1) (x-(1-(2) … (x-(1-(m).

(x-(2-(1) (x-(2-(2) … (x-(2-(m).

— - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ;

(x-(n-(1) (x-(n-(2) … (x-(n-(m) (2).

Якщо цього творі зробити яку завгодно підстановку величин (1, (2, … ,(n, то деякі рядки переставляється місцями, але твір в цілому не зміниться. Це означає, що F (x) — симметрический багаточлен по відношенню (1, (2, … (m. У цілому нині F (x) — симметрический багаточлен від двох систем аргументів: (1, (2, … ,(n і (1, (2, … (m.

Відповідно до відомим теоремам про симетричних многочленах, коефіцієнти багаточлена F (x) можуть бути виражені раціонально через елементарні симметрические функції від (1, (2, … ,(n і (1, (2, … (m, тобто. через цілі коефіцієнти, f (x) і ((x). Це означає, що коефіцієнти F (x) раціональні, і, отже, число (+(=(1+(1, що є, як і безпосередньо це випливає з формули (2), коренем F (x), є алгебраїчне число.

2) Аби довести те, що твір двох алгебраїчних чисел (і (є алгебраїчне число, досить, аналогічна тій, як це було хіба що зроблено багаточлена (2), розглянути многочлен:

F (x)=[pic](x-(i (i) (3).

Цей багаточлен має у ролі однієї зі своїх коренів (1(1=((.

3) Нехай (- корінь багаточлена ((x)=b0xn+ b1xn-1+ … bn, (bi — цілі числа). Тоді -(є коренем багаточлена з цілими коэффициентами.

((-x)=(-1)nb0xn+(-1)n-1b1xn-1+ … bn, а при ((0 корінь багаточлена xn (([pic])=b0+b1x+ … bnxn. Отже, разом із (алгебраїчними числами є -(і [pic].

Різниця то, можливо представленій у вигляді (+(-(), тобто. як суми двох алгебраїчних чисел. При ((0 приватне [pic], будучи твором двох алгебраїчних чисел, є як і алгебраїчне число.

Якщо ступеня алгебраїчних чисел (і (рівні m і n, то, взявши у ролі f (x) і ((x) відповідні мінімальні багаточлени будемо в (2) і (3) мати багаточлени ступеня mn, і ((алгебраїчні числа ступеня, не більшої, ніж mn. Багаточлени ((x), ((-x), і xn[pic] однаковою мірою, а, отже, (, -(, [pic]- алгебраїчні числа одному й тому мірі, звідки слід, як і (-(і [pic] мають ступеня максимум, ніж mn. Теорему доказана.

Пример:

1) [pic] і [pic] алгебраїчні числа ІІ-го ступеня, а [pic] - алгебраїчне число 4 ступеня. Справді, якщо (=[pic], то (2=5+[pic], 24−10(2+1=0, тобто. (корінь багаточлена f (x)=x4−10×2+1 з цілими коефіцієнтами, і f (x)=(x-[pic])(x-[pic])(x+[pic])(x+[pic]) (4).

З теореми одиничності над полем раціональних чисел множники f (x) мають бути твором якихось множників правій частині рівності (4). Легко бачити, що з цих множників не можна скласти багаточлен з раціональними коефіцієнтами ступеня меншою, ніж 4, тобто. f (x) — неприводимый над полем раціональних чисел багаточлен, отже, відповідно до теоремі 3, [pic] - алгебраїчне число 4-й степени.

2) (=[pic] і (=[pic], як бачити, це алгебраїчні числа 6-ї ступеня, а твір ((=[pic] - алгебраїчне число 3-й степени.

III. Раціональні наближення алгебраїчних чисел.

3.1. Теорему Лиувилля.

Алгебраїчні числа що неспроможні мати занадто хороших раціональних наближень: похибка при заміні алгебраического числа раціональної дробом може бути досить низька усе своєю чергою тоді як величиною, зворотної знаменника раціональної дроби.

Для алгебраического числа 1-го ступеня існує стала c>0, така, що з будь-який раціональної дробу [pic], відмінній від (, буде виконуватися неравенство:

[pic] (5).

Для алгебраического числа ІІ-го ступеня можна підібрати c>0, таке, що для будь-який раціональної дробу, матиме місце неравенство:

[pic] (6).

У 1844 р., французьким математиком Лиувиллем, уперше було доведено загальна теорема:

Теорему 5: Для будь-якого дійсного алгебраического числа (ступеня n можна підібрати положительноеc, залежне тільки від (, таке, що з всіх раціональних чисел [pic] ([pic](() матиме місце неравенство:

[pic] (7).

Доказательство:

Нехай f (x)=A0xn+ A1xn-1+An неприводимый багаточлен з цілими коефіцієнтами, коренем якого є (. Як f (x) можна, наприклад, взяти багаточлен, получающийся з мінімального для (багаточлена після множення всіх коефіцієнтів на найменше кратну їх знаменателей.

Відповідно до теоремі Безу, маємо: f (x)=(x-()g (x), (8) де g (x) — багаточлен зі справжніми коэффициентами.

Візьмемо довільне (>0. |g (x)| - безперервна, отже, обмежена функція від x у сегменті ((-(; (+((, тобто. існує позитивне число M, таке, що |g (x)|(M, всім x від цього сегмента. Означимо через c=min [pic], отже [pic] і [pic].

Для довільного раціонального числа [pic] можуть представитися дві возможности:

1) [pic] лежить поза сегмента |(-((; (+((|, тоді [pic].

2) [pic] задовольняє неравенствам:

(-(([pic]((+(, тоді |g ([pic])|(M і, підставляючи в (8) замість x значення [pic], получаем:

[pic] (9).

Неприводимый над полем раціональних чисел багаточлен f (x) ступеня n (2 немає раціональних коренів, а при n=1 немає коренів, відмінних (, так що: f ([pic])=[pic].

Оскільки чисельник [pic] - ціле ненегативне, не на нуля, тобто. число більше чи однакову 1, то [pic] (10). Порівнюючи нерівності (9) і (10) отримуємо [pic], тож і у разі маємо: [pic]. Теорему доказана.

Пример:

Нехай z — неквадратное ціла кількість. Знайти c>0, таке, що з всіх раціональних чисел [pic] була б можливою неравенство:

[pic].

[pic] - корінь багаточлена x (-В. Ділячи x2-D на x-[pic], знаходимо g (x)=x+[pic].

При [pic]-(0 такі, що з будь-який дробу [pic] було б [pic], але це суперечить з того що має місце (11). Припущення, що (алгебраїчне число, тобто. трансцендентне число. Теорему доказана.

Числа (, котрим за будь-яких n (1 і c>0 нерівність (11) має рішення, у цілих числах a і b називаються трансцендентними числами Лиувилля.

Пример:

1) [pic] a — трансцендентне число.

Візьмемо довільні справжні n (1 і c>0. Нехай [pic], де k вибрано настільки великим, що [pic] і k (n, тоді [pic].

Коли щодо довільних n (1 і c>0 можна знайти дріб [pic] таку, що [pic], то (- трансцендентне число.

Заключение

.

Алгебраїчні числа мають широке використання у теорії чисел, алгебрі, геометрії та інших розділів математики. Вони дозволяють розкрити варіантності алгебри для практичних додатків. Це має значення в підготовці вчителя для середньої школы.

Вивчення властивостей таких чисел становить на утримання однієї з найважливіших розділів сучасної теорії чисел, званого алгебраїчній теорією чисел.

До цього поділу ставляться питання, пов’язані вивчення різних класів алгебраїчних чисел.

Ця робота може бути як навчального посібника щодо теорії алгебраїчних чисел. Однак вона зручна використання при підготовки до экзамену.

Діяльність введена суцільна нумерація теорем і визначень арабськими цифрами. Усі теореми дано з повними доказами. Наведені приклади алгебраїчних чисел і безкомпромісність дій з них, дано з доступними поясненнями і, за необхідності, з доказательством.

Велике місце у роботі займають теоретичні інформацію про розвитку алгебри теорії чисел. Крім запровадження, що дає загальний нарис розвитку теорії чисел, перший параграф присвячений вже конкретно розвитку теорії алгебраїчних чисел. Також протягом усього роботи можна спостерігати історичні комментарии.

Ця робота дає чітке уявлення про сучасний стан аналізованого питання й дає чітке уявлення про теорії алгебраїчних чисел і теорії чисел взагалі, як «про що розвивається науке.