Соболівські простори і узагальнені розв " язки крайових задач

Реферат на тему:

Соболівські простори і узагальнені розв «язки крайових задач.

.

при відповідній нумерації, можна задати рівнянням вигляду.

.

.

визначається тією задачею, яка буде розглядатися.

.

множини.

кусково нескінченну кількість разів диференційовна поверхня. л.

покладемо.

.

поза якої ця функція дорівнює нулеві.

має місце рівність.

(1).

.

має місце співвідношення.

Тут ми скористалися умовою.

За означенням отримуєм, що.

.

з нормою.

(2).

— гільбертовий.

називається ще соболівським.

за нормою (2).

за нормою.

(3).

.

відносно норми (2).

підпослідовність.

функцій.

маємо, що.

одержимо, що.

Аналогічно,.

Отже,.

де.

Використовуючи нерівність Гьольдера, одержимо, що.

— деяка константа.

буде складатися з неперервних функцій, а, отже,.

.

З нерівності.

підпослідовність. Таким чином, цілком неперервність вкладення показана.

Наведем далі один результат про цілком неперервність вкладення соболівських просторів.

.

.

— ціле невід «ємне число.

— гільбертові з нормами.

(4).

(5).

.

Розглянемо крайову задачу.

(6).

де.

таке, що.

.

яка задовольняє інтегральну тотожність.

(7).

де.

яка задовольняє співвідношення (7), називають також узагальненим розв «язком першої крайової задачі або задачі Діріхле.

Має місце така теорема.

відповідно.

.

.

оскільки.

для якої.

що і доводить існування і єдиність узагальненого розв «язку.

.

Розглянемо далі наступну крайову задачу.

(8).

.

.

яка задовольняє співвідношення.

(9).

де.

Має місце наступна теорема.

не дорівнює нулеві тотожно. Тоді існує єдиний узагальнений розв «язок задачі (1.8) і при цьому має місце нерівність.

.

Приклад 4. Розглянемо рівняння.

і граничні умови.

Покажемо, що узагальненим розв «язком цієї крайової задачі є функція.

виконується співвідношення.

будемо мати.

тобто.

що і треба було довести.

.

параболічне рівняння.

(10).

з початковою умовою.

(11).

В залежності від вигляду граничних умов.

(12).

або.

(13).

) змішану крайову задачу для рівняння (10).

. Дамо наступне означення.

і виконується співвідношення.

(14).

.

Зауважимо, що співвідношення (1.14) можна переписати у вигляді.

(15).

.

виконується співвідношення.

(16).

Тут.

. Тоді має місце наступна теорема.

Теорема 4. Існує єдиний узагальнений розв «язок змішаних крайових задач і при цьому для першої крайової задачі виконується нерівність.

(17).

а відповідно для другої і третьої крайової задачі виконується нерівність.

(18).

.

— узагальнені розв «язки першої і третьої змішаних крайових задач. Тоді для цих функцій має місце представлення.

(19).

і.

тобто функції, які визначаються з співвідношень.

(20).

відповідно.

і наведем еквівалентні означення узагальнених розв «язків змішаних задач.

за нормою.

.

де.

ми формально будемо записувати у вигляді.

. Тоді цій функції ми можемо поставити у відповідність узагальнену функцію за правилом.

можна визначити похідні за часом за формулою.

Введемо простір

Цей простір є гільбертовим з нормою.

Крім того, має місце.

.

то має місце формула інтегрування за частинами.

(21).

у вигляді інтегралів.

і справедливе співвідношення.

(22).

то вона є узагальненим розв «язком відповідної крайової задачі.

У більш загальному випадку справедлива.

що.

яка задовольняє співвідношення.

(23).

то одержимо умову розв «язності третьої крайової задачі.

PAGE 9.