Завдання обробки ґрат

Запровадження.

1.1 Завдання обробки грати.

1.2 Продолжаемость.

1.2.1 Спектральні основи зовнішньої і спільні безлічі.

1.2.2 Сопряженно-симметричные функції та його векторное уявлення.

1.2.3 Oa? aeoa?enoeee i? iaie?aaiinoe.

1.3 Кордон й внутрішня соціальність частина.

1.3.1 Функції спектральною щільності потужності.

1.3.2 Дискретизація спектральною основи.

1.4 Метод Писаренко.

1.4.1 Метод Писаренко для решіток датчиків.

1.4.2 Обчислення оцінки Писаренко.

Резюме.

2.1. Інтегральне рівняння для відкритого резонатора з осесимметричным диском.

2.2 Інтегральне рівняння відкритого резонатора з диэлектрическим диском, несоосным з дзеркалами [72].

Укладання, перспективи.

3 Метод НВЧ контролю параметрів полімерів.

Література.

ДОКЛАДАННЯ.

Додаток А.

Додаток У.

Додаток З.

Ілюстрації.

Розглядається коротенько завдання обробки решіток і формулюється завдання абстрактної спектральною оцінки.

Це завдання включає оцінку багатовимірного спектра потужності частотно-волнового вектора з вимірювань кореляційної функції і знання спектральною основи.

Дослідження які узгоджуються по кореляції спектральних оцінок призводить до питання продолжаемости: може бути будь-який позитивний спектр на спектральною основі, що у точності узгодить дане безліч кореляційних вибірок? Щоб відповісти це питання розроблена математична структура, у межах яка повинна аналізувати і розробляти алгоритми спектральною оцінки.

Метод спектральною оцінки Писаренко, який моделює спектр як імпульсів плюс шумове компонента, поширюється зі випадку тимчасової послідовності більш загальний випадок обробки решіток.

Оцінку Писаренко одержують, як рішення лінійної завдання оптимізації, яка то, можливо вирішено під час використання лінійного алгоритму програмування, приміром, симплекс — методу.

Запровадження Приблизно так, як спектр потужності стаціонарної тимчасової послідовності описує розподіл потужності залежність від частоти, спектр потужності частотно-волнового вектора однорідної і стаціонарного хвильового поля описує розподіл потужності залежність від хвильового вектора і тимчасової частоти чи, що еквівалентно, залежно від напрямку поширення і тимчасової частоти.

Спектр частота — хвильової вектор чи інформація, яка може бути отримана потім із нього, є важливим у багатьох цілях.

У радіоастрономії і гидролокации можуть грунтуватися на інформації, котра міститься щодо оцінки спектра потужності.

Отже, оцінка спектра потужності з даним грати датчиків представляє хворий практичний інтерес.

Розділ II містить короткий огляд хвильових нулів і решіток датчиків, і навіть введення у завдання спектральною оцінки.

Розглядаються альтернативні математичні уявлення спектрів потужності, як заходів як і функцій спектральною щільності.

У розділі II вводиться термін корешетки, безлічі поділів вектора і тимчасових запаздываний, котрим доступні кореляційні вибірки, і спектральною основи, області частоты-пространства хвильового, вектора, що містить потужність.

до котрої я чутливі датчики.

Ніякої особливої структури не передбачається як й у корешетки.

Ось і для спектральною основи.

Розділ II завершується Формулюванням абстрактної завдання: оцінкою спектра потужності за умови те, що він позитивний на спектральною основі, і нульовий за її межами, і навіть має деякими відомими корреляциями для поділів в корешетке.

Але й простіше багатьох завдань, встречаемых практично, ключові характеристики, які відрізняють завдання грати, від завдання спектральною оцінки потужності тимчасової послідовності, зберігаються: багатомірність частотною перемінної і нерівномірність корешетки.

За умов цього формулювання проблеми природно розглядати спектральні оцінки, які узгоджуються з відомою інформацією: спектральні оцінки, позитивні на спектральною основі, і рівні нулю поза нею, з точністю узгоджувалися з измеренными корреляциями, .дослідження таких, узгоджених з кореляцією, спектральних оцінок ставить два головні запитання.

Перший, і більш фундаментальне запитання стосується існування будь-який такий оцінки.

Проблема, продолжаемости має глибокі історичне коріння [1] і UMC нещодавно була б піднята Дикинсоном [2] щодо двумерной спектральною оцінки за методу максимальної ентропії, і навіть є темою деяких недавніх робіт Цибенко[3 — 4].

Проблема продолжаемости досліджується розділ III.

Характеризуються продолжаемые безлічі кореляційних вимірів.

Розглядається також їхніх залежність від спектральною основи розвитку та ефект дискретизації спектральною основи.

У спробі з відповіддю про продолжаемости розроблена необхідна математична структура, що дозволяє аналізувати спеціальні методи спектральною оцінки й розробляти алгоритми їхнього обчислення.

Другим піднятим питанням є питання одиничності: чи є єдина узгоджена з.

кореляцією спектральна оцінка та, якщо ні, як вибрати потрібну? Справді, єдина оцінка немає, крім дуже спеціальних випадків; завдання методу спектральною оцінки полягає у виборі однієї з ансамблю спектрів, задовольняючого узгодженню кореляції, позитивності і обмеженням спектральною основи.

Розділ IУ стосується методу Писаренко [5], що включає моделювання кореляційних до вигляді суми двох компонентів.

Один, шумовий компонент відомої спектральною форми, але невідомої амилитуды, робиться настільки великим, наскільки може бути без перетворення другого компонента в непродолжаемый.

Показано, що спектральна оцінка методом Писаренко вирішує лінійну завдання оптимізації.

Виконання цього завдання оптимізації завжди буде існувати, якщо кореляційні виміру є продолжаемыми.

Показав, що тактично метод Писаренко тісно пов’язані з питанням продолжаемости і алгоритм обчислення оцінки Писаренко буде також б служити у ролі тесту продолжаемости.

Показано, що оцінка Писаренко перестав бути завжди єдиної загальному разі, хоча вона єдина для випадку тимчасової послідовності, де завдання лінійної оптимізації зводиться до завданню за власні значення.

1.1.

Завдання обробки грати Уявімо багатовимірну однорідну середу, підтримує хвилеве полі з комплексними значеннями u (x, t) і що містить грати датчиків.

Хвилеве паче буде передбачатись однорідним і стаціонарним, тож його статистики другого порядку описуються кореляційної санкцією r, чи еквівалентно, спектром потужності [6].

(2.1) Уявлення спектра потужності, у вигляді позитивної заходи забезпечує необхідну гнучкість у тому, щоб поводитися з діапазоном спектральних підстав уніфікованим способом мислення й обробляти спектри, які містять імпульси: кінцева потужність при єдиному хвильовому векторі.

У інженерній літературі більш прийнято представляти спектр потужності у вигляді позитивної функції спектральною щільності.

У цьому вся поданні (2.2) де — деяка фіксована міра, що дозволяє інтерпретувати вираз /2.2/ як багатовимірної поверхні чи об'ємного інтеграла, можливо зваженого, над частотно-волновым векторным простором.

Якщо дана «функція спектральною щільності потужності, то встановлюють відповідну позитивну міру шляхом вимоги, щоб міра підмножини У частотно-волнового векторного простору дорівнювала інтегралу функції спектральною щільності по У: (2.3) Тепер буде сформульовано просте завдання спектральною оцінки.

Особливу увагу буде приділено моделювання властивостей процесу збирання цих, що є загальними багатьом завдань обробки решіток.

Ці властивості включають вимір кореляційної функції при кінцевому числі нерівномірно розподілених крапок і обмеження галузь простору частоты-воктора хвилі, у якому можуть бути потужність.

Кожен із ПІП виробляє тимчасову функцію, що є хвилевим полем U, що був вибірці у точці простору.

Сукупність тимчасових функцій, утворених усіма ПІП, вихід чи відгук грати, мусить бути оброблена про те, щоб забезпечити оцінку спектра потужності частоты-волнового вектора.

Стохастический характер хвильового поля незмінно призводить до випадковим «змін будь-який спектральною оцінки, заснованої не вдома грати.

Щоб протидіяти цьому ефекту, спектральні оцінки часто базуються на стійких статистиках, одержуваних із виходу грати.

Звичайним прикладом такий статистики є кореляційна оцінка, вычисляемая у вигляді множення виходу одного ПІП на затриманий у часі вихід другого ПІП з усреднением за часом.

Ця обробка дає внаслідок оцінку кореляційної функції з тимчасової затримкою, відповідної запаздыванию в часі та просторовим поділом, що є вектором відстані між ПІП.

Процес усереднення забезпечує статистично стабільні оцінки кореляції, що дозволяє внаслідок статистичну стабільність спектральною оцінки, заснованої цих кореляційних оцінках.

Важливо, що оцінки кореляцій доступні лише кінцевого безлічі междатчиковых відстаней і тимчасових затримок [8].

Тема помилок кореляційних оцінок буде порушуватися.

Це стаття стосується скоріш властивостей множин істинних кореляційних вибірок і спектральних оцінок, заснованих на виключно кореляційних вибірка.

Передбачається відомим, що спектр полягає у обмеженою області простору частота-волновой вектор, спектральною основі.

Зовні цієї основи передбачається, що спектр нульовий.

Обмежена спектральна основа може природно виникнути кількома шляхами.

Наприклад, серед, що підтримує скалярні хвилі, відомий джерело, середовище й характеристики датчика можна використовувати для побудови відповідної спектральною основи.

Джерело може мати відому тимчасову ширину смуги чи відому кінцеву кутову протяжність.

Співвідношення дисперсії і згасання серед обмежує область простору частота-волновой вектор, у якій можуть бути потужність.

ПІП може мати кінцеву тимчасову смугу може бути спрямованими.

Всі ці ефекти можуть моделюватись у вигляді припущення, що потужність відсутня зовні певній галузі простору частота-волновой вектор

Відома спектральна основа, що базується на фізиці приватної завдання, є важливу апріорну інформацію, яка то, можливо використовувала в. завданню спектральною оцінки.

Багато цілях значно більше даних доступно в часі вимірі, ніж у просторовому вимірі.

У таких випадках зручно відокремити тимчасову зміну у вигляді аналізу Фур'є тимчасової послідовності виходу кожного датчика, та був зробити роздільне спектральную опеньку хвильового вектора кожної тимчасової частоти шляхом застосування коефіцієнтів Фур'є як даних для спектрального оценивателя хвильового вектора.

Отже завдання оцінки стимулюється для комплексних даних, навіть хоча фізичні хвильові поля мають речові значення.

На щастя, звичайний аналіз Фур'є є часто задовільним, коли дані надлишкові, і навіть неявним при узкополосном характері багатьох датчиків.

Там, де обмежені дані у тимчасове вимірі роблять вищезгадана підхід не практичним, а доступними є широкосмугові грати датчиків, повна це може трактуватися у вигляді включення тимчасових змінних і в вектори і k.

Тоді буде описувати поділ як і просторі, і у часі, a k хвильової вектор простору-часу.

Будемо думати, що ухвалено із цих двох підходів; отже тимчасові перемінні і будуть опущені.

Простим прикладом моделі спектральною оцінки, розробленої вище, є решітка ПІП, що складається з однаковим чином орієнтованих ИП.

Приклад 2.1: решітка із трьох ИП.

Уявімо, що решітка ИП, показана на мал.1, використовується прийому єдиною тимчасової частоти, відповідної довжині хвилі.

ИП з діаметром d має смугу пропускання, яка грубо описується вираженням.

Вважаючи, що хвилеве полі задовольняє співвідношенню дисперсії для однорідної, недиспергирующей середовища, основою спектральною оцінки мусить бути полярна шапка, описувана двома рівняннями і показана на мал.2 Спільним безліччю з цією завдання є тільки маса всіх 3-мерных просторових поділів між ИП в решітці.

1.2 Продолжаемость У цьому розділі було побудовано проста модель завдання обробки грати: якщо дано деякі кореляційні вимірювання, і спектральна основа, отримати спектральную оцінку.

Природно використання відомої інформації про спектрі обмеження спектральною оцінки вимогою здобуття права у неї узгоджена зі измеренными корреляциями, позитивної і обмеженої спектральною основою.

Такі, спектральні оцінки називаються спектральними оцінками пристосовані до.

кореляцією.

Дослідження спектральних оцінок, узгоджених з кореляцією піднімає фундаментальне запитання про існування.

Якщо задана, кінцева сукупність вимірюваних кореляцій і спектральна основа, чи є по крайнього заходу одна узгоджена з кореляцією спектральна оцінка? Якщо така спектральна оцінка існує, про вимірюваних кореляціях кажуть, що вони продолжаемы.

/Кореляційна функція, отримана у вигляді зворотного перетворення Фур'є узгодженої з кореляцією спектральною оцінки, має бути продовженням кореляційних вимірів попри всі просторові поділу/.

Після необхідних математичних визначень ми матимемо на запитання про існування шляхом характеризации безлічі продолжаемых кореляційних вимірів.

1.2.1 Спектральні основи зовнішньої і спільні безлічі Спочатку необхідно визначити ретельніше терміни спектральна основа і ухвалили спільне безліч.

Передбачається, що спектральна основа До є компактним підмножиною, тобто.

До замкнуто та обмежено.

Припущення щодо компактності До призводить до деяким технічним переваг: безперервна функція на компактному безлічі сягає своєї нижньої і верхньої межі.

З іншого боку, компактність повинна завжди утримуватися у фізичній завданню.

Як обговорювалася попередньому розділі, знання джерела, середовища проживання і характеристик датчиків можна використовувати для побудови відповідної спектральною основи.

Спільне безліч визначатиметься, як кінцеве підмножина зі властивостями I / 0; II / якщо III / є безліччю лінійно незалежних функцій на.

Умова I/ передбачає знання r (0) повної потужності спектрі.

Умова II/ відбиває те що, що кореляційна функція завжди поєднується симетрична; то якщо ми відома, то відома і.

Умови I/ і II/ спільно розуміють, що має вигляд 3.1) Умова II/ гарантує, що кореляційні виміру незалежні; кожне вимір дає нову інформацію про спектрі.

Якщо D > 1, то завдання спектральною оцінки є багатовимірної.

Якщо і то завдання спектральною оцінки є відомим випадком тимчасової послідовності і питання продолжаемости зводиться до відомої завданню тригонометрических моментів [9].

1.2.2 Сопряженно-симметричные функції та його векторное уявлення Спектральна основа і ухвалили спільне безліч природно передбачає ситуацію векторного простору для завдання спектральною оцінки, у якій сопряженно-симметричные комплекснозначные функції на відіграватимуть центральну роль.

Сопряженно-симметричная функція f на є функцією, на яку попри всі.

Кореляційні вибірки, з яких мають утворюватися спектральні оцінки, є такими функціями.

/Завдяки цій симетрії частина з нижченаведених висловів є речовими, хоча вони, заради простоти, було записано як, який передбачає, що є підстави комплексно-значными/.

Спільне безліч має 2 М + I елемент отже сопряженно-симметричная функція на характеризується у вигляді 2 М + I незалежними речовими числами.

Так, сопряженно-симметричная функція на може розглядатися як вектор в /Векторное надто безкраї простори речовими числами вибирається бо лише множення на речовинне число, переводить кореляційну функцію до іншої кореляційну функцію/.

Будуть використовувати як функціональне позначення і векторное f Оскільки є линейно-независимым функцій на K, то це означає, кожен вектор p? то, можливо єдиним чином пов’язаний? вещественно-значнымполиномом P (k) ??? у вигляді співвідношення (3.2) Вектор називатиметься позитивним, якщо на До Р означатиме безліч цих векторів, що з позитивнимиполиномами.

З компактності До, як і показати, слід, що Р є опуклим конусом з вершиною на початку координат.

/Безліч З є конусом з вершиною на початку координат, якщо передбачає всім [10].

Конуси важливі видами множин в завданню спектральною оцінки, бо тільки множення на позитивні речові числа переводить кореляційну функцію до іншої кореляційну функцію, аполіном на другийполіном./ Внутрішнє твір вектора r кореляційних вибірок і вектора р полиномиальных коэффциентов визначатиметься (3.3) Це внутрішня твір дає на новому записатиполіном:, де позначає вектор з компонентами.

Наголосимо також на, що й, то, що cooтветствует вираженню співвідношенню Парсеваля.

1.2.3 Характеристики продолжаемости Нехай Є позначає безліч продолжаемых векторів кореляції. Тобто, якщо (3.4) для деякою позитивної заходи на До.

З властивостей інтеграла слід, що, Є є замкнутим опуклим конусом з вершиною на початку координат. З іншого боку, перетин по Є при: (3.5) є опуклої оболонкою компактного безлічі (3.6) є опуклої оболонкою компактного безлічі Отже, Є - замкнутий опуклий конус з вершиною на початку координат, генерованою у вигляді А.

Ця характеристика продолжаемой кореляція аналогічна тієї, який дав спочатку Каратеодори в 1907 року для завдання тригонометрических моментів [I].

Важливість цього у цьому, що багато продолжаемых векторів кореляції описується в термінах простого безлічі А.

Це дає також ясну геометричну картину продолжаемости і буде корисно доведень.

Друга характеристика продолжаемости, що є більш корисною розробки методів спектральною опенки, відбувається того факту, що Є виявляється у вигляді перетину всіх замкнутих полупространств, містять його [10].

Ця характеристика включає дуальность, оскільки полупространства визначаються лінійними функционалами, тобто.

елементами дуального простору.

Замкнутий полупространство визначається у вигляді вектора q, і речовинного числа з як безлічі (3.7) Щоб співаку визначити окремі полупространства, містять Є, досить розглянути ті кореляційні вектори, що генерують Є: позитивні кратні векторів в багатьох А.

Замкнутий полупространство містить Є тоді й тільки тоді, коли кожному за і кожного.

Оскільки можна зробити довільно великий, має бути істинним те, що, тобто.

q — член конуса Р.

Найкоротший полупространство, що містить Є для такого q відповідає вибору з = 0.

Отже, (3.8) чи, словами, таке.

Теорему про продолжимости: .вектор є продолжимым тоді й тільки тоді, коли всім позитивних p.

Отже, позитивні полиномы природно мають місце у завданню продолжаемости, оскільки вони сьогодні визначають гиперплоскости основи безлічі Є продолжаемых векторів кореляції.

Мовою функціонального аналізу теорема про продолжимости, що є виглядом леми Фаркаша [11], просто констатує, що Є. і Р — позитивні поєднані конусы. 10].

Ця теорема має важливе слідство про переміщення простий характеристики Р, в термінах позитивності, на характеристику Є.

Хоча запровадження спектральною основи в аналізовану завдання є новим, сутнісно той самий характеристика продолжимости була спочатку використана Кальдероном і Пепинским [l2], і Рудиным [l3].

Малюнок 4 демонструє залежність Є від спектральною основи.

Є дві погляду з цього залежність.

Пряма думка зазначає те що, що Є є опуклим конусом, генерированным А; оскільки До зменшилося, А стиснулося та О тепер менше, ніж рис. 3.

Непряма думка включає обмеження; безліч До обмежує безліч Р у вигляді умови про позитивності, а безліч Р обмежує безліч P у вигляді теореми продолжимости.

Отже, коли До стискається, Р зростає, та О стискається.

Для випадку тимчасової послідовності теорема про продолжимости зводиться до тесту позитивної визначеності теплицевой матриці, освіченою з кореляційних вибірок.

Отже, про продолжимости можна говорити як про спільний аналог позитивної визначеності.

Приклад 3.1: Випадок тимчасової послідовності; D=1, .B цьому випадку, проблема продолжимости зводиться до проблеми тригонометрических моментів [9].

Хоча і справедливо у випадку, для випадку тимчасової послідовності, як випливає з фундаментальної теореми алгебри, позитивний поліном то, можливо факторизован квадрат модуля М-той ступеня тригонометричного полинома.

Внутрішнє твір стає теплицевой формою в коефіцієнти Отже, вимога здобуття права внутрішнє твір було позитивним всім полиномов зводиться до вимозі позитивної визначеності теплицевой форми, відповідної корреляционным вимірам.

1.3 Кордон й внутрішня соціальність частина Доведеться робити різницю між кордоном й внутрішньою частиною множин Є. і Р.

Розгляд методу Писаренко розділ 17, приміром, включає вектори межах Є. і Р.

Вектори у внутрішній частини Є. і P важливі тоді, коли зачіпаються пункції спектральною щільності, як, наприклад, в методі спектральною опенки за способом максимальної ентропії [l4].

Кордон замкнутого безлічі складається з тих членів, що є довільно близько до певного вектору зовні безлічі.

Внутрішня частина замкнутого безлічі полягає з тих членів, котрі перебувають за українсько-словацьким кордоном.

Кордон й внутрішня соціальність частина кінцевого вимірного безлічі залежить від приватного вибору норми вектора [15].

З іншого боку, оскільки Р та О є опуклими множинами, особливо просто охарактеризувати їх внутрішній частини й кордону.

Кордон Р, позначена, складається з тих позитивних полиномов, які дорівнюють нулю декому.

Внутрішня частина Р, позначена, складається з тих полиномов, які б суворо позитивні на До.

Позитивні полиномы можна використовувати визначення межі і внутрішньої частини Є.

Кордон Є, позначена, складається з тих продолжимых кореляційних векторів, які роблять в нуль внутрішнє твір з певним ненульовим позитивним полиномом.

Внутрішня частина Є, позначена, складається з тих кореляційних векторів, що роблять суворо позитивними внутрішні твори з кожним ненульовим позитивним полиномом.

1.3.1 Функції спектральною щільності потужності Багато методи спектральною оцінки представляють спектр потужності не як міру, а вигляді функції спектральною щільності.

Це призводить до модифікації завдання продолжимости: якщо задана фіксована позитивна кінцева міра, що визначає інтеграл (3.9) то які кореляційні вектори може бути зроблено від деякою суворо позитивної функції? При одному додатковому обмеження на, яке легко задовольняється практично, модно показати, що вектори, які можна представлені в такий спосіб, є векторами, які перебувають у внутрішній частини Є.

З іншого боку, можна показати, що кожен століття тор у внутрішній частини Є то, можливо представлено формі /3.9/ для деякою безупинної, суворо позитивної.

Теорему продолжимости для функцій спектральною щільності: Якщо кожне сусідство кожної точки в До має суворо позитивнуміру, то 1/если рівномірно обмежена щодо нуля по До, то; 2/если, то для деякою безупинної, суворо позитивної функції.

Доказ цієї теореми міститься у Додатку А.

1.3.2 Дискретизація спектральною основи Багато що привабливі спектральні основи містять безліч точок.

Ці спектральні основи слід часто апроксимувати в обчислювальних алгоритми у вигляді кінцевого числа точок.

Тому важливо усвідомлювати ефекти такий апроксимації.

Розглянемо дискретну спектральную основу (3.10) Міра на дискретної основі повністю характеризується її значенням у кожному точці.

Отже, зворотний інтегралФур'є зводиться до кінцевої сумі (3.11) Аналогічно, для санкцій спектральною щільності (3.12) Міра можна вважати визначальною квадратурное правило для з дитинства інтегралів по спектральною основі.

З визначень продолжимых векторів кореляції і позитивних полиномов можна побачити, що, якщо спектральна основа утворюється у вигляді вибору кінцевого числаточок з деякою вихідної спектральною основи, те нове безліч Є є опуклим багатогранником, вписаним всередину вихідного безлічі Є, а нове безліч Р є опуклим багатогранником, описаний навколо початкового безлічі Р.

Отже, нове Є менше вихідного Є, а нове Р більше вихідного Р.

Досить щільна вибірка вихідної спектральною основи призведе до многогранникам, які аппроксимируют вихідні безлічі із довільною точністю.

Наприклад, на див. мал.5 показаний ефект апроксимації спектральною основи чотирма вибірками для.

Вихідні конуси Є. і Р мають кругове поперечне перетин при, як показано на рис. 3.

Конуси, відповідні вибіркової основі мають /обидва/ квадратне поперечне перетин.

Кордони нових і старих конусів перетинаються у векторів, відповідних точкам вибірки.

1.4 Метод Писаренко Писаренко описав метод спектральною оцінки тимчасової послідовності, у якому спектр моделюється як суми імпульсів штос компонента білого шуму [5].

Якщо компонента білого шуму вибирається така велика, наскільки може бути, те, як, а також, ситуацію і амплітуди імпульсів, необхідних узгодження вимірюваних кореляцій, визначаються єдиним чином.

Метод Писаренко виведуть ще обший орієнтації ИП й у більш загальній шумовий компоненти.

Зв’язок методу Писаренко з аналогічним запитанням продолжимости буде продемонстровано.

Продовжена оцінка Писаренко буде отримана як вирішення завдання оптимізації, що включає мінімізацію лінійного функціоналу над опуклої областю, певної лінійними обмеженнями.

Виконання цього завдання оптимізації існує завжди, але це може бути єдиним.

Виходить завдання двоїстої «оптимізації, яка для випадку тимчасових послідовностей призводить до знайомої інтерпретації методу Писаренко як розробки сглаживающего фільтра з обмеженнями методом найменших квадратів.

І знову, розв’язання цієї двоїстої завдання існує завжди, але, можливо не єдиним.

Розглядаються алгоритми для обчислення методом Писаренко.

Основне завдання оптимізації записується, для спектральною основи, що складається з кінцевого числа точок, у питній воді лінійної програми стандартного виду.

Розглядається застосування симплекс-метода на вирішення цієї основний лінійної програми.

Представлена двоїста лінійна програма.

Розглядаються також можливістю створення обчислювальних алгоритмів, ближчих, ніж симплекс-метод.

1.4.1 Метод Писаренко для решіток датчиків Основою методу Писаренко є однозначне розкладання /див. мал.6/ кореляційного вектора у сумі масштабированного вектора кореляції шуму, у внутрішній частини Є, і залишок за українсько-словацьким кордоном Є (4.1) Припущення у тому, що перебуває у передбачає, що таке розкладання довільного вектора є і єдино.

Розглянемо однопараметрическое сімейство кореляційних векторів (4.2) Для досить позитивного ні бути продолжаемым, а досить негативного може бути продолжимым, оскільки припущення, що передбачає, що Є містить околиця.

Опуклість Є означає, що є певна найбільше, таке, що є продолжимым.

Оскільки є довільно близько до непродолжимые вектори, може бути за українсько-словацьким кордоном Є.

З іншого боку, бо тоді і тільки тоді ми, коли продовжимо, це розкладання може «бути використало як тесту продолжимости.

Це однозначне розкладання то, можливо сформульовано як основної мети лінійної оптимізації усім позитивних спектрах потужності.

Зазначимо, що має по крайнього заходу, одне позитивне спектральне уявлення й з /4.1/ для слід (4.3) Твердження те, що найбільший числом, отже залишок продовжуємо, призводить до лінійної завданню оптимізації (4.4з) отже (4.45) Максимум дорівнює і він досягається.

Оскільки продолжаемо, він відповідає деякою позитивної мері.

Отже /4.1/ набуває вигляду (4.5) Якщо, то є позитивної мірою, яка узгодить кореляційні вимірювання, і має найбільш можливу шумову компоненту.

Деяка додаткову інформацію щодо залишку та її спектрального уявлення може бути отримана.

перебуває в кордоні Є; отже, він надає нульовий внутрішнє твір з певним ненульовим позитивним полиномом (4.6) З цього випливає, що основа мусить бути на нульовому безлічі.

Чи більш точно, основа будь-якого спектрального уявлення мусить бути на перетині нульових множин всіх позитивних полиномов, що утворюють нульовий внутрішнє твір з.

Це вимагає остаточний крок у виведення методу Писаренко; саме, об'єднання залишку з імпульсним спектром.

^.

Факт, що цільової функціонал основної мети оптимізації перестав бути суворо опуклим, допускає, що ухвалено рішення неспроможна у випадку бути єдиним.

Рішення основної мети оптимізації завжди єдино тоді й тільки тоді, коли кореляційний вектор за українсько-словацьким кордоном Є має єдине спектральне уявлення.

Що стосується тимчасової послідовності кожна така має єдине спектральне уявлення, як сума М чи меншої кількості импульсов[5].

Приклад 4.1: Випадок тимчасової послідовності,.

Як і прикладі 3.1, кожну позитивну поліном то, можливо факторизован як для деякого тригонометричного полинома М-той, ступеня і отже може бути рівними нуля трохи більше, ніж у М точках.

Спектр, отже, може бути сумою імпульсів у тих точках.

З іншого боку, оскільки можливо побудувати позитивний поліном, що дорівнює нулю в довільно вибраних точках і більше, то це означає, що має єдине спектральне подання до вигляді суми імпульсів у загальних нулях всіх позитивних полиномов отже.

У більш широкому сенсі, теорема продолжимости що з теоремою Каратеодори [16] показує, що є по крайнього заходу одне спектральне уявлення як суми лише 2 М імпульсів.

Теорему уявлення: Якщо, що існує і, отже (4.7) Доказ теореми уявлення можна знайти у Додатку У.

Цю виставу отже, рішення основної мети оптимізації може бути не єдиними.

Подальше обговорення цієї проблеми одиничності можна знайти у Додатків З.

Якщо та місця розташування імпульсів в єдиному рішенні можуть визначити для даного, то амплітуди імпульсів може бути враховано просто вирішенням набору лінійних рівнянь.

Нині ж ми матимемо двоїсту завдання оптимізації, що дає і, отже.

Тоді, якщо має єдине спектральне уявлення, місцеположення імпульсів можуть визначити по нулях.

З теореми продолжимости слід (4.8) Оскільки і, то це означає, що і всім.

З іншого боку, оскільки для деякого, то це означає, що (4.9а) на безлічі (4.9b) і мінімум характеризується.

Вирішення цієї двоїстої завдання може бути єдиним навіть тоді тимчасової послідовності, коли він зводиться до завданню власного вектора, отриманої Писаренко, і призводить до інтерпретації методу Писаренко як визначення сглаживающего фільтра з обмеженнями методом найменших квадратів.

Приклад 4.2: Випадок тимчасової послідовності,.

Як у прикладі /3.1/.

З іншого боку, якщо відповідає білому галасу одиничної потужності,.

Отже, двоїста завдання оптимізації зводиться до пошуку власного вектора теплицевой матриці, що з, відповідного найменшій власному значенням.

Якщо є кілька таких власних векторів, імпульси містяться у загальних нулях відповідних полиномов.

Будь-який нормований власний вектор, відповідний мінімального власному значенням, дає коефіцієнти сглаживающего фільтра, сума квадратів величин яких обмежена одиницею, що дозволяє найменшу вихідну потужність за наявності вхідного процесу, кореляції якого описуються [17].

1.4.2 Обчислення оцінки Писаренко Під час розробки алгоритмів обчислення оцінки Писаренко можна зіткнутися з дискретної спектральною основою Для такий основи основне завдання /4.4/ то, можливо переписана як лінійне програми стандартного виду (4.11з) отож у (4.11b) з N перемінними і 2 М обмеженнями.

Мінімум дорівнює і досягається для.

Основна теорема лінійного програмування 18 еквівалентна теоремі подання у цьому випадку.

За умов, для цієї лінійної програми існує рішення, як показано у минулому розділі, основна теорема гарантує рішення, у якому трохи більше, ніж 2 М з нерівні нулю, зване, базове рішення.

Двоїста лінійна програма [l5] (4.12з) отож у (4.12b) еквівалентна двоїстої завданню /4.9/ для дискретної спектральною основи, де обмеження (4.13) було використане щоб уникнути і.

Її мінімум дорівнює і характеризується.

Основне завдання може бути розв’язана під час використання симплекс-метода [18].

Застосування симплекс-метода до основний завданню спричиняє результаті до істотно до того ж результату /обчислювальному алгоритму/, як і застосування, /одинарного/ методу заміни до двоїстої завданню [19].

Застосувавши відповідний метод для запобігання зациклення [20], можна отримати алгоритм, що гарантує відповідність оптимального рішенню за кінцеве число кроків, хоча її втілення зазвичай були повільними.

Завдання чебышевской апроксимації пов’язані з обчисленням оцінки Писаренко; може бути сформульована, як мінімізація лінійного функціоналу на опуклому просторі, певному обмеженнями типу лінійних нерівностей [l6].

Вона також вирішувалася з допомогою симплекс-метода /одинарна заміна/.

Проте задля приватної завдання чебышевской апроксимації безперервних функцій полиномами з одного перемінної існує обчислювальний метод, який значно швидше симплекс-метода, це метод многократной заміни Ремеза.

Хоча був спробували поширити його більш спільні завдання [21], які у результаті алгоритми недостатньо добре зрозумілі; зокрема, не доведено їх відповідність.

І, насамкінець, завдання недискретной оптимізації, включені в обчислення оцінки Писаренко, /4.4/ до /4.9/, є виглядом, відомим, як полубесконечные програми.

Як теоретичні, і обчислювальні аспекти таких програм розглядаються у збірнику статей, виданих Геттичем [22].

Резюме Це стаття пов’язана з тим, що, мабуть є найбільш простий та цікавою завданням у фортепіанній обробці антенних решіток; оцінкою спектра потужності з відомою основою за умови, що дано деякі вибірки його кореляційної функції.

Але й проста, це завдання зберігає риси, що є загальними багатьом завдань обробки решіток: багатовимірні спектри, кореляційні вибірки з нерівномірними звітами і довільні спектральні основи.

Дослідження спектральних оцінок, узгоджених з кореляцією сприяли завданню продолжимости.

Було дано дві характеристики продолжаемости ста завдання, для випадку тимчасових послідовностей, відома як завдання тригонометрических моментів і рішення включає розгляд позитивної визначеності кореляційних вибірок.

Позитивна визначеність може тому розглядатися як спеціальний випадок продолжимости.

Базуючись на теоретичної основі, розробленої під час вирішення завдання продолжаемости, метод Писаренко був поширений зі випадку тимчасових послідовностей на завдання обробки грати.

Було показано, що метод Писаренко тісно .пов'язані з задачок продолжимости.

Було показано, що обчислення оцінки Писаренко включає рішення лінійної завдання оптимізації.

Було показало, що розв’язання цієї це завдання перестав бути єдиним у випадку, хоча вона єдино для випадку тимчасової послідовності, де завдання лінійному оптимізації зводиться до завдання власних значень.

Хоча розглянута у цій статті завдання спектральною оцінки була розробила в обробці грати, теоретична структура і результуючі алгоритми мусить бути корисними за іншими багатомірних завданнях, наприклад, обробці зображень.

2.1 ІНТЕГРАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ДЛЯ ВІДКРИТОГО РЕЗОНАТОРА З ОСЕСИММЕТРИЧНЫМ ДИСКОМ У § 9.3 отримали інтегральне рівняння (9.39) для резонатора з диэлектрическим тілом у вигляді кулі.

Така форма диэлектрика хороша для аналізу, але незручною для практики.

Зазвичай має справу з діелектричними зразками складнішою форми, зокрема з диэлектрическим диском.

За такого стану отримати аналітичне вираз для ядра вдасться, але це перестав бути на заваді знаходження рішення завдання.

Справді, ядро рівняння для резонатора з кулею (9.39) — це сума ядра для порожнього резонатора та будівництво додаткового члена, це полі, розпорошеного кулею.

Запишемо рівняння для резонатора з диском в аналогічному вигляді, оскільки фізична картина явище сама й той самий: (9.45) Тут — ядро порожнього резонатора; Т — ядро, що з розсіюванням на диэлектрическом зразку.

Обговоримо, по суті робиться під час вирішення рівняння (9.39) методом Галеркина.

Для визначеності вважатимемо, що на посаді базисних і вагових (див.

додаток 2) взято власні функції резонатора без кулі, які позначимо й вважатимемо ортонормированными.

З першим доданком ядра усе зрозуміло, базисні функції є її власними, і дію інтегрального оператора з такою ядром еквівалентно множенню на постійну, що є власним значенням порожнього резонатора: (9.46) Інтегральний оператор з іншим доданком ядра є магнітне полі струму на дзеркалах, розпорошеного кулею.

Щільність струму поставив у вигляді, а розпорошеного полі розраховується лежить на поверхні дзеркала.

За позитивного рішення (9.39) розрахунок розсіяного кулею поля проводиться аналітично.

Проте таку ж процедуру можна провести чисельно, і тоді обмеження на формулу диэлектрического зразка значною мірою знімаються.

Для розрахунку розсіяного поля будемо застосовувати інтегральне рівняння (3.85).

Діелектричний зразок то, можливо довільним тілом обертання, зокрема диском.

Після прочитання цих загальних міркувань розглянемо процедуру рішення (9.45) послідовно.

Функція U (x) шукається як (9.47) Відповідно до методом Галеркина (див.

додаток 2) підставляємо (9.47) в (9.45), потім множимо на і повторно інтегруємо по котра утворює дзеркала.

З урахуванням ортонормированности базисних функцій має однорідну СЛАУ (9.48) де — власні числа рівняння невозмущенного резонатора [див.

(9.46)].

Елементи матриці СЛАУ виражаються інтегралами (9.49) Останню формулу треба думати як символічну.

Вона еквівалентна процедурі розрахунку розсіяного поля, описаної вище.

Зупинимося у ньому докладніше.

Спочатку необхідно знайти поле, на поверхні диэлектрического тіла, створене струмом виду на дзеркалах.

Це можна було б зробити з допомогою (3.8), (3.9), проте є простіший шлях, якщо обмежитися розглядом тіл невеликих, значно менших діаметра дзеркал.

Тоді можна скористатися наближеним вираженням для поля була в резонаторе, відповідним наближеним функцій струмів на дзеркалах.

На рис.

9.6 представлені графіки розподілу струмів на дзеркалах, відповідні нижчого типу коливань і колебанию, має варіацію по радіусу.

Резонатор конфокальный з параметром.

Поблизу осі щільність струму, описувана гиперсфероидальными функціями (криві 1), мало від експоненційною функції, помноженою на полиномы Лагерра (криві 2), т.

е.

від гауссова пучка [68].

Радіальне розподіл відрізняється лише масштабом по радіусу.

Отже, будемо описувати полі резонаторе поблизу нього центру наближеним. вираженням як гауссова пучка (9.50) де; R — радіус кривизни хвильового фронту; W — радіус «освітленого плями» в пучку.

Остання величина окреслюється радіус, на Рис.

9.6.

Порівняння точних і наближених кривих для гиперсфероидальных функцій: 1 — точні, 2 — наближені криві якому інтенсивність пучка спадає в е раз стосовно центру пучка.

Характерною величиною кожному за пучка є найменший радіус «плями».

Що стосується резонатору — це радіус «плями» у центрі, який із довжиною резонатора 1: (9.51) 1 Як і раніше, все довжини передбачаються умноженными на хвилеве число, яке тут відповідає дійсною частини власної частоти невозмущенного резонатора.

Величини W і R повільно змінюються вздовж резонатора: (9.52) (9.53) У центрі резонатора Природно в резонаторе існують чимало, а через два зустрічних гауссовых пучка, і поблизу центру полі основний моди у наближенні гауссова пучка має вигляд (9.54) На дзеркалі для конфокальной геометрії резонатора відповідно до (9.51)—(9.53), і розподіл струму має вид1 (9.55); Для наступного коливання «1, 0, q» полі центрі резонатора представляється формулою (9.56) і дзеркалах (9.57) Отже, полі резонаторе без зразка, відповідне різним модам, у наближенні гауссова пучка неважко записати.

Воно ж виконує функцію первинного поля для завдання порушення диэлектрического зразка.

Обчислюємо еквівалентні струми лежить на поверхні диэлектрика в припущенні, основна поляризація поля.

У позначеннях § 3.3 маємо: 1 Нагадаємо, що у відкритих резонаторах з круглими дзеркалами прийнята наступна індексація мод: перший індекс — число варіацій по R, другий — число варіацій по, а третій — число варіацій по (9.58) Тепер потрібно повернутися до азимутальным гармоникам виду, оскільки ЕОМ — програми для діелектричних тіл обертання зроблено стосовно них.

Первинні струми є суму першою і мінус першої гармонік.

Отож кожну з на них можна виділити, використовуючи формулу Эйлера.

Через війну виконання завдання порушення диэлектрического тіла, а конкретно диска, отримуємо значення еквівалентних струмів в дискретних і часто розташованих точках котра утворює.

Залежність від цих струмів відома.

Якщо об'єднати струми першою і мінус першої гармонік, вона такою ж, як і в первинних струмів (9.58).

Наступний етап — обчислення розсіяних диском полів на дзеркалах.

І тому використовуються формули (3.8), (3.9).

Выра жения для елементів тензорной функції Гріна слід упрос тить, як і за виведення рівнянь (9.5)—(9.8), т.

е.

покласти, а функції використовувати асимптотическую формулу (9.22).

Остання містить множник, враховує набіг фази на половині розміру резонатора (відстань від зразка до однієї з дзеркал).

Той самий набіг фаз є у первинному для диэлектрического зразка полі.

Цей зрушення присутній й у (9.56) і (9.57).

Усе це дозволяє винести за знак інтеграла множник, той самий, як і з основного ядра.

Цей множник, як й раніше, дає основну частотну залежність.

Ядра ж без нього від частоти залежать слабко, і над ними частота потрібно було рівної дійсною частини власної частоти порожнього генератора.

Нині вже можна визначити елементи матриці (9.48).

Для визначення елемента береться розпорошеного полі, порушена нульової модою порожнього резонатора, т.

е.

потім вона відповідно до (9.49) домножается на (9.55) і інтегрується.

У цьому пам’ятаймо, що базисні функції передбачалися нормированными.

Тому функцію (9.55) необхідно попередньо пронормировать.

З огляду на осьової симетрії системи поверховий інтеграл (9.49) можна в координатах обертання.

Інтеграл по береться аналітичним, а, по радіальної координаті - чисельно.

Інші елементи знаходяться точно як і.

Далі вирішується завдання за власні значення, та був з допомогою формул (9.40) і (9.41) перебувають зміни добротності і зрушення частоти.

2.2 ІНТЕГРАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ВІДКРИТОГО РЕЗОНАТОРА З ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ДИСКОМ, НЕСООСНЫМ З ДЗЕРКАЛАМИ [72] Під час проведення вимірів параметрів диэлектрика зразок як диска часто зручніше розмістити несоосно з дзеркалами і зокрема, те щоб осі резонатора і диска були перпендикулярні (рис.

9.7).

Таке розташування диска порушує осьову симетрію завдання.

У випадку відхід осьової симетрії дужесильно ускладнює рішення, оскільки втрачається основна перевага систем обертання — незалежність окремих азимутальных гармонік полів.

Рис.

9.7.

Геометрія відкритого резонатора з несоосными дзеркалом і диском Однак у аналізованої завданню аналізу полів в высокодобротном відкритому резонаторе несоосность вносить технічні, але з принципові труднощі.

Справді, для вимірів параметрів діелектричний зразок береться невеликим проти розмірами резонатора.

Тому його в резонатор не призводить до переходу в іншу моді, а лише кілька змінює добротність і резонансну частоту тієї моди, яка була без диэлектрика.

Отже, з допомогою фільтруючих властивостей резонатора нових азимутальных гармонік не з’являється й основна труднощі в несоосных системах обертання знімається.

Треба тільки стежити, щоб у інших азимутальных гармониках у порожнього резонатора був неподалік частоти робочої моди інших высокодобротных мод.

Метод виконання завдання залишається загалом тим самим, що у попередньому параграфі, але з декотрими ускладненнями.

Головне їх — це необхідність запровадження двох систем координат обертання: однієї, що з дзеркалами резонатора (вісь у}, і друге, що з диэлектрическим тілом (вісь z) (рис.

9.7).

Поле, розпорошеного диском, не має тепер осьової симетрією стосовно дзеркал, що дуже утрудняє інтегрування поверхнею дзеркал, необхідне при застосуванні методу Галеркина.

Розглянемо тепер етапи виконання завдання.

Як і раніше, в методі Галеркина як базису використовуються власні функції порожнього резонатора, а точніше, їх близьке подання до вигляді гауссова пучка.

Нехай центр диска як і збігаються з центром резонатора, а вісь його симетрії повернена на 90° стосовно осі резонатора (див.

рис.

9.6).

Рішення починається з перебування азимутальных гармонік падаючого стосовно диску поля і лобіювання відповідних йому первинних струмів.

Падаюче полі поблизу диска виражається функціями (9.54) і (9.56), що з урахуванням зміни системи координат запишемо так: (9.59) (9.60) Поклавши, основна поляризація поля була в резонаторе.

Еквівалентні струми в координатах обертання, що з диском, тоді мають вигляд: (9.61) Тут, як й у (9.58), використані позначення § 3.3.

Перехід від декартовых до координатам обертання дає (9.62) Коефіцієнти А, У і D залежить від форми поверхні, де перебуває точка спостереження.

На пласкому торці (- радіус диска, — його товщина); на циліндричною поверхні.

Скористаємося малістю диэлектрического тіла проти розмірами резонатора, т.

е.

врахуємо, що чи і.

Це дає можливість уявити експоненти двома членами низки Тейлора.

(9.63) Після цього струми записуються як (9.64) Для наступного типу коливань «10 q» висловлювання для первинних струмів мають той вигляд, але A1=3A, D1=3D, B1=B.

Далі поля розкладаються до кількох Фур'є.

Оскільки тіло невелика, можна обмежитися невеликим числом гармонік.

Використовуючи формули для коефіцієнтів низки Фур'є і інтегральне уявлення функції Бесселя (9.21), отримуємо висловлювання для гармонік падаючих струмів.

Причому у силу симетрії у разі синфазных струмів на дзеркалах присутні непарні гармоніки, що він відповідає максимуму поля резонатора у сфері диска: (9.65) Тут.

Перехід до негативним індексам відбувається як і, як й раніше.

Після обчислення первинних струмів використовується алгоритм виконання завдання порушення тіла обертання, заснований на рівнянні (3.85).

Результат виходить як розподілу азимутальных гармонік плотностей еквівалентних струмів лежить на поверхні диэлектрика.

Далі за цьому розподілу неважко розрахувати розпорошеного полі усюди, і зокрема лежить на поверхні дзеркала.

Як і § 9.4, це полі, і визначає елементи матриці однорідної СЛАУ (9.48).

Розрахунок ведеться у тих-таки приближениях з урахуванням зміни системи координат.

Зокрема, асимптотическая формула для функції у тих координатах має вигляд.

(9.66) Істотні труднощі викликає обчислення з дитинства інтегралів (9.49), визначальних елементи матриці СЛАУ (9.48).

Інтеграл тут поверховий, т.

е.

подвійний, і чисельна інтегрування вимагають великих витрат часу ЕОМ.

Виходом з положення є аналітичне обчислення однієї з з дитинства інтегралів.

І тому можна скористатися тим, що у напрямі, перпендикулярному осі (див.

рис.

9.7), кожна гілка азимутальных гармонік розсіяного поля має синусоидальную залежність.

Формально зручно вести це інтегрування по декартовой координаті не більше від до.

Залежність поля буде синусоидальной лише з окружності з центром, співпадаючим з диском1.

Відмінність цієї окружності від меридіональної лінії дзеркала врахуємо лише у фазі.

Поправочний множник, як свідчить геометричний розрахунок, має вигляд.

Залежність поля кожної гармоніки від на дзеркалі то, можливо представлена лише у числах, тому інтеграл по не більше — береться чисельно.

Таким шляхом дійшли інтегралу (9.67) де — гиперсфероидальные функції, які беруться у наближенні гауссова пучка, т.

е.

як (9.55) і (9.57).

Формула (9.67) враховує векторний характер поля.

Усі досліджують припущенні, основна поляризація в резонаторе і, отже,.

У розсіяному полі під час використання методу Галеркина потрібно опановувати таку ж поляризацію.

Вона, у координатах обертання, що з диском, є.

Інтеграл по, як говорилося, можна взяти аналітично.

Без упину на подробицях, їх можна знайти у [72], зауважимо, що це інтеграл можна зводити до неповної гамма-функции.

Для обчислення останньої є швидко сходящиеся ряди.

Перебування одномірного інтеграла по численным методом праці технічно нескладне.

Розглянемо наслідки розрахунків.

Якісно вони такі ж, як у разі кулі (§ 9.3).

Зі збільшенням дійсною частини діелектричним проникності диска зростає усунення частоти (рис.

9.8,а).

Несправжня частина, т.

е.

з цього величину впливає не дуже.

Зміна зворотної величини до добротності також зі зростанням з допомогою розсіювання на диску.

Несправжня частина проникності помітно впливає «зміну добротності лише за, коли омические втрати у зразку порівнянні з утратами резонатора з допомогою розсіювання на диску (рис.

9.8,6).

1 Окружність показано на рис.

9.7 тонкої лінією.

a).

б).

Рис.

9.8.

Зрушення резонансної частоти й зміна добротності відкритого резонатора з диском як функція диска Рис.

9.9 Зміна добротності відкритого резонатора з диском як функція диска Рис.

9.10.

Порівняння параметрів резонатора з диэлектрическим кулею і диском До того ж висновку приходимо, розглядаючи параметр як функцію щодо різноманітних значень.

Очевидно, що зі збільшенням крива стає дедалі пологою й витягування інформація про диэлектрического зразка стає дедалі проблематичним (рис.

9.9).

Якщо брати, що 10%-ная частка омических втрат ще помітна і натомість втрат на розсіювання, то області можна виміряти порядку, а при лише величини.

Отже, методом відкритого резонатора можна вимірювати втрати тільки дуже поганих діелектриків.

Розрахунок зв’язку параметрів диэлектрика і характеристик резонатора для кулі все-таки простіше, ніж для диска.

Тому виникає запитання, чи можна встановити відповідність між зразками у вигляді кулі і диска.

Як параметра відповідності природно взяти обсяг диэлектрического зразка.

Для цього він було спрямовано усунення власної частоти й зміна зворотної величини добротності для кулі і диска з обсягом.

Виявилося (рис.

9.10), що це залежності, якісно однакові, кількісно різняться помітно.

Тож отримання прийнятною точності вимірів необхідно тарировочные криві будувати з урахуванням адекватної математичну модель.

ВИСНОВОК, ПЕРСПЕКТИВИ Метод інтегральних рівнянь в електродинаміки з’явився порівняно нещодавно Грузія й швидко набув популярності.

Цьому сприяв низку його переваг: простота методу і, отже, його доступність; єдність підходів до вирішення дуже кола завдань; зручність реалізації як обчислювальних програм алгоритмів, у ньому заснованих, і, нарешті, високий рівень універсальності.

Зупинимося на зазначених рисах методу кілька докладніше.

Єдність підходів до великого колу завдань означає, з гол.

2 і трьох, що інтегральні рівняння, еквівалентні різним граничним завданням електродинаміки, складаються за одним й тому стереотипу.

У цьому для завдань на тілах обертання не потрібно проходити стадію рівнянь для довільних тіл.

Истокообразные уявлення (3.8) і (3.9) разом із формулами для елементів тензорной функції Гріна дозволяють «легко і швидко, приблизно таке само як зі значних блоків споруджують будинки, складати необхідні рівняння.

Ті ж «великі блоки» як підпрограм дляфункції для елементів тензора Гріна і рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь дозволяють досить швидко і компонувати програми всім сформульованих у книзі завдань й багатьох інших.

Ті ж підпрограми дають можливість після чисельного рішення рівнянь знайти полі будь-якій точці простору.

3 МЕТОД НВЧ КОНТРОЛЮ ПАРАМЕТРІВ ПОЛІМЕРІВ Для контролю технологічних параметрів полімерів (якості усунення, визначення включень, в’язкості) знаходять застосування радиоволновые методу НВЧ.

Розглянемо метод, що характеризується визначенням объёмной ефективної площі розсіювання (Епр).

Епр це площа поперечного перерізу деякого фіктивного тіла, яке розсіює електромагнітну до однієї, Епр істотно залежить від форми м орієнтації тіла, з його матеріалу Епр, разрешаемого обсягу заповненого частинками (елементарними відбивачами), виражається твором.

Так для реальних полімерних матеріалів потрібно знати розподіл частинок у розмірам розміри частинок в одиниці обсягу розподілені по груп, і в 1-ї групі міститься часток отримують за афективної площею розсіювання, то питома об'ємна Епр (1) Епр однієї сферичної частки, діаметр яких багато менше довжини хвилі, визначається за формулою (2) Коефіцієнт, виражений через комплексний показник заломлення змінюється від для частинок наповнювача.

Практично більшість об'єктів полімерних структур з наповнювачем питому Епр можна сформулювати формулою (3) Множник (4) може бути отражаемостью, яка від концентрації та розміру частинок в разрезаемом елементі.

Зміна бази хвилі бреши відображенні можна висунути зі відокремлення напряженностей поля падаючої () і відбитій () хвиль:, (5) Модель цієї комплексної величини, має розмірність довжини, визначає інтенсивність відображення.

Аргумент свідчить про зміна фази хвилі для відсічі.

Коли дивитися на прийом і що передачу однією і тугіше антену, тобто.

однаковою (узгодженої) поляризацією, помножимо вираз на комплексно сполучену величину, У результаті дістаємо Це означає, що й ефективна площа — площа квадрата, то модель ефективної довжини — це сторона того квадрата; - - точне відстань до джерела, визначального фазу коливань.

Для поляризованого коливання напруженість регулярного електромагнітного поля виражається вектором, що обертається з кутовий швидкістю і поклала край якого описує еліпс у площині перпендикулярної напрямку поширення.

Якщо поширення відбувається у напрямі осі прямокутної системи координат, обумовленою ортами, то еліптично поляризована хвиля виражається складовими до повністю описується чотирма параметрами: амплітуда, і фазами ?

Проте чи всі ці параметри характеризують поляризацію.

Однаково поляризованими називаються хвилі, які мають еліпси поляризації подібні і однаково орієнтовані.

Абсолютна значення амплітуд, впливають тільки розміри еліпсів поляризації, початкова фаза, однакова для обох складових, верб є поляризационными характеристиками.

Отже стан поляризації пласкою хвилі можна повністю визначити двома параметрами (мал.1).

Мал.1 Еліптично поляризована пласка хвиля Як таких параметрів можуть бути ставлення амплітуд і зрушення фаз? ортогональних складових; ставлення амплітуд часто заміняють кутом.

Поляризацію можна також ознайомитися поставити величинами, безпосередньо котрі характеризують форму і орієнтацію еліпса: ставлення головних осей еліпса кутом і кутом нахилу головною осі (мал.1).

Система координат, у якій представлено поляризоване коливання, то, можливо задана парою одиничних взаємно перпендикулярних векторів ,.

Такі ортогональные вектори — орти — називаються поляризованим базисом.

У поляризованому базисі (,) вектор можна вираженням де, і , — модулі і фази комплексних амплітуд, складових напруженості електричного поля відповідно.

Якщо, то поляризація линейна, при вона еліптична.

При кругової поляризації амплітуди складових однакові, а фази зсунуто на 90°.

Поляризаційні перетворення для відсічі можна рівняннями связывающими ортогональные складові напруженості нуля падаючої () і відбитій () хвиль, взятих у тому ж поляризационном базисі ().

Кілька цих висловів можна записати в матричної формі.

Таблицю комплексних величин називають матрицею розсіювання.

У цьому записи матриця розсіювання освічена поляризационными складовими ефективної довжини мети.

Надалі розглядатимемо як основного характеристики мети матрицю ефективної довжини Матрицю ефективної довжини доцільно у вигляді де Отже, щоб отримати матрицю ефективної довжини мети для однокомпозиционной схеми виміру (тобто.

антена є приймальні до передавальної досить знайти значення модулів матриці і розмірностей їх аргументів .Для этог0 здійснюють зцілення і достойний прийом сигналів обох складових обраного поляризационного базису роздільно.

При випромінюванні електромагнітних волі вертикальної поляризації і за прийомі вертикально і горизонтально поляризованих складових відображеного сигналу, можна виміряти модулі і фаз.

При випромінюванні величин із горизонтальним лінійної поляризацією знаходять відповідно і.

Основна труднощі з’являється з прямою вимірі різниці фаз.

І тому потрібно випромінювати роздільно за часом або за частоті два зондирующих коливання: із горизонтальним і вертикальної поляризацією.

ЛІТЕРАТУРА Фок У.

А.

Дифракція на опуклому тілі.

— ЖЭТФ, 1945, т.

15, № 12, з.

693 — 698 Васильєв Є.

М.

Порушення рівного ідеально яка проводить тіла обертання.

— Изв.

Вузів СРСР.

Сер

Радіофізика, 1959, т.

2, № 4, з.

588 — 601.

Андерсеан А.

Д.

Розсіювання на циліндрах з довільним поверховим импедансом.

— ТИИЭР, 1965, т.

53, № 8, з.

1007−1013.

Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль До.

Теорія дифракції.

— М.: Світ, 1964.

— 428 з.

Марков Р.

Т., Чаплін А.

Ф.

Порушення електромагнітних хвиль.

— М.: Радіо і зв’язок, 1983 — 296 з.

Арнольд У.

І.

Звичайні диференціальні рівняння.

— М.: Наука, 1984.

— 271 з.

Тихонов А.

М., Самарський А.

А.

Рівняння математичної фізики.

— М.: Наука, 1972.

— 735 з.

Обчислювальні методи в електродинаміки / Під ред.

Р.

Миттры.

— М.: Світ, 1977.

— 485 з.

Панасюк У.

У., Саврук М.

П., Назарчук З.

Т.

Метод сингулярних інтегральних рівнянь в двомірних завданнях дифракції.

— Київ: Наукова думка, 1984.

— 343 з.

Михлин З.

Р.

Вариационные методи в математичної фізиці.

— М.: Наука, 1970, — 420 з.

Хижняк М.

А.

Функція Гріна рівнянь Максвелла для неоднорідних середовищ.

— ЖТФ, 1958, т.

28,№ 7, з.

1592 — 1604.

Кравцов У.

У.

Інтегральні рівняння в завданнях дифракції.

— У кн.: Обчислювальні методи лікування й програмування.

— М.: Вид-во МДУ, 1966, вип.

У, з.

260 — 293.

Васильєв Є.

М., Гореликов А.

І., Фалунин А.

А.

Тензорная функція Гріна координатах обертання.

— У кн.: Рб.

науково-методичних статей по прикладної електродинаміки.

— М.: Вищу школу, 1980, вип.

3, з.

3 — 24.

Белостоцкий У.

У., Васильєв Є.

М.

Інтегральне рівняння сферичного відкритого резонатора з диэлектрическим кулею.

— У кн.: Обчислювальні методи лікування й програмування.

— М.: Вищу школу, 1978, вип.

2, з.

101 — 111 Васильєв Є.

М., Серегина А.

Р., Седельникова З.

У.

Дифракція пласкою хвилі на тілі обертання, частково вкритому шаром диэлектрика.

— Изв.

Вузів СРСР.

Сер

Радіофізика, 1981, т.

24, № 6, з.

753 — 758 Хемминг Р.

У.

Чисельні методи.

— М.: Наука, 1972.

— 400 з.

Васильєв Є.

М., Малов У.

У., Солохудов У.

У.

Дифракція поверхневою хвилі на відкритому кінці круглого полубесконечного диэлектрического хвилеводу.

— Радіотехніка і електроніка, 1985, т.

30, № 5, з.

925 — 933.

Фокс А., Лі Т.

Резонансні типи коливань в интерферометре квантового генератора.

— У кн.: Лазери.

— М.: Іл, 1963.

— 155 з.

Каценеленбаум Б.

3., Сивов А.

М.

Сувора завдання про вільних й вимушені коливаннях відкритого резонатора.

— Радіотехніка і електроніка, 1967, т.

12, 11, з.

1184- 1193.

Вайнштейн Л.

А.

Відкриті резонатори і відкриті волноводы.

— М.: Рад.

радіо, 1966.

— 475 з.

Slерiаn У.

Ргоbаtе spheroidal wave function, fourier analisis and uncertainly — 1У.

Extension to many dimension, generalised prolate spheroidal functions.

— Bell System Techn.

J., 1964, v.

143,.

11, р

1042- 1055.

ДОКЛАДАННЯ Додаток, А Теорему продолжимости для функцій спектральною щільності Це додаток належить до теоремі продолжимости для функцій спектральною щільності, яке обговорювали розділ Ш-Е.

Припускається, кожна околиця кожної точки в До має суворо позитивнуміру.

Це умова гарантує, що кореляційні вектори, відповідні імпульсам в До, може бути аппроксимированы у вигляді кореляційних векторів, відповідним безперервним, суворо позитивним функцій спектральною щільності.

Теорему продолжимости для спектральних функцій щільності: Якщо кожна околиця кожної точки в До має суворо позитивну міру, то 1/если рівномірно обмежена від нуля по До, то, 2/если, то декому безперервних, суворо позитивних функцій.

Доказ: Перше твердження то, можливо доведено у вигляді розгляду відображення обмеженою функції на вектор, визначається шляхом (А1) Те, що має рівномірний обмеження від нуля означає, що з деякого всім.

Оскільки Функції є линейно-незазисимыми функціями на До й, оскільки кожна околиця кожної точки в До містить багато із суворо позитивної мірою, то це означає, що відбитком безлічі обмеженихполиномов (А2) при /A1/, є околиця Про.

Тому відбитком (А3) є підмножина Є, яке у околиці.

Отже,.

Друге твердження то, можливо доведено у вигляді розгляду безлічі кореляційних векторів, відповідних функцій спектральною щільності, що є интегрируемыми, безперервними і, суворо позитивними /отже, обмеженням від нуля/, є опуклим і, із доказів, наведених вище, слід, що — відкрито.

Легко показати., що вектори для перебувають у замиканні.

З теореми Каратеодори [16] слід, кожен то, можливо записаний у вигляді позитивної суми 2 М + I таких.

Оскільки кожна перебуває у замиканні, то це означає, кожен перебуває там-таки.

Тому замиканням є Є.

Два відкритих випуклих безлічі з замиканням повинні прагнути бути ідентичними.

Оскільки Є перебуває у замиканні як, і, то це означає, що Додаток У Теорему уявлення Теорему уявлення розділу IУ-А є простим поширенням теореми Каратеодори [16] для кореляційних векторів за українсько-словацьким кордоном Є з допомогою теореми про продолжимости.

Це узагальнення «теореми З «Каратеодори [9, гол.

4] для багатократних вимірів.

Через виведення методу Писаренко розділ 1У, як лінійної програми, теорема уявлення може також розглядатися, як вид фундаментальної теореми лінійного програмування.

[l8].

Теорему уявлення: Якщо перебуває в кордоні Є, то тут для деяких 2 М неотрицательных та деякі: (В1) Доказ: Розглянемо компактне опукле безліч, що є опуклої оболонкою.

По теоремі Каратеодори,.

будь-який елемент в Є може бути виражений як опуклої комбінації 2М+1 елементів, А (B2) при і.

Якщо одна з одно нулю, доказ завершено.

Інакше, оскільки перебуває в кордоні, є певний ненульовий, такий що (В3) Отже, кожному за, повинні прагнути бути лінійно залежними, отже є певні, в усіх нулі, отже.

Нехай є числом з найменшою значенням, отже для деякого.

Тоді (B4) Одне з цих коефіцієнтів нульовий, що робить рівним цей вислів сумі лише 2 М членів.

Визнання те, що будь-який елемент Є є масштабированной версією елемента, завершує доказ.

Зазначимо, що з випадку тимчасової послідовності, може бути виражений як суми трохи більше, ніж М комплексних экспоненциалов, тоді, як вищенаведена теорема гарантує лише подання до термінах 2 М экспоненциалов, Не недолік докази, а справжня особливість проблеми, як свідчить наступний одновимірний приклад.

Приклад BI :

Припустимо, що перебуває в прямий частини межі і, як показуале див. мал.7.

Зрозуміло, що має єдине подання до вигляді опуклої суми членів На термінах двох кореляційних векторів, відповідних і, Додаток З Одиничність оцінки Писаренко Як обговорювалася розділі IУ-А, опенька Писаренко єдина, якщо одне і лише одне спектр може бути зв’язаний з кожним корреляционным вектором за українсько-словацьким кордоном Є.

Тривіальні проблеми одиничності з’являються внаслідок, якщо дві окремі в ведуть до одного й тому.

Убільш загальному сенсі розглянемо безліч кореляційних векторів, відповідних нульового безлічі деякого ненульового позитивного полинома (С1) Будь-який вектор, що перетворює в нуль внутрішнє твір з р, може бути виражений як суми позитивних складових векторів з багатьох.

Звідси випливає, що й це безліч є лінійно незалежними, ту виставу єдино.

І навпаки, якщо це безліч лінійно залежно, можна побудувати за українсько-словацьким кордоном Є, який має як одного спектрального уявлення.

Якщо безліч лінійно залежно, те є кінцева сукупність ненульових речовинних чисел і, таких що (С2) Оскільки всім, те має бути, по крайнього заходу, одне — суворо позитивне родовищ і одне — суворо негативне.

Отже, (С3) є ненульовим вектором кореляції за українсько-словацьким кордоном Є з, по крайнього заходу, двома спектральними уявленнями.

Тому оцінка Писаренко єдина тоді й тільки тоді, коли безліч кореляційних векторів, відповідних нулю кожного ненульового позитивного полинома, лінійно незалежно.

Зокрема, щоб оцінка Писаренко була єдиною, ніякої ненульовий позитивний поліном неспроможна мати більш 2 М нулів, це основна умова подібно, хоча й так суворо, умові Хаара [23], що містить все полиномы, Не тільки позитивні.

Факторизация полиномов у разі тимчасової послідовності дає сильний результат.

Що стосується тимчасової послідовності ненульовий позитивний поліном може мати трохи більше М нулів.

З іншого боку, ненульовий позитивний поліном буде побудовано тож він нульовий в М більш-менш довільних точках і більше.

Це означає /Приклад 4. I/, що кореляційний вектор в має єдине спектральне подання, і що це спектр складається з і більш-менш імпульсів.

З іншого боку, це, що кожен спектр, що з М більш-менш імпульсів, має кореляційний вектор в.

Проте, простий приклад показує, що немає гарантії те, що оцінка Писаренко буде єдиної більшості багатомірних ситуацій.

Розглянемо ненульовий позитивний поліном (С4) для деякого ненульового.

Нульове безліч включає частина гиперплоскости (С5) яка зараз переживає До.

Багато спектральні основи, мають практичний інтерес, перетинають цю гиперплоскость в нескінченному числі точок, маючи на увазі існування деякого кореляційного вектора за українсько-словацьким кордоном Є з неединственным спектральним поданням.

Проблема неединственности аналогічна неединственности в багатовимірної чебышевской апроксимації [24].

ІЛЮСТРАЦІЇ Мал.1 ПІП із трьох ИП Рис. 2 Спектральна основа для грати ПІП: I — основа Рис. 3 Є. і Р для і.

/а/ Перетин Є. і Р при і /b/ Перетин Є. і Р при.

Рис.

4 Є. і Р для і.

/а/ Перетин Є. і Р при і /b/ Перетин Є. і Р при.

Див. Мал.5 Апроксимація спектральною основи у вигляді вибірки; перетин при Див. Мал.6 Розпад вектора на вектор за українсько-словацьким кордоном Є плюс кратну даного вектора.

Див. Мал.7 Є для і.

/а/ Перетин по Є при і /b/ Перетин по Є при.