Степінь з ірраціональним показником

Вступ

Введення поняття степеня з ірраціональним показником Означення поняття степеня з ірраціональним показником

Узагальнення поняття степеня Список літератури

Вступ

З поняттям степені з ірраціональним показником учні ознайомуються або у 10 або у 11(12) классі залежно від профілю навчання та навчального закладу. Якщо розглянути підручник Бурда М.І. Дубінчук О. С. Мальований Ю.І. Математика 10−11 для шкіл, ліцеїв та гімназій гуманітарного профілю, то це поняття вводиться в 11 класі, причому, воно узагальнюється до поняття степеня з дійсним показником, у підручнику Бевз В. Г. Алгебра 10−11 для загальноосвітніх шкіл, з цим матеріал учні знайомляться ще в 10 класі.

Введення поняття

Після того, як для будь-якого дійсного числа ми визначили операцію пінесення до натурального степеня, для будь-якого ми визначили операцію піднесення до нульового степеня та цілий від'ємний степінь, для будь-якого — у додатний дробовий степінь, для будь-якого — у від'ємний дробовий степінь, з’являється питання: чи можна якимось чином визначити операцію піднесення до ірраціонального степеня, тобто визначити зміст виразу, для будь-якого дійсного х.

Виявляється, що для додатних чисел а можна надати сенсу запису ,.

Для цього треба розглянути 3 випадки: а=1, а>1, 0<a<1

1) а=1, то за визначенням .

2) Якщо а>1, то оберемо будь-яке раціональне число, та будьяке раціональне число, тоді очевидно, що, а тому. Але, та оскільки а>1, тоді і нарешті

тобто .

Під розуміють таке число, яке лежить між та, при будь-якому виборі та. Можна довести, що число єдине для будь-якого а>1 та ірраціонального .

3) Якщо 0<a<1, то оберемо будь-яке раціональне число, та будьяке раціональне число, тоді очевидно, що, а тому .

Під розуміють таке число, яке лежить між та, при будь-якому виборі та. Можна довести, що число єдине для будь-якого 0<a<1та ірраціонального .

Розглянемо приклади:

Для визначення степеня обирають 2 послідовності:

1; 1,7; 1,73; …

2; 1,8; 1,74;…

Причому, ці послідовності такі, що

Отримаємо наближення з надлишком та недостачею. Звідси отримаємо з надлишком та недостачею.

Для визначення степеня обирають 2 послідовності:

1,4; 1,41; 1,414; …

1,5; 1,42; 1,415;…

Причому, ці послідовності такі, що

Отримаємо наближення з надлишком та недостачею. Звідси отримаємо з надлишком та недостачею.

Якщо — від'ємне ірраціональне число (,), тоді вираз має той же самий сенс, який маєть степені із від'ємним раціональним показником:

та .

Означення поняття

А тепер дамо означення степеня з ірраціональним показником:

Означення

Степенем з ірраціональним показником та основою а, де а>0, називається дійсне число, яке є границею послідовності, де — послідовність раціональних чисел така, що границя .

Узагальнення поняття степеня

Узагальнимо поняття степеня:

Означення

Степенем з дійсним показником та основою а, де а>0, називається границя послідовності, де — послідовність раціональних чисел така, що границя .

При цьому для степеня з будь-яким дійсним показником справджуються ті ж самі властивості, як і для степеня з раціональним показником, а саме:

1), .

2), .

3), .

4), .

5), .

6) ,.

Список літератури

1. Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О. С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч. закл. — К.: Зодіак-ЕКО, 2006. — 384 с.

2. Бевз Г. П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10−11 кл. загальноосвіт. навч. закл. — К.: Освіта, 2005. — 255 с.

3. Бурда М.І., Дубінчук О.С., Мальований Ю.І. Математика 10−11: Навч. посіб. для шкіл, ліцеїв та гімназій гуманітарного профілю. — К.: Освіта, 2004. — 223с.

4. Алгебра и начала анализа. 10−11 класс?. А. Н. Колмогоров — 2001. — 320с.