Математичні очевидності. 
Філософія математики

Совместно с априорными началами в математике основополагающую роль играют так называемые аподиктические очевидности. Это объективные неизменные очевидности, «общезначимые тривиальности», не зависящие ни от опыта, ни от логики, ни от психологии. Помимо аподиктических очевидностей существуют ассерторические очевидности, определяемые как очевидности опыта, носящие относительный, субъективный и изменчивый характер. Скажем, равновероятное выпадение «орла» и «решки» при подбрасывании монеты есть аподиктическая очевидность, а выпадении ровно пяти «орлов» при конкретном подбрасывании десяти монет (вероятность этого события меньше ½) — это ассерторическая очевидность.

В. Я. Перминов [412, с. 16—19] выделяет и характеризует следующие основные виды математической очевидности: эмпирическую, концептуальную, предметную, логическую, геометрическую, очевидности аналогии и структурного тождества. В то время как эмпирическая и концептуальная очевидности и очевидность аналогии носят ассерторический характер, математические очевидности остальных типов являются аподиктическими. Эмпирические и концептуальные очевидности имеют дело с образами, которые либо заменяют математические объекты (так, непрерывность числовой функции понимается как гладкость ее графика), либо направлены на внешнее прояснение теории (через ассоциации в рамках других концепций). Аналогия является важнейшим эвристическим принципом переноса результатов. Указанные три типа очевидностей не обладают строгой доказательностью. К предметной очевидности относятся арифметические очевидности (например, 1 + 1 = 2) и геометрические очевидности (так, через две различные точки проходит ровно одна прямая). Однако В. Я. Перминов специально выделяет геометрическую очевидность, поскольку не всеми математиками она признавалась и признается математически обосновательной (вспомним хотя бы Лагранжа с его «Аналитической механикой», из которой изгнаны все рисунки, или формалистов с логицистами).

Элементарная же геометрическая очевидность аподиксична (к ней относятся правила простейших геометрических построений). Логическая очевидность, безусловно, самоочевидна и доказательна. Даже не зная исходных законов логики, человек в состоянии пользоваться ими на практике (укажем закон исключенного третьего и закон силлогизма, правило отделения). Наконец, очевидность структурного тождества заключается в непосредственном узнавании типа данного математического объекта и усмотрении тождественности (изоморфности) конкретных структур. Подчеркнем еще, что любое математическое доказательство можно разбить на элементарные аподиктические шаги, истинность которых усматривается непосредственно, что выражается словами «очевидно», «легко видеть», «ясно» и т. п. Логическая очевидность позволяет связать эти элементарные шаги в цепочку безупречного вывода.