Розділ 2. Про наближене розв'язування початково-крайової тривимірної задачі теплопровідності з використанням методу інтегральних рівнянь

Числове розв’язування початково-крайових задач математичної фізики є важливою проблемою обчислювальної математики. Розглянемо наближене розв’язування початково-крайової задачі теплопровідності у двозв’язній області. Така задача часто виникає в контексті розв’язування обернених задач реконструкції гладких тривимірних включень. Зокрема, у разі використання ітераційного методу Ньютона на кожній ітерації доводиться розв’язувати прямі задачі теплопровідності [7].

Для напівдискретизації задачі за часовою змінною використовують різні методи — метод Роте [6], який дає змогу отримати перший чи другий порядок апроксимації за часовою змінною; метод Лагерра, похибка апроксимації якого невідома тощо. Ми застосуємо метод, що ґрунтується на використанні перетворення Лапласа та апроксимації оберненого перетворення Лапласа. Такий підхід є ефективним, оскільки у випадку аналітичності вхідних даних він має експоненційний порядок апроксимації. У підсумку вихідна нестаціонарна задача зводиться до сукупності стаціонарних задач, які можна розв’язувати паралельно. Для наближеного розв’язування стаціонарних задач доцільно використати метод граничних інтегральних рівнянь, що дає змогу побудувати ефективний метод розв’язування вихідної задачі з експоненційним порядком апроксимації як для часової, так і для просторових змінних. Головне наше завдання — перевірка застосовності комбінації методів перетворення Лапласа та граничних інтегральних рівнянь, дослідження особливостей практичної реалізації методу та проблем, які виникають у процесі його використання. [1].