Системи координат (декартова, полярна, циліндрична, сферична). Довжина і координати вектора. 
Векторний простір

Системи координат (декартова, полярна, циліндрична, сферична). Довжина і координати вектора. Векторний простір

.

.

План Базис.

Лінійна залежність і незалежність векторів.

Декартова система координат.

Довжина і координати вектора.

Поділ відрізка в заданому відношенні.

Полярна система координат.

Циліндрична система координат.

Сферична система координат.

Заміна системи координат.

1. Базис Довільна впорядкована (взята в певному порядку) трійка некомпланарних векторів називається базисом простору.

Базисом на площині називаються два неколінеарних вектори, взяті в певному порядку.

Базисом на прямій називається довільний ненульовий вектор на цій прямій.

Ніякі два вектори базису в просторі неколінеарні, оскільки в противному випадку всі три були б компланарні. Так само вектори базису на площині ненульові (якщо хоча б один із них був нульовий, то вони були б колінеарні).

Якщо деякий вектор представити як лінійну комбінацію інших векторів, то говорять, що він розкладений за цими векторами.

Означення. Якщо .

Із шкільного курсу математики відомі такі твердження:

Кожний вектор, що паралельний деякій прямій, може бути розкладений за базисом на цій прямій.

Кожний вектор, що паралельний деякій площині, може бути розкладений за базисом на цій площині.

Кожний вектор може бути розкладений за базисом в просторі.

Координати вектора в кожному випадку визначаються однозначно.

Очевидно також, що рівні вектори мають однакові координати.

При множенні вектора на число його координати множаться на це число.

Дійсно, якщо .

.

.

.

В противному випадку вектори .

Якщо серед векторів .

.

І, навпаки, нехай один із векторів, наприклад .

Звідси безпосередньо видно, що лінійна комбінація векторів.

.

Означення. Декартовою системою координат в просторі називається сукупність точки і базису.

Точка носить назву початку координат; прямі, що проходять через початок координат в напрямку базисних векторів, називаються осями координат. Перша — віссю абсцис, друга — віссю ординат, третя — віссю аплікат. Площини, що проходять через осі координат, називаються координатними площинами.

Означення. Координати радіус-вектора точки .

Перша координата називається абсцисою, друга — ординатою, третя — аплікатою.

Детальніше про метод координат можна ознайомитися в п. 3.1.

Означення. Базис називається ортонормованим, якщо його вектори одиничні (довжина кожного дорівнює одиниці) і попарно перпендикулярні. Декартова система координат, базис в якої ортонормований, називається прямокутною декартовою системою координат (ПДСК). В цьому випадку, як правило, вектори базису позначають .

.

Вектори .

.

Тому.

.

.

.

.

Нехай .

Тоді .

.

Рис. 2.7.

Нехай координати точки .

.

Отже, координати точки .

.

Положення точки .

На рис. 2.8 полярна система координат .

.

Рис. 2.8 системи збігається з початком координат прямокутної.

Точці .

.

.

.

Тут кожному конкретному .

Кожному сталому .

Циліндрична система часто використовується у багатьох задачах математики, зокрема — в інтегральному численні.

7. Сферичні координати Сферичними координатами є .

.

Рис. 2.9 Рис. 2.10.

Кожному конкретному .

.

Інші співвідношення доводяться аналогічно.

9. Зміна системи координат Розглянемо дві декартові системи координат: стару .

.

В матриці переходу стовпці - це координати нових базисних векторів.

.

Радіус-вектори точки .

.

.

Рівності .

.

.

В розкладі .

одержимо.

.