Методика вивчення геометричної прогресії, її зміст, властивості, застосування

Ввести поняття геометричної прогресії у 9 класі можна так:

Досі ми розглядали арифметичну прогресію, тобто числову послідовність, в якої різниця між кожним членом, крім першого, і попереднім однакова. А тепер розглянемо таку числову послідовність, в якої частка від ділення кожного члена, крім першого, на попередній однакова. Такі послідовності називають геометричними прогресіями.

Для ширшого кругозору можна навести приклади геометричних прогресій, ввести поняття знаменника прогресії і т. д. Означення можна дати таке: геометричною прогресією називається числова послідовність, яку можна задати рекурентною формулою

b_п= b_п-1/q,

де q — стале число.

Треба добитися, щоб учні вільно записували будь-яку геометричну прогресію у вигляді.

b_1, b₁q_, b₁q²_, b₁q³_,, b₁q^n-1,.

Загальний член цієї прогресії можна дістати, міркуючи за індукцією або розписавши рекурентну формулу.

b_п= b_п-1/q для п = 2, 3, …, п

і помноживши знайдені формули:

b₂=_,b₁q.

b₃=_,b₂q.

b_n-1=b_n-2q.

b_n=b₁q^n-1

Варто підкреслити, що геометричну прогресію, як і кожну числову послідовність, можна задати не лише рекурентною формулою і загальним членом, а й таблично і графічно.

Зробимо кілька зауважень про поділ геометричних прогресій на зростаючі, спадні й коливні. Не всі математики однаково трактують ці поняття.

-½,-1,-2,-4, -спадна а,.

— 8,-2, -½,-1/8, -зростаюча.

А в деяких посібниках сказано інакше: «Геометрична прогресія називається зростаючою, якщо | q > 1, і спадною, якщо |q< 1». Це означення не можна вважати вдалим, бо, згідно, з ним, спадну послідовність -½.-1,-2,-4, послідовність доведеться називати зростаючою прогресією, а зростаючу послідовність -8,-2,-½, — спадною прогресією. Це, зрозуміло, незручно. Автори посібників] так трактують поняття зростаючих і спадних геометричних прогресій, напевно, для того, щоб пізніше можна було виправдати термін «нескінченно-спадна геометрична прогресія». Але замість нього краще вживати інший термія: «збіжна геометрична прогресія». Проте у основній школі окремо таких геометричних прогресій розглядати не треба. Отже, ми вважаємо, що учням краще пояснити так:

— Геометрична прогресія із знаменником q>1 -зростаюча, із знаменником 0 < q < 1 — спадна, якщо b₁ > 0, і навпаки, якщо b₁ < 0.

Іноді розглядають і прогресії із знаменником q=1, їх називають стаціонарними послідовностями.

Знаменник геометричної прогресії не може дорівнювати ну-лю. Наприклад, послідовність 3, 0, 0, 0, … не є геометричною прогресією.

Суму перших п членів геометричної прогресії можна знайти за формулою:

S_n=b₁ (qⁿ-1)/ (q-1).

Під час вивчення прогресій учням бажано пропонувати розв’язувати багато задач і вправ. Для прикладу розв’яжемо задачу.