Теорія нечітких множин та клітинних автоматів як інструментарій прогнозу та адекватного відображення стохастичної природи економічних процесів

Практика показала, что в современных условиях, к примеру, для российской экономики с её нестабильностью и финансовыми кризисами, классическая экономическая теория и статистика, построенные на линейных равновесных моделях, оказались малопродуктивными или, более того, неадекватными. клеточный автомат нечеткий множество Антиплановая идеология реформ 1991;1995 гг. совершенно игнорировала тот факт, что планирование — это, прежде всего, определение целей и возможных путей их достижения, а также неотъемлемая составляющая управленческого процесса в любой экономической системе.

Оказалась недееспособной в рыночных условиях хозяйствования и новая структура АПК. Только в 2000;ых годах у хозяйственников новой формации стало появляться понимание того, что аргументированное представление о будущем состоянии экономики в целом и агропромышленного комплекса в частности возможно только на основе применения различных современных методов прогнозирования.

Это и неудивительно, поскольку переход от социалистического планового хозяйства к свободной рыночной экономике является крупным, можно сказать «бифуркационным» поворотом, повлекшим за собой необозримую совокупность «нелинейностей». Именно понятие бифуркации является ключевым понятием нелинейной науки («nonlinear science», как ее называют в англоязычной литературе). По существу, это математический образ «перехода количественных изменений в качественные».

Экономическое прогнозирование имеет огромное значение для развития теории и практики управления экономикой. Необходимость предвидения вероятностного исхода событий в будущем никогда прежде не была столь актуальной, как сейчас. Это связано и с высокой причинно-следственной непредсказуемостью, и коренными социально-экономическими изменениями общества, и мировыми кризисными явлениями. Сложность производственных систем, разнообразие и, во многих случаях, неопределённый характер поступающей информации придают творческий потенциал задаче управления, которая в свою очередь повышает, а зачастую даже ставит человеческий фактор в позицию решающего. Это непосредственно проявляется в возрастающей роли методов экспертных оценок в современном планировании и управлении производством.

Остановимся подробнее на проблеме эффективной подготовки, прогнозирования и формирования управленческих решений в сельском хозяйстве, где все эти действия осуществляются в условиях неопределённости и риска из-за сложности комплексного учёта трудно формализуемых факторов.

В настоящей работе предлагается концепция снижения агроэкономического риска за счет возможностей более точного прогноза урожайностей следующего года, а так же математическая модель и метод для прогнозирования ожидаемой в наступающем году урожайности сельскохозяйственной культуры, рассматриваемой в процессе решения задач землепользования для отдельного хозяйства, района, региона и т. д. Предлагаемая модель базируется на теории и инструментарии нечетких множеств и клеточных автоматов. Исходными данными для неё служат элементы временного ряда урожайностей. Результатом применения предлагаемого метода к указанному ряду является значение ожидаемой в наступающем году урожайности в виде нечеткого множества. К тому же данная работа нацелена не только на получение максимально более точного прогноза ожидаемой урожайности, но и на обеспечение возможно более адекватного отражения стохастической природы моделируемого процесса. Достижение этих целей становится исключительно актуальным в случае практического решения задач землепользования, относящихся к зоне рискового земледелия. Причем, полученные более точные прогнозные значения могут быть использованы в качестве входных данных для построения модели верхнего уровня. Так же они обеспечат реализацию главной задачи научно-информационного обеспечения, а именно эффективного функционирования сельскохозяйственных товаропроизводителей в условиях изменчивости внешней и внутренней среды, связанной с погодным разнообразием, динамикой рыночной конъюнктуры, возможным изменением экологической обстановки, инфляцией и другими внеплановыми факторами.

Неслучайным является и выбор инструментария для решения обозначенной задачи, ведь тема клеточных автоматов очень актуальна на данный момент, т.к. может привести к разгадкам многих вопросов, как в сфере хозяйствования, так и в окружающем мире в целом. В этом исследовании продемонстрирована работа предложенной прогнозной клеточно-автоматной модели на реальных данных, а именно, на данных временного ряда урожайностей сахарной свеклы по Мостовскому району Краснодарского края за период с 1950 по 2005 гг. причем, результат прогноза получается в терминах лингвистических переменных (Н — низкая, С — средняя, П — промежуточная и В — высокая урожайности).

Для целей наглядной иллюстрации, валидации и верификации предлагаемой модели рассмотрим временной ряд урожайностей сахарной свеклы Мостовского района Краснодарского края за период с 1950 по 2005 гг., которые перенумерованы индексом, где; - средняя урожайность (ц/га) сахарной свеклы вом году. С целью визуализации этого ряда на рисунке 1 дано графическое представление этого ряда в виде гистограммы.

Рисунок 1. Гистограмма временного ряда (1) урожайности сахарной свеклы по Мостовскому району с 1950 по 2005 гг.

Для максимального учета долговременной памяти, присущей рассматриваемому временному ряду, предлагается использовать интервальные значения прогнозируемого показателя, для чего весь спектр наблюдаемых урожайностей разделен на четыре альтернативы: оптимистическую (высокий уровень), пессимистическую (низкий уровень), промежуточную и среднюю [3]. Если каждому числовому значению элементов данного временного ряда поставить в соответствие одну из этих альтернатив, то получим интервальный временной ряд или в другой терминологии, лингвистический временной ряд (ЛВР).

Преобразование временного ряда (1) в ЛВР — замена числовых элементов лингвистическими переменными, называемыми термами; совокупность этих термов принято называть терм-множеством [2], которое в настоящей главе обозначаем через При этом принимаем, что множество состоит из трех элементов: — низкая урожайность, — средняя урожайность, — промежуточное значение урожайности, — высокая урожайность. Заменяя элементы ряда (1) соответствующими термами из, получаем ЛВР В работе [6] предлагается строить ЛВР вида (2), опираясь на такой показатель как скользящая средняя. Однако скользящие средние обладают одним принципиальным недостатком, что при их построении практически всегда остается открытым вопрос определения наилучшего порядка. Чаще всего на практике порядок средней определяется эвристически, т. е. интуитивно. В связи с этим в настоящей диссертационной работе предлагается алгоритм преобразования ряда (1) в ряд (2) на базе интервального подхода. Этот алгоритм состоит из трех этапов.

Первый этап начинается с визуализации гистограммы, представляющей ряд (1). На этой гистограмме выделяем жирными точками столбики, составляющие явно высокую урожайность, и столбики, представляющие низкую урожайность (см. рис.1). Далее, соединяя соседние жирные точки пунктирными отрезками, получаем, как показано на рисунке 2 верхнюю огибающую ломанную (ВОЛ) и нижнюю огибающую ломанную (НОЛ).

Рисунок 2. Гистограмма временного ряда (1) урожайности сахарной свеклы по Мостовскому району с 1950 по 2005 гг. после 1-го и 2-го этапов алгоритма.

На втором этапе последовательно для каждого столбика гистограммы рассматриваем отрезок, соединяющий точку его пересечения с НОЛ точкой его пересечения с ВОЛ. Этот отрезок делим на четыре равновеликих интервала: нижний, средний, промежуточный и верхний. Отмечаем на каждом из таких отрезков концы среднего интервала, после чего каждую пару соседних верхних (нижних) концов средних интервалов соединяем пунктирным отрезком, и в результате получаем границы срединной области гистограммы (СОГ) и промежуточной области гистограммы (ПОГ).

На третьем этапе временной, ряд вида (1) преобразуем в ЛВР вида (2), осуществляя окрашивание каждого столбика гистограммы, как показано на рисунке 3. Рассматриваяй столбик этой гистограммы, элемент заменяем термом, если верхняя точка столбика находится ниже СОГ, иначе заменяем термом или П, если его верхняя точка принадлежит СОГ или ПОГ и, наконец, заменяем термом, если верхняя точка этого столбика находится выше ПОГ. Работа третьего этапа, а вместе с ним и работа алгоритма заканчивается тогда, когда элемент ряда (1) заменяется соответствующим термом. Тем самым ЛВР (2) считается построенным.

Рисунок 3. Гистограмма ЛВР (2) урожайности сахарной свеклы по Мостовскому району с1950 по 2005 гг.

Примечание 1. Теоретически возможны случаи, когда вершина рассматриваемого столбика находится на верхней или на нижней границе СОГ. Тогда в первом случае элемент заменяем термом, во втором — .

Для временного ряда (1) в результате применения к нему алгоритма получен конкретный ЛВР, который представлен таблицей 1 и отражает урожайность сахарной свеклы по Мостовскому району.

Таблица 1 — Лингвистический временной ряд урожайности сахарной свеклы по Мостовскому району за период с 1950 по 2005 гг.

Как отмечается в [6,5], временные ряды вида (1) и ЛВР вида (2) обладают долговременной памятью [6]. Последнее означает, что такие ряды аккумулируют информацию о колебаниях погодных условий и их влияние на урожайность сельскохозяйственных культур. Иными словами, в этих рядах заключена информация об определенных закономерностях, которые в научной литературе принято относить к так называемой долговременной памяти.

Её наличие у временного ряда (1) урожайности сахарной свеклы по Мостовскому району подтверждается результатами фрактального анализа [5] или, в более узком смысле, S-анализа [5], примененного к (1). Основная числовая характеристика этого результата заключается в том, что полученные значения показателя Херста колеблются для ряда (1) в пределах от 0,7 до 0,9. Многолетний опыт, накопленный для рядов с таким значением, свидетельствует о том, что в них имеют место долговременные корреляции между текущими событиями и будущими [5]. При этом особенно отметим, что такое поведение урожайности сахарной свеклы в зоне рискового земледелия (в том числе и в Краснодарском крае) представляет собой типичное явление среди подавляющего большинства природных процессов и явлений [6].

В [4] сформулировано предложение, представлять наличие в ЛВР долговременной памяти в терминах и понятиях клеточного автомата, в частности, линейного клеточного автомата. Теория клеточных автоматов утверждает, что «если клетки располагаются линейно вдоль прямой, и каждая клетка находится в определенном состоянии, то состояние соседей слева от рассматриваемой клетки влияют на состояние этой клетки на следующем временном шаге» [1]. В терминах клеточного автомата значение лингвистической переменной в ЛВР (2) (см. таблицу 1) определяетсяконфигурациями т. е. конфигурациями длины в отрезке этого ряда где через обозначаем глубину памяти рассматриваемого ряда.

Из результатов проведенногоанализа вытекает, что для урожайности сахарной свеклы по Мостовскому району значение ограничено сверху цифрой 5. Последнее означает, что для всякого значение лингвистической переменной в (4) или в (2) определяется лишь такимиконфигурациями вида (3), для которых. Алгоритм прогнозирования основывается на частотной статистике переходов в состояния, и всехконфигураций, имеющих место в ЛВР (2).

Через обозначим множество всехконфигураций, которые можно обнаружить в ЛВР (2);, где — это подмножество всехконфигураций в ЛВР при фиксированном. Для рассматриваемых ВР (1) и ЛВР (2) эти подмножества имеют следующий состав:

.

.

Примечание 2. Через обозначим количество всех попарно различныхконфигураций в ЛВР (2). Для принятого терм-множества теоретически возможное количество различныхконфигураций, составляет, в то время как в реальном ЛВР (2), представленного в таблице 1, количество всех таких попарно различныхконфигураций, составляет. Из них, ,, ,. Тем самым фактически количество реальныхконфигураций составляет менее 5,3% от количества теоретически возможныхконфигураций.

Рассмотрим какую-либо фиксированнуюконфигурацию, которую обозначим в виде отрезка Если в ЛВР (2) выделен отрезок, совпадающей с (5), т. е., то по отношению к следующему элементу, условимся говорить, чтоконфигурация (5) переходит в состояние, т. е. в лингвистическую переменную, совпадающую с термом .

В используемом подходе базовым является следующее теоретическое предположение. Пусть последовательность (2) неограниченно растет, т. е. в ряду значение параметра. Если в этой сколь угодно длинной последовательности некоторая конкретная фиксированная конфигурация (5) появляется и при этом всякий раз после нее следует переход в одно и то же состояние, то говорим, что конфигурация (5) обладает памятью. Если имеют место перемежающиеся переходы в два фиксированных состояния, то говорим, что отрезок (5), т. е. l-конфигурация (5) обладает частичной памятью. Если же фиксированная конфигурация демонстрирует переходы в каждое из четырёх состояний, то говорим, что память у данной конфигурации не обнаружена.

По составу представленной выше памяти клеточного автомата можно определённо сказать, что выявлены наличие и глубина памяти ЛВР (2). Длина отрезка лингвистического временного ряда, не превосходящая 5, определяет состояние прогнозируемого показателя на очередном временном шаге.

Анализ конкретного ЛВР, отражающего урожайность сахарной свеклы по Мостовскому району, позволяет сформулировать следующие утверждения:

для всякого отрезка длины 1 и всякого отрезка длины 2 в ряду, память отсутствует (только переход в одно состояние), т.к. всякий раз находились случаи переходов из этих отрезков в 2 или 3 состояния из числа (первые «признаки» наличия памяти (частичной, т. е. переход в два состояния) обнаружились при: уже 64,28% 2-конфигураций, из числа встречающихся в ряду (2), демонстрируют частичную память);

для конфигурации вида (5) демонстрируют переход только в одно состояние (память), т. е. с различной частотой переходы в какое-либо из четырех, и 24,14% 3-конфигураций демонстрируют наличие частичной памяти;

для 85% 4-конфигураций в ряду (2) демонстрирует наличие памяти и 15% демонстрирует наличие частичной памяти, другие случаи отсутствуют;

для все 100% 5-конфигураций вида (5) демонстрируют наличие памяти.

Формирование памяти клеточного автомата завершается вычислением частотной статистики переходовконфигураций (5) в определенное состояние. Эта статистика формируется следующим образом. Сначала, для каждой 1-конфигурации подсчитываем количество ее переходов в каждое из четырех состояний .

На основании переходов можно вычислить эмпирические значения частостей переходов 1-конфигураций в каждое из состояний :

Далее, для каждой 2-конфигурации подсчитываем количество переходов в каждое из трех состояний. Далее можно вычислить эмпирические значения частостей переходов из 2-конфигураций в состояния :

Аналогичным образом вычисляются эмпирические значения частостей переходов из 2-конфигураций НС, НП, СС, СП, СВ, ПН, ПС, ПВ, ВС, ВП, ВВ в .

Далее, для каждого значения рассматриваем множество всехконфигураций, встречающихся в ЛВР (2), мощность. По аналогии с (6), (7) вычисляем эмпирические значения частостей переходов из каждой конкретнойконфигурации в состояние, :

По результатам работы клеточного автомата была проведена верификация и валидация представленной прогнозной модели.

Сначала на примере исследуемого конкретного ЛВР (2), представляющего временной ряд урожайностей сахарной свеклы по Мостовскому району, приведем описание алгоритма прогнозирования, работающего на базе представленной выше прогнозной модели. Ставится задача прогнозирования для рассматриваемого ЛВР неизвестного элемента, на основании известных членов этого ряда, точнее, на основании вычисленных выше частостей вида (6)-(8), для, где — глубина памяти в ЛВР (2).

Прогноз терма представляется в виде нечеткого терм-множества (НТМ), где значение функции принадлежности удовлетворяет равенству. Значения вычисляются через значения частостей вида (4)-(6), получаемых для различныхконфигураций в следующем отрезке ЛВР.

(9).

Сначала согласно (6) вычисляются частости переходовконфигурации в состояния:. После чего, согласно (7), вычисляются эмпирические значения частостей переходов из 2-конфигурации в состояния:. Далее согласно (8) вычисляем значение частостей переходов из 3-конфигурации в в состояния. Если 3-конфигурация демонстрирует наличие памяти, например,, то переходим к вычислению искомых. Для этого сначала вычисляем ненормированные значения.

и их сумму. После нормируем .

Если 3-конфигурация не демонстрирует наличие памяти то рассматриваем 4-конфигурацию, для которой вычисляем частости ее переходов в состояния. Всякий раз к вычислению искомых переходим тогда, когда встретится такаяконфигурация, которая демонстрирует наличие памяти, например, получаем единичное значение частости для терма:. Тогда сначала вычисляем ненормированные значения и значения их суммы После чего, вычисляем искомое значение функции принадлежности для HTM: .

Представленный таблицей 1 ЛВР урожайности сахарной свеклы заканчивается элементом, где соответствует 2005 году. Осуществим прогноз этой урожайности на 2006;й год, т. е. построим для отсутствующего элемента его нечеткое терм-множество. Прогноз осуществляется на качественном уровне, т. е. определенно можно сказать, какая будет урожайность в следующем году: низкая, средняя, промежуточная или высокая.

Учитывая установленную глубину памяти, рассматриваем отрезок ЛВР Для ряда (10) рассматриваем все егоконфигурации,:. Для из перехода (6) получаем:

.

Для, по подобию соотношения (7) получаем значения частостей переходов из 2-конфигурации ВП в термы Н, С, П, В:

.

Для, 3-конфигурация СВП, демонстрирует наличие памяти, в силу чего для ряда (2) процесс вычисления частостей можно прекратить, но для достижения более высокой точности прогнозного значения можно продолжить частотный анализ до исчерпания памяти, т. е. до конфигурации длины 5.

На основании значений частостей (11−12), вычисляем ненормированные значения функции принадлежности:, ,, и их сумму. Далее осуществляя операцию нормирования получим искомое значение функции принадлежности: .

Таким образом, прогноз урожайности сахарной свеклы по Мостовскому району на 2006 год представляется в виде НТМ. В лингвистических терминах этот прогноз можно сформулировать следующим образом: урожайность сахарной свеклы ожидается как промежуточное значение () или, что менее вероятно низкой (). Промежуточные и окончательные результаты работы алгоритма прогнозирования представлены в таблице 2.

Таблица 2 — Промежуточные и окончательные результаты работы алгоритма прогнозирования.

Применительно к понятию «модель», термин «верификация» означает проверку структуры и логики модели, а термин «валидация» означает проверку соответствия данных, полученных на основе модели, реальному процессу. Для реализации этих видов проверки построенной прогнозной модели последовательно рассматриваем лингвистические временные ряды.

(13).

т.е. ряды (13) получаются последовательно путем удаления из ЛВР (2) последних его членов.

Для каждого фиксированного индекса строим прогноз терма, представляемого в виде НТМ .

Пусть, в полученном НТМ, среди чисел максимальным является то число, у которого индекс совпадает с термом ряда (2). Тогда, говорим, что для рассматриваемого индекса прогнозная нечеткая модель привела к непротиворечивому прогнозу. В противном случае, говорим о противоречивом прогнозе для терма .

Для ЛBP (2), соответствующего ряду (1) урожайности сахарной свеклы по Мостовскому району, была проведена валидация прогнозной модели и был получен непротиворечивый прогноз для каждого. Иными словами, в процессе валидации прогнозной модели подтверждена адекватность предложенной прогнозной нечеткой модели реальным временным рядам урожайности сахарной свеклы по Мостовскому району.

Пусть получено лингвистическое прогнозное значение урожайности.

(14).

Приведем описание процесса преобразования лингвистического нечеткого множества (ЛНМ) в численное (классическое) НМ.

(15).

В качестве подходящих числовых значений элементов выбираются в ВР (1) ближайшие к элементам низкие, средние, промежуточные и высокие урожайности, которые затем усредняются:

Отсюда, с учетом представленных в ЛНМ (14) значений функции принадлежности получаем искомый прогноз в виде HМ. Применяя к НМ операцию дефазификации [2], получаем прогнозное значение урожайности в обычном числовом виде, т. е. имеем:

где индексом перенумерованы соответственно термы: .

Согласно определению прогнозной модели на ее выходе можно получить ВР прогнозных значений, занумерованных тем же индексом, которым были занумерованы значения урожайности в ВР (1). Тогда относительная погрешность прогнозирования для каждого наблюдения вычисляется по формуле. В качестве оценки точности прогнозирования принимаем среднее значение .

Примечание 3. На основании валидации результатов прогнозирования ВР урожайности сахарной свеклы по Мостовскому району получена оценка средней погрешности прогноза .

Оценка погрешности результатов, полученных с помощью предлагаемой прогнозной модели, обосновывается также по отношению такого результата валидации, как ВР лингвистических нечетких множеств. В этом случае погрешность лингвистического прогнозирования для каждого наблюдения принимается равной нулю, если в ряду ЛНМ для полученного ЛНМ, где максимальное значение функции принадлежности достигается для такого индекса, что в ЛВР (2) элемент совпадает с термом, т. е., если выполняется равенство, в противном случае значение. Погрешность лингвистического прогнозирования определяется как среднее значение .

Примечание 4. На основании валидации результатов лингвистического прогнозирования ВР урожайности сахарной свеклы по Мостовскому району получена оценка средней погрешности прогноза, т. е. в процессе валидации прогнозная модель выдала точный прогноз в лингвистических термах для каждого года с 1950 по 2005 гг.

Примечание 5. Таким образом, нижний уровень реализации 2-уровневого подхода к моделированию представляет собой полную общепринятую последовательность устоявшего стандарта набора этапов моделирования:

• 10. Анализ объекта моделирования, включая структурирование, с целью формирования перечня параметров и показателей моделей.
• 20. Выбор адекватного подхода и используемых математических методов моделирования.
• 30. Численная реализация выбранных математических методов на базе конкретных исходных статистических данных.
• 40. Верификация, т. е. логический анализ модели и результатов методов моделирования.
• 50. Валидация используемых методов, включая оценку погрешности.
• 60. Доработка и представление окончательного варианта предлагаемого процесса моделирования на нижнем уровне.

Процесс обучения линейного клеточного автомата представляет собой достаточно творческий подход. Он заключается в виде подбора такой раскраски уровней ВР, предварительная валидация результатов которой даёт меньшую погрешность ошибки прогноза. Процесс предварительной валидации результатов выбранной раскраски клеточного автомата заключается в следующем:

фактически реализуется прогнозная модель на базе лингвистических переменных;

выявляются на уровне лингвистических переменных не угаданные значения.

Итак, если применять уже сформировавшийся и описанный в работе [3] подход к раскраске клеточного автомата мы имеем представленный на рисунке 4 вариант лингвистического ВР.

Рисунок 4 — Гистограмма ЛВР урожайности сахарной свеклы по Мостовскому району за период с 1950 по 2005 гг.

Результаты валидации: количество угаданных уровней — 45 шт., (на рисунке 4 обозначены знаком «+»), количество не угаданных уровней — 6 шт. (на рисунке 4 обозначены знаком «-»). Достижение цели на уровне лингвистических переменных дает возможность говорить о достаточности предложенного варианта обучения клеточного автомата.

Подводя итоги проделанной работы, нами исследованы 6 ВР урожайности сельскохозяйственных культур: озимая пшеница, подсолнечник, сахарная свекла и их приращения. Статистика ошибок прогноза приведена в таблице 3.

Таблица 3 — Статистика ошибок прогноза и приращения.

Стоить отметить, процесс валидации ЛВР подтвердил адекватность предложенной прогнозной модели реальным временным рядам урожайности культур по Мостовскому району Краснодарского края.

В результате, используя подход, который базируется на применении клеточных автоматов и математического аппарата нечетких множеств, входные данные для построения моделей высшего уровня имеют достаточную степень достоверности. В свете коренного реформирования агропромышленного комплекса по-новому стоит вопрос о создании систем ведения сельского хозяйства в современных условиях. Ведь обеспечение эффективного управления возможно лишь при соблюдении соответствующего баланса функций, полномочий и ответственности, а так же при возможности регулирования степени риска в процессе реализации. Определить последнее можно только в результате анализа и оценки вероятности ожидаемых экономических, погодных и иных условий хозяйствования.

Таким образом, практическое использование результатов, получаемых на выходе прогнозных моделей, и последующие построение и реализация адекватных моделей верхнего уровня позволит хозяйственнику принимать обоснованные управленческие решения и обеспечивать возможность маневрирования ресурсами и технологиями, стимулировать поиск гибких производственных решений.

Список использованных источников

Борисов А.Н., Алексеев А. В., Меркурьева Г. В. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. М.: Радио и связь, 1989. 304 с.

Жирабок А. Н. Нечеткие множества и их использование для принятия решений // Соровский образовательный журнал. 2001. Том 7. № 2. С. 109−115.

Перепелица В.А., Касаева М. Д. Прогнозирование природного временного ряда на базе модели клеточного автомата // Современные аспекты экономики. 2002. № 9(22). С. 201−208.

Перепелица В.А., Тебуева Ф. Б., Темирова Л. Г., Касаева М. Д. Прогнозная модель урожайности на базе клеточных автоматов и нечетких множеств // Труды III международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве». НФ ИУБиП. Невинномысск, 2003. С. 163−167.

Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000. 333 с Яновский Л. П. Принципы, методология и научное обоснование урожая по технологии «Зонт». Воронеж: ВГАУ, 2000. 379 с.