Перетворення Фур'є. Швидке перетворення Фур’є

Перетворення Фур'є - перетворення, що зіставляють функції якоїсь дійсної змінної. Дана операція виконується кожен раз, коли ми сприймаємо різні звуки. Вухо виробляє автоматичне «обчислення», виконати яке наше свідомість здатна тільки після вивчення відповідного розділу вищої математики.

Орган слуху у людини будує перетворення, в результаті якого звук (коливальний рух умовних частинок в пружною середовищі, які поширюються в хвильовому вигляді у твердій, рідкому або газоподібному середовищі) надається у вигляді спектра послідовно йдуть значень рівня гучності тонів різної висоти. Після цього мозок перетворює дану інформацію в звичний всім звук (рис. 1).

Рисунок 1. Наочне подання перетворення Фур'є.

Перетворення звукових хвиль або інших коливальних процесів (від світлового випромінювання і океанського припливу і до циклів зоряної або сонячної активності) можна проводити і за допомогою математичних методів. Так, користуючись даними прийомами, можна розкласти функції, представивши коливальні процеси набором синусоїдальних складових, тобто хвилеподібних кривих, які переходять від мінімуму до максимуму, потім знову до мінімуму, подібно до морської хвилі. Перетворення Фур'є - перетворення, функція якого описує фазу або амплітуду кожної синусоїди, що відповідає певній частоті. Фаза являє собою початкову точку кривої, а амплітуда — її висоту.

Перетворення Фур'є є досить потужним інструментарієм, який застосовується в різноманітних галузях науки. В окремих випадках він використовується як засіб вирішення досить складних рівнянь, які описують динамічні процеси, що виникають під впливом світлової, теплової або електричної енергії. В інших випадках він дозволяє визначати регулярні складові в складних коливальних сигналах, завдяки цьому можна правильно інтерпретувати різні експериментальні спостереження в хімії, медицині та астрономії.

Першою людиною, який застосував цей метод, став французький математик Жан Батист Фур'є (рис. 2).

Рисунок 2. Французький математик Жан Батист Фур'є.

Перетворення, назване згодом його ім'ям, спочатку використовувалося для опису механізму теплопровідності. Фур'є все своє свідоме життя займався вивченням властивостей тепла. Він зробив величезний внесок у математичну теорію визначення коренів алгебраїчних рівнянь. Фур'є був професором аналізу в Політехнічній школі, секретарем Інституту єгиптології, перебував на імператорській службі, на якій відзначився під час будівництва дороги на Турин (під його керівництвом було осушено понад 80 тисяч квадратних кілометрів малярійних боліт). Проте вся ця активна діяльність не завадила вченому займатися математичним аналізом. У 1802 році їм було виведено рівняння, яке описує поширення тепла у твердих тілах. У 1807 році вчений відкрив метод вирішення даного рівняння, яке і отримало назву «перетворення Фур'є».