Основні означення та факти з теорії визначників (реферат)

Реферат на тему:

Основні означення та факти з теорії визначників.

Визначники другого та третього порядку.

Означення. Визначником другого порядку $$|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}|$$ називається число, яке обчислюється за правилом $$|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}|$$ = x1y2 — x2y1.

Означення. Визначником третього порядку $$|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}|$$ називається число, яке обчислюється за правилом.

$$|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}|$$ = x1y2z3 +x2y3z1 + x3y1z2 — x3y2z1 — x2y1z3 — x1y3z2.

Поняття матриці.

Матрицею порядку m x n називається прямокутна таблиця чисел, яка складається з m рядків та n стовпчиків.

A = $$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}& a_{m2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}\right)$$ .

Числа aij називаються елементами матриці A. Положення кожного елемента матриці визначається номерами рядка і стовпчика, в яких знаходиться цей елемент. Це положення визначається парою індексів, наприклад, aij — елемент, який знаходиться в i-му рядку і j-му стовпчику матриці A.

Матриця, число рядків якої співпадає з числом стовпчиків, називається квадратною. Квадратна матриця порядку n x n називається квадратною матрицею порядку n.

Поняття перестановки.

Нехай дана система різних елементів a1, a2,…, an. Перестановкою цієї системи називається будь-яке упорядкуване розміщення елементів.

Іншими словами, перестановкою називається будь-яка упорядкована послідовність, яку утворюють дані елементи. Наприклад, числа 1,2,3,4 утворюють перестановки 1,2,3,4- 3,4,2,1- 2,3,1,4 та ін. Далі будемо розглядати лише перестановки систем натуральних чисел.

Будемо казати, що два числа і, j в перестановці утворюють інверсію, якщо і>j і в перестановці число і стоїть раніше від j.

Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел (4,2), (4,1), (4,3), (2,1).

Перестановка називається парною, якщо її елементи утворюють парне число інверсій. Перестановка називається непарною, якщо її елементи утворюють непарне число інверсій.

Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел (4,2), (4,1), (4,3), (2,1), тобто в перестановці 4 інверсії, а тому перестановка парна. В перестановці 3,1,4,2 інверсії утворюють пари чисел (3,1), (3,2), (4,2), тобто в перестановці 3 інверсії, і перестановка непарна. В перестановці 1,2,3,4 інверсій немає, тобто число інверсій дорівнює нулю, і перестановка парна.

Теорема 1.

Число всіх перестановок, які можна скласти з n елементів, дорівнює n!

Нехай в перестановці міняються місцями два елементи. Така операція називається транспозицією.

Теорема 2.

Кожна транспозиція змінює парність перестановки.

Наслідок. При nчисло парних перестановок з n елементів співпадає з числом непарних і дорівнює $$\frac{n!}{2}$$ .

Поняття визначника n-го порядку.

Нехай дана квадратна матриця A порядку n.

A = $$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}\right)$$ .

Визначником nго порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядковання співмножників у добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знак -.

Визначник атриці A позначається так.

$$|\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}|$$ .

Числа aіj називаються елементами визначника Визначник матриці A ще називається детермінантом і позначається det A.

Зрозуміло, що визначник складається з n! добутків. Наприклад,.

$$|\begin{array}{cccc}1& 3& -5& 9\\ 5& -8& 0& 6\\ 1& -3& 9& 4\\ 7& -8& 2& 6\end{array}|$$.

Беремо з першого рядка елемент -5, що знаходиться у першому рядку і третьому стовпчику. З другого рядка беремо число 5, яке знаходиться у другому рядку і першому стовпчику. З третього рядка беремо число -3, яке знаходиться у третьому рядку і другому стовпчику. З четвертого рядка беремо число 6, що знаходиться у четвертому рядку і четвертому стовпчику. Добуток (-5))є одним з добутків визначника оскільки серед його співмножників є по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. З’ясуємо знак при цьому добутку. Далі місце елемента у визначнику будемо позначати парою чисел (і, j) (і-й рядок і j-й стовпчик). Елементи добутку у визначнику знаходяться на місцях (1,3),(2,1),(3,2),(4,4). Після упорядкування співмножників добутку за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3,1,2,4. В цієї перестановці 2 інверсії, перестановка парна, отже, знак при добутку +.

Аналітичний запис визначника.

Нехай.

$$|\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}|$$ .

Кожен добуток, з яких складається визначник можна упорядковати за першим індексом, тобто подати у вигляді $$a_{1{}_1}$$ $$a_{2{}_2}$$ … $$a_{{\mathit{n}}_n}$$, де …, деяка перестановка чисел 1,2,…, n. Позначимо через s (…, число інверсій в перестановці …, Тоді.

$$$$ $$\underset{({}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_n)}{}(-1{)}^{s({}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_n)}{a}_{1{}_1}{a}_{2{}_2}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{{\mathit{n}}_n}$$ ,.

де сума береться по всім перестановкам чисел 1,2,…, n.

Лема про знак.

Нехай.

$$|\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}|$$ .

і1,і2,…,іn та j1, j2,…, jn — дві перестановки чисел 1,2,…, n. Тоді добуток $$a_{i_1{j}_1}$$ $$a_{i_2{j}_2}$$ … $$a_{i_n{j}_n}$$ входить до визначника і знаком $$(-1{)}^{s(i_1,i_2,\text{.}\text{.}\text{.},i_n)+s(j_1,j_2,\text{.}\text{.}\text{.},j_n)}$$ .

Друге означення визначника.

Нехай дана квадратна матриця A порядку n.

A = $$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}\right)$$ .

Визначником n-го порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і з кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування співмножників у добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знак -.

Таким чином, на відміну від першого означення визначника, за другим означенням знак при добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні співмножників за другим індексом.

Теорема.

Два означення визначника еквівалентні.

Користуючись другим означенням визначник атриці A можна записати аналітично так:

$$$$ $$\underset{({}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_n)}{}(-1{)}^{s({}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_n)}{a}_{{}_{1}1}{a}_{{}_{2}2}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{{}_{n}n}$$ ,.

де сума береться по всім перестановкам чисел 1,2,…, n. $$$$.

Визначники трикутного вигляду.

Нехай.

$$|\begin{array}{ccccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\mathrm{1,}n-1}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\mathrm{2,}n-1}& a_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n-\mathrm{1,1}}& a_{n-\mathrm{1,2}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{n-\mathrm{1,}n-1}& a_{n=\mathrm{1,}n}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{n,n-1}& a_{\text{nn}}\end{array}|$$ .

У визначнику ожна визначити дві діагоналі. Головну діагональ утворюють елементи a11, a22,…, an-1,n-1,annпобічну діагональ утворюють елементи a1n, a2, n-1,…,.

an-1,2,an1.

Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що знаходяться вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю.

Наприклад,.

$$|\begin{array}{ccccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\mathrm{1,}n-1}& a_{1n}\\ 0& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\mathrm{2,}n-1}& a_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ 0& 0& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{n-\mathrm{1,}n-1}& a_{n=\mathrm{1,}n}\\ 0& 0& \text{.}\text{.}\text{.}& 0& a_{\text{nn}}\end{array}|$$ .

Визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі дорівнює добутку елементів головної діагоналі.

$$|\begin{array}{ccccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\mathrm{1,}n-1}& a_{1n}\\ 0& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\mathrm{2,}n-1}& a_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ 0& 0& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{n-\mathrm{1,}n-1}& a_{n=\mathrm{1,}n}\\ 0& 0& \text{.}\text{.}\text{.}& 0& a_{\text{nn}}\end{array}|$$ = a11a22… an-1,n-1ann.

Визначником трикутного вигляду відносно побічної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що знаходяться вище або нижче побічної діагоналі, дорівнюють нулю.

$$|\begin{array}{ccccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\mathrm{1,}n-1}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\mathrm{2,}n-1}& 0\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n-\mathrm{1,1}}& a_{n-\mathrm{1,2}}& \text{.}\text{.}\text{.}& 0& 0\\ a_{n1}& 0& \text{.}\text{.}\text{.}& 0& 0\end{array}|$$ .

Визначник трикутного вигляду відносно побічної діагоналі дорівнює добутку елементів побічної діагоналі зі знаком $$(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}$$, де n — порядок визначника.

$$|\begin{array}{ccccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\mathrm{1,}n-1}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\mathrm{2,}n-1}& 0\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n-\mathrm{1,1}}& a_{n-\mathrm{1,2}}& \text{.}\text{.}\text{.}& 0& 0\\ a_{n1}& 0& \text{.}\text{.}\text{.}& 0& 0\end{array}|$$ = $$(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}$$ a1na2, n-1…an-1,2an1.

Транспонування матриці.

Нехай дана матриця A порядку m x n.

A = $$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}& a_{m2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}\right)$$ .

Складемо нову матрицю B за такими правилами. Запишемо елементи першого рядка матриці A, зберігаючи їх порядок, до першого стовпчика матриці B. Далі елементи другого рядка матриці A, зберігаючи їх порядок, запишемо до другого стовпчика матриці B і т.д. Такий процес називається транспонуванням матриці A. В результаті одержимо матрицю B порядку n x m, яка називається транспонованою матрицею для матриці A і позначається AT.

AT = $$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{21}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{m1}\\ a_{\text{12}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{m2}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{1n}& a_{2n}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}\right)$$ .

Зрозуміло, що (AT)T = A.

Теорема.

Нехай A — квадратна матриця. Тоді визначники матриць AT і A рівні.

Таким чином, транспонування не змінює визначника матриці. Далі будемо вважати визначники взаємно транспонованих матриць тотожними.

Властивості визначників.

Зауваження. Будемо формулювати властивості визначників для рядків визначників. Але при цьому будемо враховувати, що вони вірні і для стовпчиків визначників.

1. Якщо всі елементи деякого рядка визначника дорівнюють нулю (нульовий рядок), то визначник дорівнює нулю.

2. Якщо у визначнику переставляються місцями два рядки, то змінюється лише знак визначника.

Припустимо, що у визначнику іняються місцями і-й і j-й рядки (і тоді.

$$|\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{i1}& a_{i2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{in}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{j1}& a_{j2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{jn}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}|$$ = - $$|\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{j1}& a_{j2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{jn}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{i1}& a_{i2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{in}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}|$$ .

3. Якщо два рядки визначника співпадають, то визначник дорівнює нулю.

4. Якщо деякий рядок визначника помножується на число то визначник помножується на p>

Припустимо, що у визначнику.

$$|\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{i1}& a_{i2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{in}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}|$$.

помножується най рядок, тоді.

$$|\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ {\mathit{}}_{i1}& {\mathit{}}_{i2}& \text{.}\text{.}\text{.}& {\mathit{}}_{\text{in}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}|$$ = ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >|a11a12…a1n…ai1ai2…ain…an1an2…ann| = .

З цієї властивості випливає, що якщо всі елементи деякого рядка визначника помножені на деяке число то це число можна винести за знак визначника як множник.

Два рядки визначника називаються пропорційними, якщо один з них можна одержати помноженням другого на деяке число.

5. Якщо два рядки визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Нехай (bi1, bi2,…, bin) і (сi1, сi2,…, сin) — два рядки. Під сумою цих рядків розуміється рядок вигляду (bi1+сi1, bi2 +сi2,…, bin+сin).

6. Якщо у визначникурядок є сумою двох рядків, то визначник ожна розкласти в суму двох визначників і за і-м рядком таким чином, що і-рядком визначника є перший доданок, а і-м рядком визначника другий доданок і-го рядка визначника Решта рядків визначників і співпадають з відповідними рядками визначника p>

Припустимо, що у визначникуй рядок є сумою двох рядків, тоді.

$$|\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ b_{i1}+c_{i1}& b_{i2}+c_{i2}& \text{.}\text{.}\text{.}& b_{\text{in}}+c_{\text{in}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}|$$ = $$|\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ b_{i1}& b_{i2}& \text{.}\text{.}\text{.}& b_{\text{in}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}|$$ + $$|\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ c_{i1}& c_{i2}& \text{.}\text{.}\text{.}& c_{\text{in}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}|$$ .

Аналогічно, якщо і-й рядок визначника сумою k рядків, то визначник ожна розкласти в суму k визначників за і-м рядком.

7. Якщо до рядка визначника додати інший рядок, помножений на число, то визначник не змінюється.

Нехай $$A_{i_1}$$, $$A_{i_2}$$ ,…, $$A_{i_n}$$ — деякі рядки визначника, а ., деякі числа. Тоді рядок math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >Ai1 +math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >Ai2 +…+math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >Ain називається лінійною комбінацією рядків $$A_{i_1}$$, $$A_{i_2}$$ ,…, $$A_{i_n}$$.

8. Якщо у визначнику деякий рядок є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює нулю.

9. Якщо до рядка визначника додати лінійну комбінацію інших рядків, то визначник не змінюється.

Теорема про розклад визначника за елементами рядка (стовпчика).

Нехай.

$$|\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}|$$ .

Доповнюючим мінором Mij елемента aij називається визначник порядку n-1, який одержується з визначника икресленням і-го рядка і j-го стовпчика. Тобто викреслюються рядок та стовпчик, в яких знаходиться елемент aij.

Алгебраїчним доповненням елемента aij називається число.

Aij=(-1)і+jMіj.

Теорема.

Визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

Наприклад, розкладемо визначник, а елементами і-го рядка.

ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.

Розкладемо визначник.

$$|\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -8\\ 4& -3& 2& 1\\ 5& 7& -1& 3\\ 2& 0& -3& 2\end{array}|$$.

за елементами 3-го рядка.

5)3+1 $$|\begin{array}{ccc}3& 5& -8\\ -3& 2& 1\\ 0& -3& 2\end{array}|$$ + 7)3+2 $$|\begin{array}{ccc}1& 5& -8\\ 4& 2& 1\\ 2& -3& 2\end{array}|$$ + (-1))3+3 $$|\begin{array}{ccc}1& 3& -8\\ 4& -3& 1\\ 2& 0& 2\end{array}|$$ +.

+3)3+4 $$|\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 4& -3& 2\\ 2& 0& -3\end{array}|$$ =.

= 5 $$|\begin{array}{ccc}3& 5& -8\\ -3& 2& 1\\ 0& -3& 2\end{array}|$$ — 7 $$|\begin{array}{ccc}1& 5& -8\\ 4& 2& 1\\ 2& -3& 2\end{array}|$$ — $$|\begin{array}{ccc}1& 3& -8\\ 4& -3& 1\\ 2& 0& 2\end{array}|$$ — 3 $$|\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 4& -3& 2\\ 2& 0& -3\end{array}|$$ .

Наслідок 1. Визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого стовпчика на їх алгебраїчні доповнення.

Наслідок 2. Сума добутків елементів рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпчика) дорівнює нулю.

Визначник Вандермонда.

Визначником Вандермонда n-го порядку називається визначник.

$$|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \text{.}\text{.}\text{.}& 1\\ a_1& a_2& a_3& \text{.}\text{.}\text{.}& a_n\\ a_1^2& a_2^2& a_3^2& \text{.}\text{.}\text{.}& a_n^2\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& a_3^{n-1}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_n^{n-1}\end{array}|$$ .

Визначник Вандермонда дорівнює.

(a2-a1)(a3-a1)(a3-a2)-a1)(an-a2)-an-1) = $$\underset{n>=i>j>=1}{}(a_i-a_j)$$ .