• Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
Такі рівняння дуже часто зустрічаються в практиці й розв’язуються досить просто. Розглянемо окремі однорідні й неоднорідні рівняння, причому для простоти опинимося детально на диференціальних рівняннях другого порядку. Рівняння (12.39) називається характеристичним відносно рівняння (12.38). Це — квадратне рівняння. Можливі такі ситуації відносно його коренів: А комплексна функція тоді і тільки… Читати ще >
• Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами (реферат, курсова, диплом, контрольна)
План Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.
Характеристичне рівняння.
Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.
1. Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами.
Такі рівняння дуже часто зустрічаються в практиці й розв’язуються досить просто. Розглянемо окремі однорідні й неоднорідні рівняння, причому для простоти опинимося детально на диференціальних рівняннях другого порядку.
1.1. Лінійні однорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами Нехай маємо диференціальне рівняння вигляду.
(12.38).
а це дозволяє легко знайти розв’язок (12.38).
в рівняння (12.62), одержимо.
маємо.
(12.39).
Рівняння (12.39) називається характеристичним відносно рівняння (12.38). Це — квадратне рівняння. Можливі такі ситуації відносно його коренів:
;
);
Зупинимося детально на кожному із цих трьох випадків.
та
Загальний розв’язок рівняння (12.38) має вигляд.
(12.40).
— довільні сталі.
є комплексними функціями дійсного аргументу:
або.
також задовольняють це рівняння. Це випливає з таких перетворень:
а комплексна функція тоді і тільки тоді дорівнює нулеві, коли її дійсна та уявна частини дорівнюють нулеві, що й треба було довести.
лінійно незалежні:
Отже, загальний розв’язок рівняння (12.38) у розглядуваному випадку має вигляд.
(12.41).
— довільні сталі.
:
у рівняння (12.38):
(12.42).
:
Загальний інтеграл диференціального рівняння (12.38) у разі кратних коренів має вигляд.
(12.43).
Приклад 1. Розв’язати рівняння:
(випадок1).
.
силою, пропорційною відстані від точки до цього центра. Знайти закон руху точки.
— час).
.
Це однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Для зручності подамо його у вигляді.
(12.44).
Цьому диференціальному рівнянню відповідає таке характеристичне рівняння.
Отже, загальний розв’язок рівняння (12.68) має вигляд.
(12.45).
.
Про диференціюємо обидві частини (12.45):
Отже, шуканим розв’язком задачі Коші буде.