Узагальнена плоска хвиля

$$\stackrel{}{K}$$.

Розв’язок: Вважаємо, що $$\stackrel{}{H}={\stackrel{}{y}}_0{H}_y$$. Раніше ми показали, що розв’язком рівнянь Максвела є узагальнене рівняння хвилі. Тоді для даних хвиль:

$$H_y=\{\begin{array}{c}\text{пад}\text{.}{e}^{-i{\stackrel{}{k}}_0\stackrel{}{r}}=e^{-i\left(k_{\text{ox}}x+k_{\text{oy}}y+k_{\text{oz}}z\right)}=>e^{-i\left(k_{\text{ox}}x+k_{\text{oz}}z\right)}\\ \text{від}\text{.}R{e}^{-i{\stackrel{}{k}}_o^{в}\stackrel{}{r}}=R{e}^{-i\left(k_{\text{ox}}^{в}x+k_{\text{oz}}^{в}z\right)}\\ \text{зал}\text{.}D{e}^{-i\stackrel{}{K}\stackrel{}{r}}=D{e}^{-i\left(K_{x}x+K_{z}z\right)}\end{array}$$.

(ми розглянули плоску задачу в $$\text{XOZ}$$).

Гранична умова: $$H_{\text{yп}}+H_{в}=H_{\text{yt}}{|}_{z=0}$$. Тоді $$e^{-{\text{ik}}_{\text{ox}}x}+R{e}^{-{\text{ik}}_{\text{ox}}^{в}x}=D{e}^{-{\text{iK}}_{\text{ox}}x}$$, де $$k_0=\raisebox{1ex}{$$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$c$}\right.$$ — $$k_0^{в}=\raisebox{1ex}{$$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$c$}\right.=k_0$$ — $$K=k_0\sqrt{}$$ — коефіцієнти $$D,R$$ не повинні залежати від $$x$$. В цьому випадку $$k_{\text{ox}}=k_{\text{ox}}^{в}=K_x$$ (*). Тоді $$1+R=D$$ (**).

Виходячи з (*), маємо $$=$$. (очевидно якщо відкласти відрізки на малюнку). Аналогічно $$\frac{k_0}{\sqrt{}}\frac{1}{\text{Sin}}=\frac{k_0}{\text{Sin}}$$ .

$$=$$ — перший закон Смеліуса.

$$\frac{\text{Sin}}{\text{Sin}}=\frac{1}{\sqrt{}}$$ — другий закон Смеліуса.

Наближені граничні умови Леонтовича.

Розглянемо ідеальну металеву поверхню. Для неї граничні умови: $$E_{{}_1}=E_{{}_2}=0$$ — $$B_{n_1}=B_{n_2}=0$$. Однак, тут $$=\mathrm{},=0$$ — не враховувалися втрати в металі. Їх врахував Леонтович:

1. 1.Нехай хвиля падає під кутом до поверхні. Леонтович вважав, що якби хвиля не падала, вона йде нормально до поверхні. Це можна пояснити тим, що в металі $$\text{~}{\text{10}}^6$$, тому кут заломлення дуже малий: $$->0$$. Це наближена умова.

2. 2.Леонтович вважав, що в металі розповсюджується звичайна електромагнітна хвиля, в якій $$H_y=\frac{1}{{}_M}{E}_x$$, де $$=\sqrt{\frac{}{}}=\sqrt{\frac{-\mathit{i}}{4}}={}^{\text{'}}+i{}^{\text{'}\text{'}}$$. Ця рівність зберігається і на межі металу. У вакуумі $$\frac{E_x}{H_y}=$$, при цьому $$E_x/=0$$ — $$E_x={\mathit{}}_y$$. Це і є наближена гранична умова.

Відбивання від ідеально провідної границі (метал) ТЕ, ТМ хвилі.

$$E_{\text{yn}}=e^{i{\stackrel{}{k}}_0\stackrel{}{r}}=e^{i\left(k_{x}x+k_{z}z\right)}=e^{i\left(\text{xSin}+\text{zCos}\right)}$$ — падаюча хвиля (індекс «п»). Обираємо знак «+» для $$i{\stackrel{}{k}}_0\stackrel{}{r}$$. Тоді $$E_{\text{yв}}=\text{.}\text{.}\text{.}=-e^{\text{ik}\left(-\text{zCos}+\text{xSin}\right)}$$. Сумарне поле над металом $$\begin{array}{c}{E}_{}{|}_{z<0}=E_{\text{yn}}+E_{\text{yв}}=e^{\text{ik}\left(\text{zCos}+\text{xSin}\right)}-e^{\text{ik}\left(-\text{zCos}+\text{xSin}\right)}=e^{\text{ikxSin}}\left(e^{\text{ikzCos}}-e^{-\text{ikzCos}}\right)=\\ e^{i\left(\text{kSin}\right)x}2\text{iSin}\left(\text{kzCos}\right)=A\left(z\right)e^{\text{iKx}}\text{.}\end{array}$$.

Таким чином, сумарна хвиля розповсюджується в напрямку $$\stackrel{}{x}$$. Отже в результаті розв’язку рівняння Максвела ми маємо хвилю, що падає, і хвилю, що відбита. Сума цих полів дає нову хвилю, що розповсюджується вздовж $$\stackrel{}{x}$$ і є сумою цих двох хвиль. Падаюча і відбита хвиля називаються парціальнимиСумарна зветься неоднорідною плоскою хвилею. Неоднорідна плоска хвиля теж є розв’язком рівняння Максвела.

Властивості неоднорідної плоскої хвилі:

1. 1.Ця хвиля має поздовжні компоненти полів: якщо з’являється а) $$H||x$$ — $$H$$ -хвиля (ТЕ) — б) $$E||x$$ — $$H$$ -хвиля (ТМ).

2. 2.Її амплітуда вздовж хвильового фронту змінюється: $$A\left(z\right)=2\text{SinkzCos}$$ — через це її називають неоднорідною. Плоскою називають тому, що фронт о напрямку розповсюдження $$\left(\stackrel{}{x}\right)$$ .

3. 3. $$K=\text{kSin}=<k=>$$ довжина сумарної хвилі $$$$ вихідних. Фазова швидкість цієї хвилі $$c$$, оскільки в той час, коли вихідна хвиля, а проходить, сумарна хвиля проходить $$d>a$$. За цей же час енергія переноситься на відстань $$c<a$$ — групова швидкість $$c$$ .

а.

Висновок: Існують неоднорідні плоскі хвилі: $$A\left(z\right)e^{-\mathit{i}}$$ — $$/=k_0=\frac{}{c}$$ — $$<k_0$$ — $$=\frac{2}{}$$. Існують компоненти $$E_x$$, $$H_x$$ .