Геометрические побудови на місцевості

Геометрические побудови на місцевості

Исполнитель: учениця 8 класу Корепанова Наталя Владимировна Министерство загального користування та професійної освіти Свердловській області МОУО р. Єкатеринбурга.

Образовательное установа — гімназія № 47.

г. Єкатеринбург, 2000 г.

Введение

В школі ми досить докладно вивчаємо геометричні побудови з допомогою циркуля і лінійки і вирішуємо багато завдань. Але як вирішити таку ж завдання на місцевості? Адже неможливо уявити таке величезне циркуль, який міг би окреслити окружність шкільного стадіону чи лінійку для розмітки доріжок парку.

На практиці картографам упорядкування карт, геодезистам у тому, щоб розмічати ділянки на місцевості, наприклад, на закладку фундаменту вдома, доводиться використовувати спеціальні методы.

Цель справжнього реферату — вивчення деяких методів рішення геометричних завдань на місцевості. З іншого боку, мріючи у майбутньому працювати у області конструювання, я поставила додаткову завдання — освоїти прийоми конструювання на комп’ютері. І тому я вивчаю багато програм — текстовий редактор Word, графічний редактор PhotoShop, редактор Web-страниц FrontPage і др.

Реферат доповідався на районної науково-практичній конференції школярів р. Єкатеринбурга, що проходила 12 лютого 2000 р. в Уральському державному технічному університеті (секція математика, 7 — 8 класи) і підприємців посів третє место.

Построения на місцевості

Знание геометрії й уміння застосовувати ці знання практично корисно у будь-якій професії. Традиційно побудови на місцевості виробляють геодезисти для зйомки плану земельної ділянки й будівельники на закладку фундаментів. Проте, такі знання бувають частенько потрібні та інших областях діяльності. Всесвітньо Флобер Артур Конан Дойль був лікарем. Але він дуже добре, певне, знав геометрію. У оповіданні «Обряд вдома Месгрейвов» він описав, як Шерлоку Холмсу потрібно було збагнути, де кінець тіні від в’язу, який зрубали. Він знав висоту цього дерева раніше. Шерлок Холмс так пояснив свої дії: «…я пов’язав разом два вудилища, що було мені шість футів, і ми з моєю клієнтом рушили до того місця, де колись ріс в’яз. Я застромив свій жердина в землю, зазначив напрям тіні й боротися поміряв її. У ньому було дев’ять футів.

Дальнейшие мої обчислення були вже зовсім нескладні. Якщо палиця заввишки шість футів відкидає тінь о дев’ятій футів, то дерево заввишки шістдесят чотири фути відкине тінь в дев’яносто шість футів, і напрям тієї слабкої й інший, зрозуміло, буде совпадать".

Можно подумати, робота на місцевості нічим істотно не відрізняється з посади циркулем і лінійкою на звичайної папері. Але тут інше. На місцевості відстані між точками досить великі й немає таких лінійок і циркулей, які б допомогти нам. Та й взагалі креслити землі будь-які лінії важко. Таким чином, побудови на місцевості, виходячи з геометричних законах, мають свою специфику:

Во — перших, все прямі не проводяться землі, а прокладаються, т. е. відзначається ними, наприклад, кілочками, досить густа мережу точок. Зазвичай прокладку прямих на місцевості називають провешиванием прямих.

Во — других, забороняється при побудовах проводити какие-либо дуги. Тому, циркуля ми фактично немає. Усі, що залишається від циркуля — це можливість відкладати на даних (прокладених) прямих конкретні відстані, що їх задано не чисельно, і з допомогою двох точок, вже позначених кілочками, десь на місцевості. Самі відстані будуть вимірюватися кроками, ступнями, пальцями рук, чи будь-якими підходящими цієї мети предметами.

При геодезичних роботах використовуються спеціальні кілочки довжиною 15−20 див і діаметром 2−3 див, в торець яких забиваються гвоздики ще точного позначення кінців отмеряемого відрізка, і віхи — дерев’яні загострені жердини довжиною 1,5−2 метрів і діаметром 2−4 див.

Как правило, ділянки місцевості є не ідеально рівну поверхню, як зошитовий лист, землі є вивищення і поглиблення. Щоб де вони спотворювали геометричні образи прокладываемых ліній, на місцевості будують не похилі відтинки, які ортогональные проекції на горизонтальну площину — горизонтальні прокладання. Їх можна визначити, знаючи кут нахил — кут, освічений лінією місцевості і його проекцією на горизонтальну площину. Ці кути вимірюються спеціальними приладами эклиметрами.

Поскольку в теперішньому рефераті ставиться не завдання вивчення основ геодезії, а застосування знань по геометрії до вирішення практичних завдань, не будемо користуватися ніякими приладами — ні рулеткою, ні астролябією, ні экером, ні теодолітом. Працювати так, звісно, важко, та все ж спробуємо вирішити запропоновані нижче завдання лише за допомогою кілочок чи віх і неотградуированного вимірювального устрою, наприклад, мотузки, хоча принципово можна обійтися без неї.

Решение завдань

Задача 1. Прокласти пряму.

На місцевості кілочками є такі дві вилучені друг від друга точки. Як прокласти них пряму і зокрема, як і без помічника встановлювати кілочки на прямий між даними точками?

Решение!

Пользуясь зоровим ефектом, які перебувають в загораживание двох кілочків третім, хто стоїть на спільної з ними прямий, неважко встановити ще одне кілочок у певній точці З на продовженні відрізка з кінцями у двох даних точках Проте й У. після цього точки відрізка АВ можна побудувати з допомогою тієї самої ефекту, оскільки вони лежати на продовженні або відрізка АС, або ЗС (залежно від цього, яка з точок — А чи У — перебувають ближче до точки З). Взагалі, будь-яка точка прямий АВ буде лежати на продовженні хоча самого з відрізків АВ, АС чи ЗС.

.

Задача 2. Крапка перетину прямих.

На місцевості кілочками є такі дві точки одній прямій і ще дві точки інший прямий. Як знайти точку перетину цих прямых?

Решение!

Пользуясь зоровим ефектом, зазначених у виконанні завдання 1, легко знайти точку перетину прямих у разі, якщо одразу ж ясно, що вона лежить продовженнях обох відрізків з кінцями у цих точках. Інакше досить спочатку прокласти одну чи обидві прямі те щоб з кожної їх із одного боку від гаданої точки перетину було виявлено по дві точки.

.

Задача 3. Симетрія щодо точки.

На місцевості є такі точки Проте й У. Знайдіть точку З, симметричную точці Що ж до точки У.

Решение!

Продолжим пряму АВ за точку У і відкладемо у ньому точку З з відривом АВ від точки У. Для цього доведеться виміряти в підхожих одиницях довжини відстань між точками Проте й У.

.

Задача 4. Паралельна пряма.

На місцевості є такі три дані точки: А, У і З, не що лежать в одній прямий. Через точку, А прокладете пряму, паралельну прямий ВС.

Решение!

Продолжим пряму АВ за точку У і відкладемо у ньому точку D з відривом АВ від точки У. Продовжимо пряму СD за точку З повагою та відкладемо у ньому точку Є з відривом СD від точки З. Тоді відрізок АЕ буде параллелен відтинку ЗС, що є середньої лінією трикутника АDЕ. Зауважимо, що запропонований спосіб вигідно відрізняється від багатьох інших засобів, які спираються вимір кутів чи розподіл відрізка навпіл.

.

Задача 5. Перебування середини відрізка.

Найдите середину відрізка АВ, заданого на місцевості двома точками Проте й В.

Решение!

Возьмём якусь точку З, не що лежить на прямий АВ. Продовжимо пряму CВ за точку З повагою та відкладемо у ньому точку D з відривом 2ВС від точки З. Продовжимо пряму АD за точку Проте й відкладемо у ньому точку Є з відривом АD від точки А. Бажана середина F відрізка АВ лежить його перетині з прямий ЄС. Справді, відрізок РЄ параллелен відтинку AG — середньої лінії трикутника CDE (тут G — середина відрізка CD). Оскільки, ще, BC = CG, то CF — середня лінія трикутника ABG, звідки AF = FB.

.

Задача 6. Розподіл відрізка у плані.

Отрезок, поставлене на місцевості двома точками Проте й У, потрібно розділити щодо, в якому розташовані довжини двох відрізків KL і MN, заданих на місцевості точками K, L і M, N. Як це?

.

Решение!

Построение точки F, делящей відрізок АВ щодо AF: BF =KL: MN, произведём аналогічно побудові середини відрізка АВ, описаного у вирішенні завдання 5. Відмінність полягатиме в тому, що точку З виберемо з відривом KL від точки У, а точку D — з відривом 2MN від точки З. І тут пряма EC продовжуватиме паралельна відтинку AG, отже, розділить відрізок АВ у тому відношенні, у якому вона ділить відрізок BG.

Задача 7. Побудова биссектрисы кута.

На місцевості є такі трикрапку A, M і N, не що лежать в одній прямий. Прокладіть бісектрису кута MAN.

Решение!

Выберем на боці даного кута точки У і З, але в інший — точки D та О те щоб виконувалися рівності.

AB = BC = AD = DE.

Найдём точку Про перетину прямих ВЕ і CD. Тоді пряма АТ буде шуканої биссектрисой, що у равнобедренном трикутнику ACE бісектриса AF є це й медианой, отже, проходить через точку Про перетину медиан EB і CD.

.

Задача 8. Побудова перпендикуляра до прямий.

Проложите на місцевості якусь пряму, перпендикулярну прямий, що проходить через задані точки Проте й У. Як прокласти перпендикуляр до прямий АВ, що проходить через цю точку H?

Решение!

Продолжим пряму АВ за точку У і відкладемо у ньому точку З з відривом АВ від точки У. З іншого боку, відкладемо тому ж відстані від точки У ще дві точки D і E у різних, але з протилежних напрямах. Знайдемо точку F перетину прямих AE і CD, і навіть точку G перетину прямих AD і CE. Пряма FG перпендикулярна прямий АВ. Справді, точка А, Е, D і З рівновіддалені від точки У, тобто. лежать в одній окружності з центром У і діаметром АС. Отже, вписані кути ADC і AEC прямі, тому AD і CE — висоти трикутника AFC. Оскільки три висоти цього трикутника перетинаються лише у точці G, то пряма FG перпендикулярна боці АС. Щоб прокласти перпендикуляр до прямий АВ через цю точку H, досить тепер прокласти цю точку пряму, паралельну прямий FG.

.

Задача 9. Побудови під заданим кутом.

На місцевості є такі точки Проте й У. Знайдіть точки З, D і E, котрим виконані рівності BAC=45°, BAD=6O,° BAE=3O°.

Решение!

Проложим перпендикуляр до прямий АВ, перетинав в какой-то точці промінь АВ. Без обмеження спільності вважаємо для зручності, що цю крапку перетину це і є точка У. На перпендикуляре з різних боків від точки У відкласти точки З повагою та F, вилучені від точки У на відстань АВ. Тоді кут ВАС дорівнює 45° (з рівнобедреного прямокутного трикутника АВС). На прямий AF відкладемо точку G з відривом АВ від точки А, та був на прямий ЗС відкладемо точку D з відривом CG від точки У. Тоді кут ВАD дорівнює 6О°, оскільки за теоремі Піфагора для прямокутного трикутників АВС, ACG і ABD мають місце равенства.

.

Для побудови точки Є тепер залишається прокласти бісектрису кута BAD.

.

Задача 10. Вимірювання висоти дерева.

Высоту дерев можна визначити з допомогою жердини. Такий спосіб ось у чому.

Запасшись шостому вищий за свого зростання, застроміть їх у землю прямовисно на деякій відстані від вимірюваного дерева. Відійдіть від жердини тому за продовження Dd доти місця, А якого, коли бачиш вершину дерева, ви не побачите в одній лінії із нею верхню точку b жердини. Потім, не змінюючи становища голови, дивіться в напрямі горизонтальній прямий aC, помічаючи точки сек. і З, у яких промінь зору зустрічає жердина і стовбур. Попросіть помічника зробити на в цих місцях позначки, та нагляд закінчено. Залишається тільки виходячи з подоби трикутників adc і aBC обчислити ЗС з пропорції.

ВС: bc = aC: ас, Расстояния bc, aC легко виміряти безпосередньо. До отриманої величині ЗС треба додати відстань CD (яка також вимірюється безпосередньо), щоб отримати потрібну висоту дерева.

.

Заключение

В теперішньому рефераті розглянуті найактуальніші завдання, пов’язані з геометричними побудовами на місцевості - провешиванием прямих, розподілом відрізків і кутів, виміром висоти предмета. Наведемо дуже багато завдань і дано їх рішення. Наведені завдання мають значний практичний інтерес, закріплюють отримані знання з геометрії і може використовуватися для практичних робіт. Цінно те що розв’язання непотрібен знань великих, ніж у обсязі 8 класів.

Кроме того, при роботі над рефератом освоєно текстовий редактор Word, графічний редактор PhotoShop, редактор Webсторінок FrontPage.

Таким чином, мета реферату — вивчення методів геометричних побудов на місцевості - досягнуто, завдання реферату — ознайомитися з конструюванням за комп’ютером і вивчити редактори, застосовувані при цьому — виконані.

Список літератури

1. Сергєєв І.Н., Олехник С., Гашков С. Б. «Застосуй математику», М., Наука, 1989.

2. Балк М. Б., Балк Г. Д. «Математика після уроків», М., Просвітництво, 1971.

3. Четверухін Н.Ф. «Методи геометричних побудов», М., Учпедгиз, 1952.

4. Косякин О. С., Нікулін О.С., Смирнов О. С. «Землевпорядні роботи», М., Надра, 1988.