Математические підстави геоморфологии (за 57-ю статтею О.С. Девдариани)

Математические підстави геоморфологии (за 57-ю статтею О.С. Девдариани)

Предметом даного реферату є визначення об'єкта дослідження та виклад у загальних рисах змісту геоморфологии в термінах теорії множин, математичної логіки й топології. Використаний наявний досвід застосування елементів теорії множин і математичної логіки в геології (Косигін, Воронін та інших., 1964, 1965 та інших.; Геологія і математика, 1967) і географії (Родоман, 1967).

Начнем з математичного визначення об'єкта вивчення геоморфологии — земної поверхні, розуміючи під нею поверхню літосфери чи поверхню розділу літосфери з гідроі атмосферами. У масштабах макросвіту, досліджуваного в геоморфологии, дискретним, молекулярно-атомарным будовою оболонок Землі можна знехтувати і розглядати їх як суцільну середу, тобто. як нескінченно велике безліч матеріальних точок, кожна з яких має зникаюче малі розміри. Слово безліч можна розуміти тут у сенсі, придаваемом йому в повсякденній мові, і у математиці. Але загалом, тоді як повсякденній мові під безліччю розуміється велика кількість об'єктів, то математиці це сукупність будь-якого числа однорідних у літак якихось відносинах об'єктів, чи елементів довільній природи. Безліч матеріальних точок p. s Землі позначимо через P. S. Ставлення приналежності елемента p. s до безлічі P. S можна записати словесно: «p.s приймає значення на безлічі P. S», чи «з багатьох P. S», або символічно: , де — знак принадлежности.

Множество P. S матеріальних точок Землі існує у фізичному просторі, що у геоморфологии припустимо розглядати, як ньютоново простір. Становище кожної точки p цього простору визначається трьома дійсними (тобто. раціональними чи ірраціональними) числами x, y, z. Трійка чисел (x, y, z) називається вектором, оскільки у декартовой системі координат X, Y, Z яку можна розглядати, як три координати радиус-вектора Op точки p. Координата x може приймати значення з багатьох X дійсних чисел, відкладених на осі X; отже, . Аналогічно , . Безліч всіх векторів (x, y, z) називається прямим твором множин і записується як . Це є водночас безліч всіх точок ньютонова простору, отже: . Взагалі, у математиці пряме твір трьох множин дійсних чисел називається тривимірним евклидовым простором; твір n множин дійсних чисел, де n — ціла кількість, називається n-мерным евклидовым простором. Евклидово простір є окреме питання метричних просторів. Так називають простору, у яких можна запровадити метрики, визначивши тим чи іншим чином відстань між елементами простору. У евклідовому просторі це є відстань між точками у звичайному понимании.

Чтобы внести метрики у безліч P. S матеріальних точок Землі, утворюємо пряме твір цього числа й безлічі P точок фізичного простору. Це є чимало всіх векторів , які мають першої компонентної служить якась матеріальна точка p. s Землі, а другий компонентом — якась точка p фізичного простору. Проте чи все вектори , що входять до твір , реально існують. Наприклад, із можливих векторів , , , де  — сама й той самий матеріальна точка, а p1, p2, p3 — різні точки фізичного простору, може реально існувати один вектор, скажімо .

Выделим з безлічі векторів , їхнім виокремленням твір , ті, що відповідають реальному віднайденню даної матеріальної точки Землі у цій точці фізичного простору. Сукупність цих факторів утворює підмножина R безлічі векторів :

(1).

где  — знак включення підмножини у безліч. Вислів (1) є запис відносини відповідності між множинами P. S і P (чи заданого на безлічах P. S і P), перше у тому числі називається областю визначення, а друге — областю значень відповідності. Безліч P. S матеріальних точок p. s Землі відображається відповідністю (1) у безліч P точок p фізичного простору. Крапки p, задовольняють цьому відповідності, називаються образами точки p. s, останні, своєю чергою, є прообразами точок p. Відповідність є узагальнення поняття функції, описуючи як однозначні залежності, коли кожному елементу в галузі визначення (аргументу) відповідає сам і лише одне, елемент в галузі значень (функція цього аргументу), а й багатозначні залежності, коли кожному елементу в галузі визначення відповідає більш як один елемент в галузі значень, як це має місце, наприклад, для стохастичних связей.

Поскольку кожна матеріальна точка Землі збігаються з однієї, і лише однієї, точкою фізичного простору, відповідність (1) є функціональним, однозначним від P. S до P. Його можна зробити взаимнооднозначным, виокремивши з-поміж безлічі P підмножина P. s тих точок фізичного простору, із якими збігаються матеріальні точки Землі, і звузивши область значень відповідності (1) цього підмножина. Через війну одержимо відповідність: . Установивши взаимнооднозначное відповідність між множинами P. S і P. s, отримуємо можливість внести у безліч P. S метрики з простору P, чи, інакше кажучи, визначати відстані між матеріальними точками Землі як відстані між точками евклидова пространства.

Теперь можна скористатися поняттям про околиці деякою точки p. s безлічі P. S. Так називають безліч точок p. s, що є всередині сфери довільного радіуса r з центром у цій точці. Виділимо з безлічі P. S матеріальних точок Землі підмножина L точок l літосфери і підмножина A точок a гідроі атмосфери. Будь-яка точка l літосфери, як завгодно мала околиця якої містить лише точки безлічі L, називається внутрішньої точкою безлічі L. Так визначаються внутрішні точки безлічі A. Множество M точок m, околиці яких містять точки як безлічі L, і безлічі A, називається в топології кордоном між множинами L і A.

Границу між множинами годі й включати у жодне їх, а можна приєднати до будь-якого з цих множин. Речовина літосфери має набагато меншою рухливістю, ніж речовина гідроі атмосфер. Тому межу між множинами L і A зручніше приєднати до безлічі L, розглядаючи її як зовнішню кордон літосфери —земну поверхню. Однак у такому вигляді цей кордон, володіючи і геометричними, і речовими властивостями, є вивчення як геоморфологии, але й геології та грунтознавства. Якщо чітко визначати об'єкт вивчення геоморфологии і відокремити його від об'єктів вивчення геології та грунтознавства, то доводиться прийняти, що завданням геоморфологии вивчення лише геометричних, але з речовинних властивостей земної поверхні. У математичної формулюванні це, що об'єктом вивчення геоморфологии можна вважати не саму кордон безлічі L, та її відображення у просторі P, тобто. поверхню в тривимірному евклідовому просторі, прообразом якої є безліч M точок зовнішнього кордону літосфери. Такий підхід анітрохи виключає розгляд у геоморфологии речовинних властивостей земної поверхні, які в розгляд нижчий за числі рельефообразующих чинників. Разом про те такий виключає розгляду в геології геометричних властивостей земної поверхні як обмеження геологічних тіл. Наведене визначення об'єкта геоморфологии взагалі трактувати, як вузьке, зберігши поруч із ним прийняте нині понад широке означення й давши останньому математичну трактування вигляді простору можливих станів рельєфу, про яку йтиметься ниже.

Свойства земної поверхні як такої описуються геометричними характеристиками g1, g2…, gk, приймають значення відповідно на безлічах G1, G2…, Gk. Ряд геометричних характеристик земної поверхні, наприклад, висоту, ухил, кривизну, практично можна відносити до точці поверхні. Разом про те ці характеристики може бути обмірювані і виражені кількісно, приймаючи, в такий спосіб, значення на безлічі дійсних чисел. Але рельєф є, в термінах теорії систем, складну, ієрархічно, ярусно побудовану систему, що має елементи вищого ярусу, беручи певні відносини між собою, утворюють елементи нижчого ярусу — великих розмірів. У рельєфі елементами найвищого ярусу — самих малих розмірів — є точки земної поверхні. З точок будуються елементи (в геоморфологическом сенсі) форм рельєфу, з елементів форм — самі форми, форму — типи рельєфу. Узагальнений в кібернетиці досвід вивчення складних систем показує, що з них кількісне вираз властивостей елементів та відносин між елементами часто виявляється неможливим. Тож описи стану складних систем доводиться вдаватися до якісним характеристикам, які вживають значення на кінцевих безлічах. Так, тоді як кожній фазі схилу ступінь опуклості чи увігнутості визначається кількісно другий похідною висоти H за відстанню x та приймає значення на безлічі дійсних чисел, то схили як елементи рельєфу ділять на опуклі, , прямолінійні, , увігнуті , тобто. дають їм характеристику, приймаючу значення на кінцевому трехэлементном безлічі. Інший приклад: розрізняючи горбкуватий, низкогорный, среднегорный і високогірний рельєф, ми даємо типам рельєфу якісну характеристику, приймаючу значення на упорядкованому четырехэлементном безлічі. Характеристики рельєфу можуть приймати відвідувачів значення на безлічах функцій, аппроксимирующих його обриси, кореляційних чи спектральних функцій, що описують типи рельєфу, і др.

Вследствие ієрархічного будівлі рельєфу, область (ділянку) земної поверхні, яка припускає експериментальне визначення характеристик рельєфу, далеко ще не може розглядатися у цьому масштабі як точка. Але це загальний випадок автор досліджувати не стал.

Геометрические характеристики рельєфу змінюються у просторі, а й у часі. Тому необхідно провести в розгляд безліч T елементів t часу. Ми звикли й у повсякденного життя, і за наукових спостереженнях над сучасними процесами вимірювати час і думати, що його елементи приймають значення на безлічі дійсних чисел. Проте реальна час, існуюче незалежно від вимірів, не має власної метрики і становить безліч подій, упорядкований ставленням несуворого порядку «раніше — пізніше» (Уитроу, 1964). Цьому визначенню задовольняє відносне геологічне час, елементами якого є кінцеві проміжки. Занумеруємо безліч проміжків минулого часу числами натурального низки 0, 1, 2, 3… Натуральний ряд чисел і безлічі будь-який природи, які можна поставлені у взаимнооднозначное відповідність з нею, називаються рахунковими множинами (на відміну незліченних множин, до яких належить, наприклад, безліч дійсних чисел). Отже, відносне геологічне час приймає значення на кінцевих подмножествах лічильного множества.

Изменения рельєфу викликаються рельефообразующими чинниками, описаними характеристиками, які позначимо . Ці характеристики, подібно геометричних характеристикам рельєфу, можуть приймати відвідувачів значення на безлічі дійсних чисел (сила тяжкості, коефіцієнт тертя, температура), на кінцевих безлічах (типи гірських порід, клімату, рослинності), на безлічі функцій (гранулометрический склад, забезпеченість витрат реки).

Образуем пряме твір уведених у розгляд множеств:

(2).

Введем скорочені обозначения:

;,(3).

где  — знак твори множин, m і n — індекси, яких можуть прибирати значення від 1 до k чи l відповідно. Запис можна зробити ще більше короткій, якщо безлічам, які входять у твір (2), дати однакові позначення: . У цих позначеннях матимемо.

,(4).

где Qu — будь-який з названих вище множин. Утворюємо з цих множин необхідне подальших побудов безліч . Таке безліч (у разі ), елементами якого є знов-таки безлічі (у тому разі Qu), називають системою множеств.

Используя (3) і (4), можна написать.

(5).

Прямое твір множин є, за визначенням, у разі безліч векторів виду (p, t, m, g1, g2, …, gk, b1, b2, …, bl). Кожен з цих векторів описує стан, яке, власне кажучи, може взяти деяка точка рельєфу в певний час, з під впливом певного поєднання рельефообразующих чинників. Безліч цих векторів називатимемо простором W можливих станів рельефа[1]. Як було вказано вище, цей простір так можна трактувати як об'єкт вивчення геоморфологии у цьому широкому розумінні, який надається то справжнє время.

В геоморфологии вивчаються як самі безлічі, із яких побудовані простір W, і стосунки цих безлічах. Особливо важливим видається вивчення отношений.

(6).

соответствия між подпространствами (область визначення відповідності) і (область значень відповідності) простору станів, оскільки відносини відповідності описують зв’язок між явищами. Згідно з (6), по-перше, і , тобто. безлічі і , що входять до області ухвали і значень відповідності, вибираються відповідно з підсистем і системи множин, у тому числі будується простір W можливих станів; по-друге, , тобто. один і той ж безліч неспроможна входити й у область визначення, й у область значень відповідності; по-третє, , тобто. відповідність (6) то, можливо поставлено не так на всіх, а лише з деяких безлічах із системи . Геоморфологический сенс, що може бути вкладено в відповідності виду (6), стане зрозуміло з цих надалі примеров.

Система множин , у тому числі будується простір W, може охоплювати, залежно від розв’язуваних завдань, ті чи дехто з введених у розгляд множин. Проте, ніж загубилися об'єкти вивчення геоморфологии, у будівництві простору W повинні брати участь або безліч M матеріальних точок рельєфу, або хоча б одна з множин Gm, у яких приймають значення геометричні характеристики рельєфу. У символах математичної логіки-це умова запишеться так:

,(7).

Здесь (перегорнута літера Є) — квантор існування, якого читають як «існує хоча б тільки»,  — логічний союз «чи» розділове, вимагає виконання один і одного з пов’язують їм висловлювань. У цілому нині, умова (7) читається як «існує хоча одне б таку силу-силенну Qu (яке у систему множин, у тому числі будується простір станів W), яке задовольняє висловом, укладеним в квадратні дужки, бувши або безліч M, або безліч Gm».

Множества Gm можуть входити як і область значень, так й у область визначення відповідності (6). Нехай маємо условие:

(8).

Здесь (перегорнута літера А) — квантор спільності, має сенс слова «все». Вислів (8) читається як «все безлічі повинні представляти собою тільки безлічі Gm», тобто. областю значень відповідності (6) за дотримання умови (8) може лише ті безлічі, у яких приймають значення геометричні характеристики рельєфу. Сила-силенна, у яких приймають значення рельефообразующие чинники, елементи простору й часу, можуть входити лише у область визначення відповідності (6). Інакше висловлюючись, відповідниками, задовольняючими умові (8), виражаються залежності обрисів рельєфу від місцеположення, часу, рельефообразующих чинників, і навіть взаємозв'язку геометричних характеристик рельєфу. Зрозуміло, що запровадження що така відповідностей належить до завдань геоморфологии, сюди ж віднесемо відповідності, задовольняють приводимому нижче умові (10).

В інших випадках геометричні характеристики рельєфу можуть укладати область визначення відповідності (6), визначаючи собою або значення геологічних, гідрологічних, біогеографічних й інших чинників, які у завданнях, які відповідають умові (8), розглядалися як рельефообразующие, або (в геохронологических дослідженнях) час. Цим випадків відповідає условие:

,(9).

где  — логічний союз «і», що означає, вони повинні виконуватися обидва які пов’язують їм висловлювання. Прикладами завдань що така можуть бути: встановлення залежності характеристик потоку від форми ложа, дешифрування геологічної будови по обрисам рельєфу, вимір часу швидкістю денудации. Віднесення що така завдань до геоморфологии або до суміжним до неї наук у тому мірою умовно. Тих із завдань, які можна зарахувати до геоморфологии, ми називати її прикордонними завданнями. Отже, умова (9) є необхідною, але недостатнім точно як і, втім, як і умова (8), якій можуть задовольняти прикордонні завдання суміжних з геоморфологией наук.

В побудові простору станів рельєфу неодмінно, у явному чи неявному вигляді, має брати участь безліч T елементів часу t. У неявному вигляді, приймаючи значення на одноэлементном безлічі, воно присутній, коли вивчається стан рельєфу в фіксований, сучасний або колишній момент чи проміжок часу. У разі серед аналізованого безлічі елементів часу будь-які два елемента і збігаються: . Явно час вводиться щодо розвитку рельєфу. У цьому ми, очевидно, повинен мати умова, протилежне попередньому, саме: .

В межах внутрішніх завдань геоморфологии, визначених умовою (8), і навіть процитованими нижче умовою (10), можна або враховувати, або враховувати рельефообразующие чинники. У першому випадку має місце умова , у другому . Тут  — знак логічного заперечення «не», який, будучи поставлений перед квантором існування , заперечує його, отже означає «не существует».

Накладывая на простір (5) та відповідності (6) наведені умови, можна поставити основні завдання геоморфологии і виділити розділи науки, у яких решаются.

В межах внутрішніх завдань геоморфологии, тобто. і під час умов (8) чи (10), логічне обгрунтування отримують чотири розділу геоморфологии — геометрія, статика, кінематика і динаміка рельєфу, раніше що виділялися інтуїтивно (Девдариани, 1966).

Геометрия рельефа:

.

Изучаются обриси рельєфу в фіксований момент чи проміжок часу. Найчастіше трапляється завданням геометрії рельєфу є з’ясування відповідностей виду , де під P розуміється двовимірне (карта) чи одномірне (профіль) евклидово простір. Зокрема, позначивши координати точки земної поверхні в тривимірному просторі , і поклавши , одержимо відповідність , під яких від однаковим правом можна розуміти й карту в горизонталях, і аппроксимирующую її функцію .

Другая завдання геометрії рельєфу полягає у встановленні залежностей між різними геометричними характеристиками рельєфу, тобто. відповідностей виду . Прикладом такої відповідності, сформульованого в якісної формі, може бути твердження, що зі зростанням висоти (приймаючої значення на упорядкованому безлічі G1) ухили (приймаючі значення на упорядкованому безлічі G2) переважно (це слово свідчить про неоднозначність відповідності, його імовірнісний характер) возрастают.

Статика рельєфу: .

Изучаются залежності обрисів рельєфу від рельефообразующих чинників в фіксований момент чи проміжок часу. Вочевидь, такі залежності мають геоморфологический сенс, якщо рельєф досяг стійкого рівноваги (наприклад, граничного профілю) і більше не змінюється у времени.

Кинематика рельєфу: .

Изучаются зміни стану рельєфу у часі поза залежність від викликають ці зміни рельефообразующих чинників. У цьому можна використовувати два методу описи руху: а) Локальний метод, коли об'єктами спостереження служать елементи p фізичного простору (наприклад, крапки над карті), в яких з часом t змінюються геометричні характеристики рельєфу g1, g2, …, gk. Відповідність (6) отримує вид.

.(10).

Здесь знак позначає логічне ставлення еквівалентності, зміст якого у цьому, перше висловлювання, яка затверджує присутність у області визначення відповідності (6) безлічі M, вимагає другого висловлювання, гласящего, що областю значень відповідності є тільки маса P, і навпаки. Вислів (10) є згадуваним вище другим поруч із (8) умовою, визначальним внутрішні завдання геоморфологии.

Динамика рельєфу: .

Изучается розвиток рельєфу за чиєї активної чи пасивному вплив рельефообразующих чинників. Прикладом в термінах континуальної математики може бути рівняння розвитку подовжнього профілю річки: , де H — висота точки профілю, A — стала, що залежить від його початкових обрисів; вони є геометричні характеристики рельєфу, приймаючі значення на безлічах G1 і G2 відповідно; t — час, яка набирає значення на безлічі T; F (x) — функція відстані x, приймаючої значення одномірному евклідовому просторі P; m — стала, що залежить від рельефообразующих чинників, приймаючих значення на безлічах B1, B2, …, Bl; e — підставу натуральних логарифмів. Усі перелічені характеристики приймають значення з багатьох дійсних чисел, і наведене рівняння є конкретну форму функціонального відповідності в багатомірному евклідовому просторі станів .

Рассмотрим нескінченну впорядковану послідовність елементів времени:

.

Знак вказує, що стоїть проти нього елемент передує елементу, що стоїть після. Для елементів безлічі дійсних чисел знак рівнозначний знаку < (менше), а  — знаку > (більше). Для елементів часу означає раніше, а пізніше. У зазначеної послідовності найважливішу грань утворює момент (чи проміжок) часу tн, куди зроблено (чи розпочато) контролю над станом аналізованої системи. Для наступних елементів часу, , стану рельєфу визначаються методами інтерполяції і екстраполяції, а попередніх,  — відновлюються історичним і методами, на підставі збережених свідчень минулих станів. Відповідно до цим у кожному із розділів геоморфологии слід розрізняти задачи:

изучения сучасного та прогнозування майбутнього рельєфу, зумовлені умовою ;

изучения минулого рельєфу, зумовлені в кінематиці і динаміці рельєфу умовою , а геометрії і статиці рельєфу — умовою .

Пограничные завдання геоморфологии діляться на прикордонні завдання геометрії рельєфу, коли , і прикордонні завдання кінематики рельєфу, коли за дотримання, зрозуміло умови (9).

Список литературы

Журнал «Геоморфологія», О. С. Девдариани, № 1, 1971 г., с.46−55.

Автором була використана литература:

Геологія і математика. «Наука», Новосибірськ, 1967.

Девдариани О. С. Результати науки. Геоморфологія, вып.1. Математичні методи. Вид. ВІНІТІ, М., 1966.

Косыгин Ю.О., Воронін Ю.О., Соловйов В. А. Досвід формалізації деяких тектонічних понять. Геол. і геофиз., 1964, № 1.

Косыгин Ю.О., Воронін Ю.О. Геологічне простір в якості основи структурних побудов. Стаття 1. Геол. і геофиз., 1965, № 9.

Родоман Б.Б. Математичні аспекти формалізації порайонных географічних характеристик. Вестн. МДУ. Географія, 1967, № 2.

Стинрод М., Чинн У. Перші поняття топології. «Світ», М., 1967.

Уитроу Дж. Природна філософія часу. «Прогрес», М., 1965.

Шиханович Ю. О. Введення ЄІАС у сучасну математику. «Наука», М., 1965.

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.

[1] Автор не накладає ніяких обмежень на безлічі, що входять до пряме твір W, і допускає, зокрема, що є підстави неупорядоченными. Тому безліч векторів, їхнім виокремленням W, перестав бути простором суворо математичному розумінні. Однак автору цих представляється, що у географічних і геологічних цілях таке розширення математичного поняття простору було дуже зручним. І це йшло в розріз із загальною тенденцією розширення поняття простору у математиці від тривимірного евклидова до багатовимірним евклидовым, потім до метричним і далі до топологічним пространствам.