Наближене обчислення означених інтегралів: формули прямокутників, трапецій, Сімпсона

Пошукова робота на тему:

Наближене обчислення означених інтегралів: формули прямокутників, трапецій, Сімпсона.

План Наближене обчислення означених інтегралів.

Формула прямокутників.

Формула трапецій.

Формула парабол (Сімпсона).

Наближені методи обчислення інтегралів В усіх випадках, коли розглянуті раніше методи знаходження первісних, не приводять до мети внаслідок того, що інтеграл не виражається через елементарні функції, і особливо тоді, коли підінтегральна функція задана таблицею (або графіком), доводиться повертатися до означення інтеграла як границі інтегральної суми. На основі цього існує ряд методів наближеного обчислення визначених інтегралів. Тут будуть розглянуті деякі з методів — метод прямокутників, трапецій і Сімпсона як найпоширеніші і широко застосовуваний для програмування обчислень на ПК.

1. Формули прямокутників.

і складемо суми.

і тому наближено виражають визначений інтеграл:

(9.8).

(9.8/).

).

2. Формула трапецій.

Оскільки площа.

Рис. 9.3 Рис. 9.4.

і т.д.,.

або.

(9.9).

меншим, тим з більшою точністю сума в правій частині наближеної рівності (9.9) буде давати значення інтеграла.

3. Формула парабол (Сімпсона) Метод Сімпсона найпоширеніший і широко застосовний для програмування. Його суть полягає в наближенні підінтегральної функції відрізками парабол.

 — деякі параметри (або числа).

Тоді.

можна записати так:

, то одержимо.

формула матиме вигляд:

або.

(9.10).

за формулою Сімпсона є такою:

(9.11).

частин. Якщо одержані двоє значень інтеграла мало відрізняються, то результат можна вважати прийнятним. Порівнюючи їх можна оцінити і точність обчислень.

Приклад. Обчислити з точністю до 0,001 інтеграл.

Р о з в ' я з о к. За формулою (9.10) маємо:

перетворюється на нескінченність.