Зв'язування параметрів кривих ліній і поверхонь геометричними умовами

В задачах інтерполяції параметри кривих ліній і поверхонь зв’язуються геометричними умовами, основними з яких є:

• а) проходження кривої через задану точку;
• б) дотик кривої до заданої дотичної;
• в) проходження поверхні через задану точку;
• г) дотик поверхні до заданої дотичної площини.

Такі умови називаються умовами відношення геометричних фігур. За заданими умовами інтерполяції можна обрати безліч функцій (інтерполянтів), які задовольняють ці умови, але завжди обирають найпростішу функцію, яка відповідає таким самим вимогам, як і при інтерполяції точок на площині, зокрема, параметричне число інтерполянта повинно відповідати числу параметрів вихідних умов.

Кожна умова відношення двох фігур аналітично описується певним числом рівнянь, яке дорівнює числу параметрів першої, або другої фігури, які потрібно витратити на виконання умови. Наприклад, виконання умови проходження кривої через задану точку потребує такого самого числа параметрів кривої, як і число параметрів точки при виконанні умови належності точки заданій кривій. Тобто при підрахунку числа параметрів, що потрібно витратити на виконання будь-якої умови відношення не має значення, яка з двох фігур є заданою, а яка повинна знаходитись у заданому відношенні до першої.

Підрахуємо число параметрів, що витрачаються на умову взаємної належності точки і кривої. Тривимірний простір містить трипараметричну множину точок, а крива лінія (так само як і пряма) — однопараметричну множину точок. Тому виконання умови проходження кривої через задану точку потребує витрати двох параметрів кривої.

Умова дотику прямої і кривої ліній потребує трьох параметрів, оскільки простір містить чотирипараметричну множину прямих, а множина дотичних до довільної кривої складає однопараметричну множину (у кожній точці кривої в загальному випадку можна провести одну дотичну, а крива містить однопараметричну множину точок).

Умова проходження поверхні через задану точку потребує одного параметра, оскільки тривимірний простір містить трипараметричну множину точок, а поверхня — двопараметричну.

Умова дотику нерозгортної поверхні до заданої дотичної площини потребує одного параметра, оскільки тривимірний простір містить трипараметричну множину площин, а всі дотичні площини до нерозгортної поверхні складають двопараметричну множину (таку саму, як множина точок на поверхні).

Умови дотику розгортної поверхні до заданої дотичної площини потребує двох параметрів, оскільки з трипараметричної множини площин у просторі дотичні до розгортної поверхні складають однопараметричну множину (за множиною прямолінійних твірних поверхні) [5, 6, 7,].