Дослідження глобальних моделей виробництва та споживання

Курсова робота з теми:

" Дослідження глобальних моделей виробництва та споживання"

ВСТУП

виробничий функція макроекономічний модель При вивченні складних економічних процесів та явищ часто застосовується моделювання.

Моделювання — це практичні та теоретичні дії, спрямовані на створення та використання моделей. Під моделлю можна розуміти образ реального об'єкта в матеріальній чи ідеальній формі, що відображає суттєві властивості модельованого об'єкта й заміщує його в ході дослідження й управління.

Для економіки, де неможливе будь-яке експериментування, особливого значення набуває математичне моделювання. Математичне моделювання полягає в заміні вихідного об'єкта його «образом» — математичною моделлю — і подальшим дослідженням моделі на підставі аналітичних методів та обчислювально — логічних алгоритмів, які реалізуються за допомогою комп’ютерних програм. Формування математичних моделей досить тривалий процес, який потребує знань і праці.

У широкому аспекті моделювання наявне майже в усіх видах творчої активності людей різних спеціальностей — дослідників і підприємців, політиків і військових. Привнесення в ці сфери точного знання допомагає обмежити інтуїтивне «моделювання», розширює межі застосування раціональних методів. Звичайно ж, математичне моделювання плідне лише за умови виконання професійних вимог: чітке формулювання основних понять і гіпотез, апостеріорний аналіз, щоб пересвідчитися в адекватності використовуваних моделей, гарантована точність обчислювальних алгоритмів тощо.

Практичні задачі моделювання економіки:

вивчення та дослідження економічних процесів, явищ та об'єктів;

прогнозування економічних показників;

створення управлінських рішень.

1. Побудова та опис двогалузевої макроекономічної моделі

Розглянемо модель галузі економіки, яка є декомпозицією загальної вербальної моделі. Нехай галузь випускає продукцію тільки одного виду. На малюнку 4.1. показана схема галузі економіки. Схема включає підсистему виробництва продукції F, блоки розподілення RX, RY, RI, блок основних виробничих фондів К' та блок V приросту капіталу.

Галузь характеризують такі фактори:

Індекс 1 та 2 — належність елемента до першої або іншої галузі;

К — основні виробничі фонди або виробничий капітал;

N — природні ресурси;

L — трудові ресурси;

X — валова продукція;

Y — кінцева продукція;

W — проміжна продукція;

I — інвестиції;

C — продукція невиробничого споживання;

I' - чисті інвестиції, які йдуть на розширення основних виробничих фондів;

D — амортизаційні відрахування;

ДK — приріст виробничого капіталу.

На вхід підсистем та надходять основні виробничі фактори та, природні ресурси та, трудові ресурси та, проміжна продукція та. Ця продукція у блоках та розподіляється на кінцеву продукцію та і проміжну продукцію та, які йдуть на виробниче споживання та .

(1.1)

У блоках та продукцію та розподіляють на інвестиції та і продукцію невиробничого споживання та .

У блоках та інвестиції та поділяються на амортизаційні відрахування та і чисті інвестиції та, які ідуть до блоків та на розширення основних виробничих фондів. На підставі цієї моделі побудуємо двогалузеву макроекономічну модель. (малюнок 1.1). Схему кожної галузі ідентифікуємо та доповнимо блоками розподілення та. У цих блоках проміжна продукція та розподіляється на проміжну продукцію та, які використовуються в своїй галузі, та проміжну продукції та, які використовуються в інших галузях.

Чисті інвестиції та, також поділяються на чисті та, які використовуються в своїх галузях, та чисті інвестиції та, які використовуються для других галузей. Міжгалузевими потоками тут будуть, ,,. Записати математичні вирази для та, та, , .

Математичний вигляд для інвестицій:

(1.2)

. (1.3)

Кінцевої продукція:

(1.4)

. (1.5)

Валова продукція буде дорівнювати:

(1.6)

. (1.7)

Малюнок 1.1 — Схема двогалузевої макроекономічної моделі

2. Визначення параметрів виробничої функції першої галузі

Підсистему виробництва продукції F першої галузі можна описати за допомогою виробничої функції:

X=F (K, L) (1.8)

Тут змінні характеризують такі фактори: K — обсяг основних виробничих фондів (ОВФ) у вартісному або натуральному вигляді (вартість або кількість обладнання), L — кількість трудових ресурсів (кількість робітників, кількість людино-днів), X — обсяг продукції (валової) у вартісному або натуральному вираженні. Припустимо, що технологія першої галузі описується виробничою функцією Кобба-Дугласа:

(1.9)

Поділимо ліву та праву частини виразу на L:

(1.10)

Тепер функція буде такою:

(1.11)

Після логарифмування по натуральній основі виробнича функція приймає вигляд:

(1.12)

Введемо позначення:

(1.13)

Тепер виробнича функція буде лінійною

(1.14)

Для її побудови можна використати статистичні дані X, K, L першої галузі.

Представимо останній вираз у вигляді рівняння парної регресії

(1.15)

де: — обсяг продукції першої галузі за період t,

— обсяг ОВФ першої галузі за період t,

— кількість трудових ресурсів першої галузі за період t,

залишок або випадкове відхилення,

кількість періодів, що розглядаються.

Для визначення параметрів рівняння парної регресії використовується метод найменших квадратів.

Необхідно розв’язати систему рівнянь:

(1.16)

Для статистичної перевірки рівняння парної регресії необхідно визначити коефіцієнт кореляції:

(1.17)

де — середнє арифметичне значення вибірки ;

— середнє арифметичне значення вибірки ;

Sy середня квадратична помилка вибірки ;

Sx середня квадратична помилка вибірки .

Цей коефіцієнт змінюється в межах:

(1.18)

Значення — 1 характеризує обернений функціональний зв’язок між результуючою та факторною ознаками, 1- прямий функціональний зв’язок, 0 — відсутність функціонального зв’язку.

Середня квадратична помилка вибірки обчислюється таким чином:

(1.19)

Середня квадратична помилка вибірки визначається по формулі:

(1.20)

Середня квадратична помилка рівняння дорівнює

(1.21)

Таблиця 2.1 — Проміжні дані для обчислення коефіцієнтів парної регресії

Скоригований коефіцієнт детермінації:

(1.22)

Коефіцієнт детермінації показує долю зміни результативної ознаки під дією факторної ознаки. Чим більше значення, тим вище ступінь адекватності рівняння регресії. Однак у цього показника є недолік, бо великі значення коефіцієнта можуть досягатися завдяки малому числу спостережень. Цей недолік виправляється скоригованим коефіцієнтом детермінації.

Для оцінки параметрів зручно використовувати таблицю проміжних даних (таблиця 1.1). Маємо систему рівнянь:

Розв’язавши її отримаємо: .

Згідно формули (1.13) знайду :

Виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд:

Середня квадратична помилка вибірки формулою (1.19):

середню квадратичну помилку вибірки визначаємо по формулі (1.20):

середня квадратична помилка рівняння дорівнює (формула 1.21):

Тепер можемо визначити коефіцієнт кореляції за формулою (1.17):

та скоригований коефіцієнт детермінації за формулою (1.22):

Тепер ми можемо переходити до дослідження отриманої функції.

3. Дослідження виробничої функції першої галузі

Позначимо побудовану виробничу функцію Кобба-Дугласа першої галузі:

(1.23)

де — обсяг продукції першої галузі,

— обсяг ОВФ першої галузі,

— кількість трудових ресурсів першої галузі,

параметри моделі першої галузі.

Припустимо, що ця виробнича функція неперервна та диференційована.

Для виробничої функції виконуються такі основні характеристики:

(1.24)

Перша похідна характеризує граничну фондовіддачу (1.23). З виразу видно, що для цієї функції гранична фондовіддача пропорційна середній фондовіддачі та менше її і визначається за формулою (1.24):

(1.25)

Аналогічно визначається середня та гранична продуктивність праці. Для них також виконується відношення: гранична продуктивність праці пропорційна середній продуктивності і менше її. Знайдемо тепер еластичність продукції за основними фондами за формулою (1.25):

(1.26)

та еластичність продукції за трудовими ресурсами:

(1.27)

Еластичність показує, як зміниться величина Х1, якщо величина К1 або L1 зміниться на 1%.

Знайдемо також граничні норми заміщення основними фондами трудових ресурсів:

(1.28)

та трудовими ресурсами основних фондів:

(1.29)

Ці норми показують, як при незмінній величині продукції можна змінити співвідношення між факторами.

Тепер доведемо однорідність першого ступеня виробничої функції Кобба-Дугласа:

. (1.30)

За статистичними даними першої галузі побудуємо виробничу функцію Кобба-Дугласа:

Тепер визначимо основні характеристики виробничої функції:

Гранична фондовіддача:

Гранична продуктивність праці:

Середня фондовіддача:

Середня продуктивність праці:

Еластичність продукції за основними фондами:

та еластичність продукції за трудовими ресурсами:

Еластичність показує, як зміниться величина Х1, якщо величина К1 або L1 зміниться на 1%.

Знайдемо також граничні норми заміщення основними фондами трудових ресурсів:

та трудовими ресурсами основних фондів:

Доведемо однорідність першого ступеня виробничої функції за формулою (1.29):

Функція однорідна першого ступеня.

4. Визначення параметрів виробничої функції другої галузі

Припустимо, що для другої галузі характерна степенева виробнича функція:

(1.31)

Після логарифмування по натуральній основі степенева виробнича функція має вигляд:

(1.32)

Введемо позначення:

(1.33)

Тепер виробнича функція буде лінійною:

(1.34)

Для її побудови можна використати статистичні дані X, K, L другої галузі.

Ця функція являє собою рівняння множинної регресії:

(1.35)

де — обсяг продукції другої галузі за період t,

— обсяг ОВФ другої галузі за період t,

— кількість трудових ресурсів другої галузі за період t,

— параметри моделі,

залишок або випадкове відхилення,

кількість періодів, що розглядаються.

Значення параметрів рівняння можна знайти по формулі:

(1.36)

Для статистичної перевірки рівняння множинної регресії необхідно обчислити парні коефіцієнти кореляції, , за формулою:

(1.37)

де , — середні квадратичні помилки відповідних вибірок

(1.38)

(1.39)

Аналогічний вид мають формули для та. Ці коефіцієнти змінюються в межах від -1 до 1. Значення -1 характеризує обернений функціональний зв’язок, 1 — прямий функціональний зв’язок, 0 — відсутність функціонального зв’язку.

Для оцінки долі впливу обох факторів на зміну результативної ознаки розраховується множинний коефіцієнт кореляції

(1.40)

Значення цього коефіцієнту змінюється від 0 до 1, чим ближче до 1, тим більше враховані фактори, які впливають на результативну ознаку.

Скоригований коефіцієнт детермінації задається формулою:

(1.41)

Для оцінки параметрів рівняння множинної регресії використовуються елементи матричної алгебри.

Для пошуку значень параметрів моделі використовується метод найменших квадратів. Значення параметрів можна знайти, виконавши дії:

Обчислюємо

Знаходимо мінори матриці:

— мінор або визначник (n-1) порядку, отриманий шляхом викреслювання i-го рядка та j-го стовпця матриці розмірністю :

Знаходимо алгебраїчні доповнення матриці, що визначається по формулі:

(1.42)

Побудуємо матрицю, приєднану до

Обчислюємо визначник матриці за формулою:

(1.43)

Побудуємо транспоновану матрицю

Обчислюємо обернену матрицю за формулою:

(1.44)

Знайдемо матрицю :

Визначити вектор за формулою 1.36:

Параметри виробничої функції:

Таким чином, степенева виробнича функція для першої галузі матиме такий вигляд:

Розрахуємо середні квадратичні помилки вибірок за формулами (1.38−1.39):

Обчислюємо парні коефіцієнти кореляції:

Тепер розрахуємо множинний коефіцієнт кореляції формула (1.40):

Величина називається коефіцієнтом детермінації і показує долю зміни результативної ознаки під дією факторних ознак.

Скоригований коефіцієнт детермінації за формулою (1.41):

Тепер переходимо до дослідження отриманої виробничої функції.

5. Дослідження виробничої функції другої галузі

Ми маємо степенева виробнича функція другої галузі:

де — обсяг продукції другої галузі,

— обсяг ОВФ другої галузі,

— кількість трудових ресурсів другої галузі,

Дослідимо цю функцію, обчисливши характеристики:

Гранична фондовіддача дорівнює:

Гранична продуктивність праці дорівнює:

Середня фондовіддача дорівнює:

Середня продуктивність праці дорівнює:

Знайдемо також граничні норми заміщення основними фондами трудових ресурсів за формулою:

а трудовими ресурсами основних фондів за формулою:

Ці норми показують, як при незмінній величині продукції можна змінити співвідношення між факторами.

Знайдемо еластичність продукції за основними фондами та еластичність продукції за трудовими ресурсами Доведемо однорідність виробничої функції:

Функція однорідна ступені 1,3.

Дослідження моделі «витрати-випуск» Леонтьєва В моделі Леонтьєва діють підсистема виробництва продукції F та блок розподілу RX, потоки продукціїі X, Y, W (малюнок. 1.1).

Якщо позначити через Xi — валову продукцію і-ї галузі, Yi — кінцеву продукцію і-ї галузі, Wi — проміжну продукцію і-ї галузі, то можна записати,

Xi — Wi=Yі,. (1.45)

Тут n — кількість галузей. В цій моделі діє припущення, що в кожній галузі виробництво здійснюється одним технологічним способом або галузі випускають однорідну продукцію. Нехай проміжна продукція і-ї галузі дорівнює

(1.46)

де Xj — валова продукція j-ї галузі,, Аij — кількість продукції і-ї галузі, що витрачається на виробництво одиниці продукції j-ї галузі.

Модель Леонтьєва характеризується виробничою матрицею А

A=(Aij),;. (1.47)

Ця матриця також зветься матрицею коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.

В матрично-векторній формі модель має вигляд:

(1.48)

де I — одинична матриця розміром (n?n),

— вектор валової продукції (вектор випуску),

— вектор кінцевої продукції.

Вектор валової продукції можна знайти за формулою:

=(I-A)-1,

G=(I-A)-1, (1.49)

=G,

де G — обернена матриця Леонтьєва або мультиплікатор Леонтьєва. Матриця G дорівнює:

G=(Gij),,. (1.50)

Ця матриця зветься матрицею коефіцієнтів повних матеріальних витрат. Елемент Gij показує потребу в валовій продукції і-ї галузі для виробництва одиниці кінцевої продукції j-ї галузі.

Задача планування випуску валової продукції є перетворенням вектора кінцевої продукції за допомогою матриці (I-A)-1 у вектор валової продукції :

(1.51)

Виникає питання відносно умов, за яких існує така матриця (I-A)-1, що для будь-якого невід'ємного вектора, ?0, вектор (I-A)-1 також невід'ємний. Матриця, А зветься невід'ємною, якщо всі її елементи є невід'ємними. Для економічних систем матриця, А завжди невід'ємна, але вона має бути також продуктивною.

За даними, А та побудуємо модель Леонтьєва та знайдемо вектор валової продукції. Для цього виконаємо такі дії:

Знаходимо матрицю (I-A), де І - одинична матриця:

Знаходимо мінори для елементів матриці (I-A):

Знаходимо алгебраїчні доповнення для елементів матриці (I-A):

Побудуємо матрицю із алгебраїчних доповнень:

Транспонуємо матрицю

Обчислюємо визначник матриці |I-A|, для цього використаємо правило трикутника Знаходимо обернену матрицю В. Леонтьєва (І-А)-1

Знаходимо вектор валової продукції

Знаходимо міжгалузеві потоки продукції:

Результати заносимо до табл. 4.2.

Таблиця 5.1 — Результати розрахунків моделі Леонтьєва

6. Дослідження моделі МГБ виробництва та розподілу продукції

Модель міжгалузевого балансу на відміну від моделі «витрати-випуск» Леонтьєва містить ще деякі дані. В табл. 1.3 наведена схема міжгалузевого балансу виробництва та розподілу продукції.

Ця схема включає чотири квадранти. Перший квадрант — це шахова таблиця міжгалузевих потоків продукції. В другому квадранті показана кінцева продукція всіх галузей. Третій квадрант характеризує умовно-чисту продукцію, до якої відносяться амортизаційні відрахування, оплата праці, чистий дохід тощо. Складові третього квадранта можна знайти за формулою:

(1.52)

Четвертий квадрант знаходиться на перетині стовпця другого квадранта та рядка третього квадранта. Він складається з одного показника і використовується для контролю правильності розрахунків: сума елементів другого квадранта має дорівнювати сумі елементів третього квадранта.

Умовно-чисту продукцію (елементи третього квадранта) визначаємо так:

Загальна сума умовно-чистої продукції (четвертий квадрант) дорівнює:

Перевіримо правильність розрахунків: сума елементів другого квадранта має дорівнювати сумі елементів третього квадранта:

Таблиця 6.1 — Міжгалузевий баланс виробництва та розподілу продукції

7. Дослідження моделі міжгалузевого балансу витрат праці

Виділяють модифікації моделі міжгалузевого балансу. Для побудови міжгалузевого балансу витрат праці (табл. 1.4) необхідно задати кількість трудових ресурсів.

Для пошуку коефіцієнтів прямої трудомісткості можна використати формулу:

(1.54)

де — кількість трудових ресурсів j-ї галузі, — обсяг валової продукції j-ї галузі.

Вектор-рядок коефіцієнтів повної трудомісткості знаходимо за формулою:

(1.55)

де — матриця коефіцієнтів повних матеріальних витрат, — вектор-рядок коефіцієнтів прямої трудомісткості, .

Помножуючи всі рядки першого та другого квадрантів міжгалузевого балансів на відповідні коефіцієнти прямої трудомісткості, одержуємо схему міжгалузевого балансу витрат праці.

(1.56)

(1.57)

Також має виконуватись рівняння:

(1.58)

На основі міжгалузевого балансу виробництва та розподілу продукції (табл.1.3) побудуємо міжгалузевий баланс витрат праці (табл. 1.4). визначається як середнє арифметичне кількості трудових ресурсів кожної галузі і округляється до цілого значення.

МГТ витрат праці будуємо на основі використання моделі В. Леонтьєва (табл.1.2)

Знаходимо коефіцієнти прямої трудомісткості за формулою 1.54:

Вектор коефіцієнтів прямої трудомісткості має вигляд:

Далі обчислюємо вектор коефіцієнтів повної трудомісткості:

Помножуючи всі рядки першого та другого квадрантів міжгалузевого балансів на відповідні коефіцієнти прямої трудомісткості, одержуємо схему міжгалузевого балансу витрат праці (табл.1.4):

Таблиця 7.1 — Міжгалузевий баланс витрат праці

Тепер перевіримо виконання рівняння (формула 1.58)

8. Дослідження моделі Солоу

Стан економіки в моделі Солоу задається змінними:

Y — кінцева продукція;

L — трудові ресурси;

K — основні виробничі фонди або виробничий капітал;

І - інвестиції;

С — продукція невиробничого споживання.

Всі змінні взаємопов'язані.

Назвемо нормою накопичення с долю кінцевої продукції, яка використовується в інвестиціях. Тоді:

I=сY,

C=(1-с)Y, (1.59)

0<�с<1.

Інвестиції використовуються для відновлення фондів, які вибувають, та на їх приріст. Приймемо, що фонди вибувають із постійним коефіцієнтом вибування ОВФ м, 0<�м<1.

Також зробимо припущення, що інвестиції у тому ж році повністю витрачаються на приріст ОВФ і на амортизацію. В дискретному варіанті цей зв’язок має вигляд:

(1.60)

де Дt — приріст часу, ДK — приріст капіталу, D — амортизаційні відрахування.

Перепишемо останній вираз у формі:

(1.61)

(1.62)

(1.63)

(1.64)

Тут амортизаційні відрахування дорівнюють D=мK.

У випадку неперервного часу аналогом останнього рівняння є:

(1.65)

Якщо вважати, що приріст трудових ресурсів пропорційний наявним трудовим ресурсам (ДL=LДt, то одержуємо диференційне рівняння:

(1.66)

де — доля приросту трудових ресурсів.

Розв’язання рівняння дає:

(1.67)

де L0 = L (0) — трудові ресурси на початку спостереження (для t=0).

Модель Солоу задається системою рівнянь:

(1.68)

На початку спостереження основні фонди дорівнюють K0.

Розглянемо стаціонарну траєкторію, на якій середня фондоозброєність:

(1.69)

постійна і дорівнює своєму початковому значенню:

k (t) = const = k0, (1.70)

Позначимо стаціонарне значення фондоозброєності через. Для функції Кобба-Дугласа:

Х1= f (K1,L1)=F (K1,L1)/2=aK1бL11-б /2, (1.71)

воно обчислюється за формулою:

(1.72)

Середня продуктивність праці y=.

На стаціонарній траєкторії позначимо продуктивність праці. Для функції Кобба-Дугласа можна знайти за формулою:

(1.73)

Для степеневої виробничої функції величину фондоозброєності розраховуємо за формулою (1.72):

(1.74)

та продуктивність праці:

(1.75)

Дослідимо модель Солоу для виробничої функції першої та другої галузі, а також визначаємо математичні вирази для та. обчислимо їх значення за такими даними: нормою накопичення с=б, коефіцієнтом вибування ОВФ м=0,03, долею приросту трудових ресурсів =0,05.

Спочатку дослідити модель Солоу для виробничої функції першої галузі використовуючи функцію Кобба-Дугласа:

Знайдемо значення фондоозброєності на стаціонарній траєкторії за формулою (1.70):

(грн./чол.),

а стаціонарне значення продуктивності праці за формулою (1.73):

Отже значення фондоозброєності на стаціонарній траєкторії () дорівнює 41 758,88, а продуктивність праці: 4772,44.

Для степеневої виробничої функції розрахуємо стаціонарне значення фондоозброєності за формулою (1.74):

(грн./чол.),

та продуктивність праці (формула 1.75):

Таким чином, стаціонарні значення для другої галузі фондоозброєності () =5434,82 і продуктивності праці ()=1075,84.

ВИСНОВКИ

У даному курсовому проекті була побудована й описана двогалузева макроекономічна модель. Також були досліджені такі типові економіко-математичні моделі:

а) виробнича функція Кобба-Дугласа, степенева виробнича функція;

б) модель «витрата-випуск» Леонтьєва;

в) модель міжгалузевого балансу виробництва та розподілу продукції;

г) модель міжгалузевого балансу витрат праці

д) модель Солоу.

Вони показані на розрахунках для двох галузей. По отриманим результатам ми можемо зробити такі висновки:

Виробнича функція відображає залежність результату від витрат ресурсів. Як ресурси на макрорівні здебільшого розглядаються накопичена праця у формі виробничих фондів (капітал) і поточна праця. А як результат — валовий випуск. Для характеристики виробничих функцій були розраховані такі величини: гранична фондовіддача, гранична продуктивність праці, середня фондовіддача, середня продуктивність праці, еластичність продукції за основними фондами та за трудовими ресурсами.

Модель Леонтьєва слугує для вирішення таких задач:

задача спостереження або аналізу (знаходимо кінцеву продукцію);

задача планування або синтезу (знаходимо валову продукцію);

дослідження впливу технологій, тобто матриці А на виробництво продукції при заданій кінцевій та валовій продукції.

Балансові моделі широко використовуються в економічних дослідженнях, аналізі, плануванні. Вони будуються як числові матриці - прямокутні таблиці чисел. Міжгалузевий баланс складається с чотирьох квадрантів:

Перший квадрант МГБ — це таблиця міжгалузевих потоків.

Другий квадрант МГБ: кінцева продукція всіх галузей матеріального виробництва.

Третій квадрант МГБ: умовно-чиста продукція (сума чистої продукції і амортизації).

Четвертий квадрант МГБ слугує для перевірки правильності результатів.

Модель Солоу є одно секторною моделлю економічного розвитку. У цій моделі економічна система розглядається як єдине ціле, виробляючи лише один узагальнений продукт, який може і споживатись і інвестуватись. Модель досить адекватно відбиває найважливіші макроекономічні аспекту відтворення.

Стан економіки в моделі Солоу задається п’ятьма ендогенними змінними: валовий суспільний продукт (X), фонд невиробничого споживання ©, інвестиції (I), кількість зайнятих (L), виробничі фонди (K). Окрім цього в моделі є такі екзогенні показники: — річний темп приросту чисельності занятих, — частка вибулих протягом року основних виробничих фондів, — коефіцієнт прямих витрат, — норма накопичення. Також були розраховані: стаціонарне значення фондоозброєності через та продуктивність праці .

В умовах ринкової економіки використання типових і розробка нових моделей дає можливість правильно оцінити й передбачити різні економічні показники, прийняти оптимальні управлінські рішення.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1. Івченко Н.Б. Математичні моделі та методи в менеджменті, маркетингу й економіці [Текст]: Навч. посібник / Н.Б. Івченко. — Х.: СМІТ, 2007. — 168 с.

2. Вітлінський В. В. Моделювання економіки [Текст]: Навч. посібник / В.В. Вітлінський. — К.: КНЕУ, 2003. 408 с.

3. Красс М. С. Математические методы и модели для магистрантов экономики [Текст]: Учебное пособие / М. С. Красс., Б. П. Чупрынов — СПб.: Питер, 2006. — 496 с. — ISBN 5−469−879−7.

4. Малыхин В. И. Математическое моделирование экономики [Текст]: Учебно-практическое пособие / В. И. Малыхин. — М.: Изд-во УРАО, 1998. — 160 с.

5. Бережная Е. В. Математические методы моделирования экономических систем [Текст]: Учеб. Пособие / Е. В. Бережная, В. И. Бережной. — М: Финансы и статистика, 2001. — 368 с.

6. Хачатрян С. Р. Прикладные методы математического моделирования экономических систем [Текст]: Науч.-метод. пособие / С. Р. Хачатрян. — Московская академия экономики и права. — М.: «Экзамен», 2002. — 192 с.

7. Івченко Н. Б. Конспект лекцій до курсу «Моделювання економіки» для студентів усіх форм навчання спеціальності «Економічна кібернетика» Частина 2 [Електронний ресурс] / Упоряд. Н.Б. Івченко. — Харків: ХНУРЕ, 2009 — 47 с.