О теоретичних положеннях динаміки і стійкості бурильной колони й засоби реалізації практично

О теоретичних положеннях динаміки і стійкості бурильной колони й засоби реалізації на практике.

Илья Барський, к.ф.-м.н., НВО «БУРОВА ТЕХНИКА».

В силу надзвичайної складності фізичних процесів, які мають місце при будівництві й експлуатації свердловин, в бурінні, передусім, цінується практичного досвіду. Саме йому віддається перевагу після ухвалення остаточних технологічні рішення. У цьому роботі зроблено спробу показати, що теоретичні дослідження специфічних особливостей процесу буріння, що призводять до нових результатам, також можуть бути плодотворными.

Классическим прикладом фундаментальній теоретичній проблеми буріння є управління динамікою бурильной колони. Першим ученим, який розглянув статику і динаміку стрижнів, які перебувають під дією власної ваги, був знаменитий Леонард Эйлер. Аналізуючи динамічний рівняння Эйлера, академік К. С. Лейбензон висловив упевненість у цьому, створення гідравлічних двигунів, розташованих біля долота, послабить схильність колони некерованим поперечним коливань [1]. Винахідник редукторного турбобура М. А. Капелюшников, аналізуючи некероване викривлення свердловин, підтвердив висловлене Лейбензоном думка [2]. На жаль, ці чекання зазнали краху. У цьому статті ми, зокрема, зазначимо причини, через які це произошло.

Расчеты американських фахівців [3], що почалися 50-ті роки ХХ століття, засновані виключно на пласких статичних моделях, надали сильний вплив на теоретичні ставлення до поведінці колон і викривлення свердловин. До цих пір більшість розрахунків бурильной колони виходить з цих уявленнях, хоча нами було проаналізовано помилки А. Лубинского, його колег П. Лазаренка та послідовників [4−6]. Саме там вперше встановлено, що статичний підхід може давати задовільні результати лише у окремих приватних випадках. Специфічна залежність стійкого поведінки колони від такого типу найважливіших чинників, як вимірювана глибина свердловини і розподілена навантаження власної ваги, також встановили [4−6].

Данная робота присвячена деяким питань управління динамікою бурильной колони і починається вона із дослідження впливу такої важливої чинника, як крутний момент. Показано, що його вплив на поведінка колони визначається на її величиною, а можливим зміною характеру виходу колони зі стану статичного рівноваги. Річ у тім, що, як показано нижче, скручиваемая колона втрачає стійкість не шляхом статичного вигину, а, по типу флатера, тобто. подводимая до колоні енергія перетворюється на енергію поперечних коливань зі зростаючою за часом амплітудою. Стінки свердловини обмежують амплітуду коливань колони, і з цього вона втягується в прецессионное рух, б'ється про стінки свердловини, а долото формує многокутний забій, що причиною цілого ряду ускладнень.

В завданнях буріння найчастіше взаємодія долота з забоєм інтерпретується як граничну умова опирания в шаровому шарнірі. Разом із цим у [7] можна знайти зауваження про неконсервативности завдання про сжато-скрученном невесомом стрижні, підпорядкованому граничним умовам типу кульового шарніра, тобто. у тому, що названа завдання формально належить до класу завдань про стрижнях, втрачають свою стійкість через розвиток некерованих поперечних коливань. Далі ми користуватися не фізичним поняттям консервативності [7], а поняттям «самосопряженности», відповідним математичної крайової завданню [8]. Нагадаємо, що самосопряженность означає, що крайова мета диференціального рівняння допускає лише справжні власні числа (критичні навантаження), і, отже, втрата стійкості у системі по неконсервативной схемою (за схемою виникнення флатера) [7] неможлива, тобто. «перекачування» подводимой до системи енергії у її коливання зі зростаючою по часу амплітудою неможливо.

Для ілюстрації основних теоретичних положень, що використовуються технологічних пропозицій з забезпечення стійкості бурильной колони, доречно буде навести і проаналізувати нижченаведені диференціальні і трансцендентні рівняння.

Первоначально необхідно перевірити на самосопряженность як диференціальний вираз, який утворює рівняння, і граничні умови [8].

Система диференційних рівнянь, яка описувала процес втрати статичної стійкості скручиваемой одноступінчастої колони, має вид:

EJv (4) + Mw (3) + [(F — qx) v (1)](1) = 0;

EJw (4) — Mv (3) + [(F — qx) w (1)](1) = 0 (1).

и виявляється формально самосопряженной [8].

Граничные умови типу заделки:

v (0) = w (0) = v (L) = w (L) = 0; v (1) (0) = w (1) (0) = v (1) (L) = w (1) (L) = 0 (2).

и граничні умови полукасания (природні вариационные) [7]:

v (0) = w (0) = v (L) = w (L) = 0;

EJv (2) (0) — M/2?w (1) (0) = EJw (2) (0) + M/2?v (1) (0) = 0;

EJv (2) (L) — M/2?w (1) (L) = EJw (2) (L) + M/2?v (1) (L) = 0 (3).

также виявляються самосопряженными.

Однако найпоширеніші граничні умови типу кульового шарнира:

v (0) = w (0) = v (L) = w (L) = 0; v (2) (0) = w (2) (0) = v (2) (L) = w (2) (L) = 0 (4).

оказываются несамосопряженными. Зауважимо, що несамосопряженными умови (4) залишаються поза залежність від наявності розподіленої чи зосередженого навантаження, але не тоді колони, нагружаемой власним вагою, факт відсутності дійсних критичних навантажень можна встановити аналитически.

Введем характерну одиницю довжини m3 = EJ/q, де Є — модуль Юнга, J — момент інерції поперечного перерізу, q — погонний вагу труб. Приймемо позначення l = Fm2/EJ, µ = ½(M/EJ)m і виконаємо стандартну комплексификацию системи диференційних рівнянь (1). Зрушимо на l незалежну зміну, позначаючи її z, а безрозмірною вимірюваною глибини L залишимо колишні позначення. Граничні умови переносяться, відповідно, в точки (-l) і (L-l), а основне комплексне рівняння приймає вид:

. (5).

Элементарными викладками встановлюється явний вид загального сценічного рішення рівняння (5), у якому граничну умова u (-l) = 0 виконується тождественно:

(6).

Для подальших обчислень нам знадобляться висловлювання елемента a13 спеціального означника, виникає внаслідок підстановки (6) в граничні умови:

.

Здесь ai (.) і bi (.) — стандартні спеціальні функції Эйри [9].

Раскрывая cos[µ(y-x)] за такою формулою складання аргументів, користуючись відомої асимптотикой для ai (x) і bi (x) на великих значеннях аргументу, неважко встановити, що a13? lnL/ при L>>1.

В разі умов кульового шарніра рівність нулю спектрального означника спрощується до виду:

(7).

Поскольку ai (x) і його похідна не звертаються до нуль одночасно у одному й тому ж точці [9], перше складова (7) не наближається до нуля ані за яких l і µ.

В разі закладення (7) спрощується до виду, у якому немає ai (1) (— l— µ2) і bi (1) (— l— µ2), а множник і µ замінюється на 1 у висловлюваннях в [ ].

В разі полукасательных (по Болотину) умов (7) зводиться на відсутність суто мнимих доданків. Два останніх самосопряженных варіанта граничних умов призводять до втрати стійкості шляхом вигину. У цьому справжні значення критичних навантажень слабко (на складова µ2) від відповідних значень для плоского случая.

Отсутствие коренів рівняння (7) у разі шарнирного опирания означає автоматичну можливість втрати стійкості бурильной колони через розвиток некерованих поперечних коливань, куди втрачається подводимая до колоні енергія незалежно від способу буріння.

Важнейшим результатом перших із них було те, що час використання ГЗД флаттер колони може виникнути через реактивного крутящего моменту, що ні приймали до уваги ні Лейбензон, ні Капелюшников, ні ті автори.

Для винятку саму можливість флатера пропонується змінити характер взаємодії колони бурильних труб зі стінками відповідно до результатами теоретичного вивчення не одиночного опорно-центрирующего устрою, а пари ОЦУ.

Обычные ОЦУ забезпечують безперервність функції прогину, її першої та другої похідних (кут нахилу і изгибающий момент) і допускають розрив третьої похідною (стрибок перерезывающей сили, у разі, реакції із боку стінки на опору). Зблизька кількох ОЦУ виникає многоточечная розривна крайова завдання, описувана диференційним рівнянням вигину колони 4-го порядку, приводящаяся до алгебраїчній системі щодо 4(n+1) довільних постійних (n — число ОЦУ). Стійкі чисельні методи на вирішення завдань запропоновані в [10−11].

Аналитическое дослідження названих завдань починається з уявлення про ділянці колони між ОЦУ загального сценічного рішення yi диференціального рівняння, узагальнюючого диференціальний рівняння вигину стрижнів як: індекс і відповідає номера ділянки колони між опорами, {uk}, k=1,2,3,4 — повна система лінійно незалежних рішень однорідної диференціального рівняння пружного вигину стрижнів (ДУУИС), f (s)-частное рішення неоднорідного ДУУИС:

y (4) + a1? y (3) + a2? y (2) + a3? y (1) + a4? y = 0, (8).

y (4) + a1? y (3) + a2? y (2) + a3? y (1) + a4? y = (p.s). (9).

Рассмотрим для рівняння (9) четырехточечную крайову завдання за двома внутрішніми граничними умовами в точках s1 і s2, відповідну у звичайному розумінні КНБК з цими двома полноразмерными центраторами:

y (0)=y (2)(0)=0; y (L)=y (2)(L)=0; 0.