Визначені та невласні інтеграли

Реферат на тему:

Визначені та невласні інтеграли.

Визначений інтеграл є одним із основних понять математичного аналізу і широко використовується в різних галузях науки, техніки та в економічних дослідженнях.

1. Означення та властивості визначеного інтеграла.

1.1. Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла Розглянемо дві задачі — геометричну та фізичну.

0 для усіх x є [а, А].

Фігуру, обмежену кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х, прямими х = а та х = b, називають криволінійною трапецією (дивись Малюнок 1). В окремих випадках може f (а) = 0 або f (b) = 0 і тоді відповідна сторона трапеції стягується в точку.

Для обчислення площі S цієї криволінійної трапеції поділимо відрізок [а, b] довільним чином на n частин точками, а = х0 < x1 < х2 < … < xk < … < хn = b.

Довжини цих частин.

Сума площ усіх таких прямокутників буде дорівнювати.

Таким чином, площа S криволінійної трапеції наближено дорівнює цій сумі, тобто.

.

Тоді.

(1).

2. Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай потрібно визначити шлях S, який пройшла матеріальна точка, що рухається в одному напрямі із змінною швидкістю V (t) за час від t0 до T.

Поділимо проміжок часу T-t0 на n частин: x0394t1, x0394t2,…, x0394tn.

.

а за час T — t0 вона пройде шлях.

Будемо вважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено дорівнює цій сумі. Коли x0394tkx21920, тоді змінна швидкість на проміжку x0394tk мало відрізняється від постійної Vk. Тому дійсне значення шляху, пройденого точкою за час T — t0 буде дорівнювати границі цієї суми при max x0394tkx2192 0, тобто.

(2).

До аналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що направлена по прямій лінії — траєкторії руху точки, до якої прикладена ця сила та інші задачі.

1.2. Означення визначеного інтеграла та його зміст Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб «ємо цей відрізок на n частин точками ділення, а = х0 < x1 < x2 < … < хn = b.

.

яку називають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а, b].

то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f (х) на відрізку [а, b] і позначається.

Математично це означення можна записати так:

(3).

Відмітимо, що числа, а та b називають нижньою та верхньою межами, відповідно.

Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна записати у вигляді.

(4).

тобто площа криволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою із змінною швидкістю V = f (t) виражаються визначеним інтегралом. Перевірка існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують таку відому теорему.

Теорема 1. Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].

1.3. Основні властивості визначеного інтеграла.

Із означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граниш випливають слідуючі властивості.

1 Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто якщо, А — стала, то.

2 Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку, тобто.

3 Якщо поміняти місцями межи інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний, тобто.

4 Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто.

для будь-якої функції f (х).

6 Якщо m та M — найбільше та найменше значення функції f (х) на відрізку [a, b], то.

1.4. Обчислення визначених інтегралів Раніше ми навчились знаходити невизначені інтеграли. Тому для обчислення визначених інтегралів доцільно встановити зв «язок між ними.

2.1. Зв «язок між визначеним та невизначеним інтегралами Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають інтегралом із змінною верхньою межею.

Щоб мати звичне позначення, змінну верхню межу позначимо через х, а змінну інтегрування — t. Одержимо інтеграл.

Теорема 2. Якщо f (х) неперервна функція, то похідна визначеного інтеграла від неперервної функції по змінній верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї верхньої межі, тобто.

(5).

Доведення. Надамо аргументу х приріст x0394х, тоді функція Ф (х) одержить приріст, який згідно з властивістю 8 визначеного інтеграла можна записати у вигляді.

До останнього інтеграла застосуємо властивість 7, тоді.

Згідно з означенням похідної маємо.

що й треба було довести.

Теорема 3. Визначений інтеграл від неперервної функції дорівнює різниці значень будь-якої її первісної для верхньої та нижньої меж інтегрування, тобто якщо F (x) є первісна функції f (х), то має місце рівність ь.

(6).

яка називається формулою Ньютона-Лейбніца.

також первісна для f (х). Але дві первісні функції f (х) відрізняються лише на постійний доданок С. Тому.

(7).

Ця рівність (7) при відповідному обранні С буде тотожністю, тобто має місце для усіх х.

Для визначення С візьмемо у формулі (7) х = а. Тоді.

Отже,.

Якщо у цій рівності покласти х = b, то одержимо.

Змінюючи змінну інтегрування t на х, одержимо формулу (6), що й треба було довести.

позначають часто так:

Тому формулу Ньютона-Лейбніца (6) можна записати у вигляді.

.

Розв’язування.

2.2. Інтегрування частинами Якщо проінтегрувати обидві частини рівності.

d[u (x) · v (x)] = v (x)du (x) + u (x)dv (x).

в межах від, а до b, то одержимо.

Звідси одержуємо важливу формулу інтегрування частинами визначеного інтеграла.

(8).

xcosxdx.

(взята первісна без сталої С). Застосовуючи до заданого інтеграла формулу (8), одержимо.

2.3. Заміна змінної у визначеному інтегралі.

ss].

(ss) = b;

ss], тоді має місце рівність.

(9).

(t)]. Застосовуючи правило диференціювання складної функції, одержимо.

(ss) = b, одержуємо.

що й треба було довести.

.

Отже,.

2.4. Методи наближеного обчислення Для деяких неперервних надінтегральних функцій f (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе.

Крім того, у практичній діяльності часто досить знати лише наближене значення визначеного інтеграла і знаходити це наближене значення такими методами, які дозволяють використовувати сучасну обчислювальну техніку.

Тому математики багатьох країн розробляють ефективні методи наближеного обчислення визначеного інтеграла.

Найбільш часто використовують три методи — метод прямокутників, метод трапецій та метод парабол (метод Сімпсона).

визначений інтеграл можна обчислити за формулою.

(10).

і права частина (10) буде давати більш точне значення інтеграла.

Якщо поділити відрізок інтегрування точками ділення, а = х0 < x1 < х2 < … < хk < … < хn-1 < хk = b.

i позначити значення функції в точках ділення f (хk), тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою.

(11).

зменшується, тому значення інтеграла буде більш точним.

х· k — точки ділення, k = 0, 1, …, 2m, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою.

(12).

яку називають формулою Сімпсона. Ця формула дає більш точне значення визначеного інтеграла тому, що для її доведення використовується метод парабол, за яким на кожному відрізку [xk-1, xk] три значення функції f (х) входять до інтегральної суми.

4. Застосування визначених інтегралів.

4.1. Обчислення площ.

0, то згідно з формулою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1, можна знайти за формулою.

0. Але площа є невід «ємною величиною, тому площу криволінійної трапеції, розташованої нижче осі 0х, треба знаходити за формулою.

0).

0 та від «ємним там, де f (х)<0. Інтеграл по відрізку [а, b] дає різницю площ, що лежать вище та нижче осі 0х (дивись Малюнок 2).

Щоб одержати суму площ (без врахування розташування відносно осі 0х) треба знайти суму абсолютних величин інтегралів по часткових.

Мал. 2.

відрізках або обчислити інтеграл від абсолютного значення функції, тобто.

Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом.

Розв «язування. Із аналітичної геометрії відомо, що цей еліпс має вигляд такий, як на Малюнку 3.

Шукана площа S дорівнює 4S1, де S1 — площа заштрихованої частини еліпса, що розташована у першому квадранті. Отже,.

Із рівняння еліпса знаходимо у:

Мал. 3.

і ми одержуємо.

(1).

Заміна x = sin t дає: dx = cost · dt; t = arcsin x,.

.

Отже,.

(квадратних одиниць).

f2(х) її можна знайти за формулою.

(14).

Мал. 4.

Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями.

Розв «язування. Спочатку зобразимо фігуру, площу якої треба знайти (Мал. 5). Знайдемо точку перетину цих парабол. Координати точок перетину задовольняють обом рівнянням, тому.

Мал. 5.

Отже, площа заштрихованої фігури буде.

(квадратних одиниць).

4.2. Обчислення довжини дуги кривої.

Нехай крива на площині має рівняння у = f (х). Треба знайти довжину дуги AB цієї кривої, обмежену прямими х = а та х = b (дивись малюнок 6).

Візьмемо на AB точки А, М1, М2, …, Мn-1, В з абсцисами a, х1, х2, …, хn-1, b, відповідно, та проведемо хорди.

AM1,M1M2,…, Mk-1,Mk,…, Mn-1B,.

довжини яких позначимо.

Одержимо ламану лінію, вписану в дугу AB. Довжиною ламаної буде.

Мал. 6.

Означення 1. Довжиною l дуги АВ називають границю, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина її найбільшої частини прямує до нуля, тобто.

Теорема 1. Якщо на відрізку [а, b] функція f (х) та її похідна f «(x) неперервні, то довжина дуги кривої у = f (х), обмеженої прямими х = а та х = b, обчислюється за формулою.

Доведення. Із Малюнка 6 бачимо, що за теоремою Піфагора.

Згідно з теоремою Лагранжа маємо:

і довжина вписаної ламаної буде.

також неперервна, а це означає, що існує скінченна границя.

що й треба було довести.

то її довжину знаходять за формулою.

4.3. Обчислення об «єму та площі поверхні тіла обертання Нехай криволінійна трапеція, обмежена кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х та прямими х = a та x = b обертається навколо осі 0х (Мал. 7). Тоді об «єм тіла обертання можна знайти за формулою.

(17).

а площу поверхні обертання за формулою.

(18).

Приклад 3. Обчислити об «єм кулі радіуса R.

Мал. 7.

0, навколо осі 0х.

симетричність кола відносно осі 0у та формулу (17), одержимо об «єм V кулі.

(кубічних одиниць).

мал. 1.