Критерій інтегрованості функцій
При знаходженні комбінацій, що інтегруються, найбільш часто використовується властивість «пропорційності». А саме, для систем в симетричному вигляді справедлива рівність. Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне рівняння, отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних рівнянь, але яке вже можна легко інтегрувати. Особливо поширеним засобом знаходження комбінацій, що… Читати ще >
Критерій інтегрованості функцій (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Критерій інтегрованості функцій.
.
.
Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне рівняння, отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних рівнянь, але яке вже можна легко інтегрувати.
.
Одна комбінація, що інтегрується, дає можливість одержати одне кінцеве рівняння.
.
яке є першим інтегралом системи.
Геометрично перший інтеграл являє собою .
.
І, якщо інтеграли незалежні, то хоча б один з визначників .
Особливо поширеним засобом знаходження комбінацій, що інтегруються, є використання систем у симетричному вигляді.
Систему диференціальних рівнянь, що записана в нормальній формі.
.
можна переписати у вигляді.
..
При такій формі запису всі змінні .
Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді.
.
називається системою у симетричному вигляді.
При знаходженні комбінацій, що інтегруються, найбільш часто використовується властивість «пропорційності». А саме, для систем в симетричному вигляді справедлива рівність.
.
.
Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.
1) Рівняння вигляду.
.
Проінтегрувавши його .
.
Якщо задані умови Коші.
.
то розв «язок має вигляд.
.
2) Рівняння вигляду.
.
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді.
.
Використовуючи основне співвідношення .
.
Проінтегрувавши його, маємо.
.
І одержимо параметричний запис рівняння .
.
Проробивши зазначений процес ще .
.
3) Рівняння вигляду.
.
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді.
.
Використовуючи основне співвідношення .
.
.
І одержали параметричний запис рівняння .
.
Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо.
.
Проробивши останню процедуру .
.
4) Нехай рівняння вигляду.
.
можна розв’язати відносно старшої похідної.
.
Домножимо його на .
.
Перепишемо його у вигляді.
.
Проінтегрувавши, маємо.
.
тобто .
або.
.
Таким чином одержали параметричний запис рівняння .
.
і повернулися до третього випадку.
..
_.
.