Скалярний добуток двох векторів, його властивості. 
Векторний добуток, його властивості. 
Змішаний добуток трьох векторів, його властивості

Реферат на тему:

Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів, його властивості.

План Скалярний добуток векторів.

Властивості скалярного добутку.

Скалярний добуток векторів, заданих координатами.

Векторний добуток векторів.

Властивості векторного добутку.

Векторний добуток векторів, заданих координатами.

Змішаний добуток векторів.

Змішаний добуток векторів, заданих координатами.

1. Скалярний добуток двох векторів.

називається добуток довжин цих векторів на косинус кута, утвореного векторами, тобто.

.

на одиничний вектор визначає величину проекції вектора на напрямок одиничного вектора.

Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного з них на проекцію іншого на напрям першого.

(рис. 2.12).

Рис. 2.12.

паралельної шляху, дорівнює добутку модуля сили на довжину шляху:

.

тому остаточно одержимо.

.

Скалярний добуток позначається одним з трьох способів:

.

Основні властивості скалярного добутку.

а у нульового вектора напрям - довільний.

— випливає зразу з означення .

.

Тоді.

.

бо добутки взаємно перпендикулярних одиничних векторів дорівнюють нулю, а добутки паралельних однаково спрямованих одиничних векторів дорівнюють одиниці.

Отже,.

(2.9).

тобто дорівнює сумі добутків однойменних координат векторів.

то з (2.9) маємо.

(2.10).

(2.11)

. (2.12).

.

. Тому з формули (2.11) маємо.

. (2.13).

то.

. (2.14).

:

:

якщо вектор

.

маємо.

.

.

Отже, маємо систему рівнянь:

Віднявши від першого рівняння друге, одержимо.

2. Векторний добуток двох векторів.

треба знайти. Очевидно, момент буде повністю визначений, якщо будуть задані:

;

;

3) напрям, в якому діє сила.

так, щоб цей напрямок був деяким однозначним чином зв’язаний з напрямом сили (рис. 2.13 а, б). У ролі такого зв’язку.

(рис. 2.13), то, враховуючи, що.

Рис. 2.13а Рис. 2.13б.

:

.

утворюють ліву трійку.

на вектор

довжина якого чисельно.

утворюють праву трійку.

становить.

.

позначається символом.

.

якщо.

поглянути на напрямки обертання головки свердлика, відповідає тому, який визначається означенням векторного добутку.

.

З означення векторного добутку випливає, що він перетворюється в нуль тоді і тільки тоді, коли хоч би один з векторів дорівнює нулю, або якщо вектори колінеарні (тобто паралельні).

виглядає так:

.

— числовий множник.

Розглянемо векторний добуток векторів, заданих координатами.

Останні три рівності легко запам’ятати за схемою, зображеною на рис. 2.14, рухаючись у напрямку, показаному стрілками. Якщо рухатись.

Рис. 2.14.

у протилежному напрямку, то матимемо.

.

.

.

Враховуючи таблицю одиничних ортів, одержимо.

.

Отже,.

. (2.15).

Основні властивості векторного добутку.

(ця властивість доведена раніше).

.

Доведення цієї властивості випливає з рівності (2.15). Справді, в результаті перестановки множників у добутку 2-й і 3-й рядки визначника в (2.15) поміняються місцями, а це означає, що знак визначника зміниться.

.

Ці рівності теж легко доводяться на основі рівності (2.15).

Читачеві пропонується довести цю властивість самостійно.

до прямої,.

.

.

Отже,.

.

Тому.

.

.

.

Рис. 2.15.

3. Векторно-скалярний (змішаний) добуток трьох векторів.

можливі такі випадки:

.

. Вивченням цього добутку і займемося.

.

- гострий, а якщо цей кут тупий, то об'єм буде від'ємним.

.

Змішаний добуток векторів, заданих координатами.

.

.

Отже,.

або.

. (2.16).

Рис. 2.16.

Висновок. Векторно-скалярний добуток трьох векторів заданих своїми проекціями, дорівнює визначнику третього порядку, складеному з цих проекцій.

З формули (2.16), користуючись тим, що при перестановці двох сусідніх рядків визначника його знак змінюється на протилежний і відповідно переставляються множники у мішаному добутку, вірна така рівність:

.

тобто кругова перестановка трьох множників векторно-скалярного добутку не змінює його величини.

.

. Цей факт очевидний і з геометричних міркувань. Об'єм паралелепіпеда в цьому випадку дорівнює нулю.

(рис. 2.17).

Рис. 2.17.

будуємо паралелепіпед. Його об'єм.

(куб. од.).

Знайдемо площу основи паралелепіпеда:

(кв. од).

. Звідси.

(л. од.).

 — одиничні взаємно перпендикулярні вектори.

Р о з в ' я з о к. Площа паралелограма дорівнює модулю векторного добутку векторів. Тому знайдемо.

бо.

.

.

(кв. од.).