Моделювання поведінки виробників та споживачів
Це задача нелiнiйного програмування з одним лiнiйним обмеженням i умовою невiд'ємностi змінних. Побудуємо функцію Лагранжа. У (3.1) — вартість річного випуску фірми, або її річний дохід, — витрати виробництва чи вартість витрат ресурсів за рік. Припускається, що F (х) двiчi неперервно диференційована, неокласична, i матриця її других похідних є вiд'ємно визначеною. Це задача на умовний екстремум… Читати ще >
Моделювання поведінки виробників та споживачів (реферат, курсова, диплом, контрольна)
1. МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧІВ В теорії споживання вважається, що споживач керується принципом рацiональностi: вiн завжди прагне максимізувати свою корисність, i єдине, що його стримує, — це обмежений дохід:
max u (x) (1.1)
px = M
де х=(х1,…, хn)? — вектор-стовпчик обсягів споживчих товарів, що придбав споживач за заданих цін; n — число різноманітних товарів; u(х) — функція корисності споживача; р = (p1,…, pn) — вектор-рядок цін товарів; М — обсяг доходу споживача.
Це задача на умовний екстремум, i її розв’язок зводиться до знаходження безумовного екстремуму функції Лагранжа:
L (x, л)=u (x)-л (px-M).
Необхідними умовами локального екстремуму є:
(1.2)
(1.3)
Точка екстремуму справді визначає точку максимуму, оскільки матриця Гессе U(х)=є вiд'ємно визначеною. З виразу (1.3) бачимо, що споживач за фіксованого доходу так обирає набір, що в цій точці відношення граничної корисності дорівнює відношенню цін:
Якщо розв’язати (1.2), (1.3) відносно, отримаємо функцію попиту споживача:
2. РІВНЯННЯ СЛУЦЬКОГО Розглянемо, як зміниться попит споживача, що визначається моделлю (1.1), якщо зміниться ціна одного з товарів. Нехай ціна n-го товару зросла на. Це приводить до такої зміни попиту на товари
(2.1)
де р — вектор-рядок цін; U — матриця Гессе; - вектор-стовпчик попиту на товари; - множник Лагранжа; - індекс n за дужками біля матриці означає, що взято й n-й стовпчик.
Проаналізуємо зміст складових, що входять у рівняння (2.1).
Зміна попиту за збільшення ціни з компенсацією доходу. Нехай дохід споживача збільшився на таку величину, яка компенсує споживачеві збільшення ціни на n-й товар (благо) на .
Збільшення ціни з компенсацією доходу приводить до такої зміни попиту:
(2.2)
Тобто друга складова у правій частині рівняння (2.1) — це зміна попиту, якщо зростання ціни n-го товару на компенсується збільшенням доходу на .
Зміна попиту за зміни доходу. Якщо дохід змінюється на, то відповідно змінюється попит:
(2.3)
Об'єднуючи вирази (2.1), (2.2), (2.3), отримаємо рівняння Слуцького, яке є серцевиною теорії корисності:
(2.4)
Оскільки вивчається зміна попиту за зростання ціни на n-й товар, що не компенсується підвищенням доходу, то друга складова в (2.4) (з від'ємним знаком) знімає штучний приріст по спричинений компенсуючим зростанням доходу.
Ефект доходу полягає у змiнi споживання внаслідок зміни реального доходу, яка виникла через зміну цін.
Ефект заміщення полягає у змiнi споживання внаслідок зміни відносних цін.
Графік представлено на малюнку 2.1
Малюнок 2.1 — Графік
3. МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ ВИРОБНИКІВ Моделі оптимального (раціонального) вибору виробника (фірми). Нехай виробнича фірма випускає один продукт (чи багато продуктів, але з постійною структурою). Позначимо річний випуск у натурально-речовiй формі через Х — кількість одиниць продукту одного виду, вектор-стовпчик можливих обсягів різних видів ресурсів через х = (х1, …, хn)?. Тоді технологія фірми визначатиметься її виробничою функцією, яка виражає зв’язок між випуском i витратами ресурсів:
Х=F(х).
Припускається, що F(х) двiчi неперервно диференційована, неокласична, i матриця її других похідних є вiд'ємно визначеною.
Якщо — вектор-рядок цін ресурсів, а р — ціна продукції, то кожному вектору витрат х вiдповiдає прибуток:
(3.1)
У (3.1) — вартість річного випуску фірми, або її річний дохід, — витрати виробництва чи вартість витрат ресурсів за рік.
Якщо не вводити інших обмежень, крім невід'ємних обсягів витрат ресурсів, то задача знаходження максимуму прибутку набере вигляду:
(3.2)
Це задача нелiнiйного програмування з n умовами невід'ємності: Необхідними умовами існування екстремуму є умови Куна-Таккера:
(3.3)
Якщо в оптимальному розв’язку використовуються всi види ресурсів, тобто, то умови (3.3) матимуть вигляд:
(3.4)
тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повинна дорівнювати його цiнi.
Розглянемо задачу знаходження максимуму випуску за заданого обсягу витрат
(3.5)
Це задача нелiнiйного програмування з одним лiнiйним обмеженням i умовою невiд'ємностi змінних. Побудуємо функцію Лагранжа
і знайдемо її максимум за умови невiд'ємностi змiнних. Для цього необхідно, щоб виконувались умови Куна-Таккера:
(3.6)
Як бачимо, якщо покласти, умови (3.6) збiгаються з умовами (3.3).