Аналітична геометрія. 
Вектори (реферат)

Реферат на тему:

Аналітична геометрія. Вектори.

Означення. Вектором (n-вимірним вектором, геометричним вектором) називається впорядкований набір чисел $$\stackrel{}{a}=(a_1,\text{.}\text{.}\text{.},a_n)$$ .

Означення. Вектори називаються рівними, якщо співпадають їхні розмірності та всі компоненти.

Приклад. Вектори (1−2-3) та (1−3-2) рівними не є, незважаючи на те, що множина {1−2-3} дорівнює множині {1−3-2} .

Означення. Нульовим вектором називається вектор $$\stackrel{}{0}=(0-\text{.}\text{.}\text{.}-0)$$ .

Означення. Добутком вектора $$\left\{x_n\right\}=\left\{\text{10}+\frac{1}{n}\right\}=\text{10}\frac{1}{2}-\text{10}\frac{1}{3}-\text{10}\frac{1}{4}-\text{.}\text{.}\text{.}$$ на число k називається вектор $$A=\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}{x}_n$$ .

Означення. Сумою векторів $$\left\{x_n\right\}=\left\{\text{10}+\frac{1}{n}\right\}$$ та $$x_n=\frac{3}{n^2}$$ називається вектор $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}{x}_n=0$$ .

Означення. Скалярним добутком векторів $$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}{x}_n=\text{.}A,\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}{y}_n=B\\ \end{array}$$ та $$\stackrel{}{b}=(b_1,\text{.}\text{.}\text{.},b_n)$$ називається число $$\begin{array}{c}\pm y_n)=\text{.}A\pm B\\ \begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}(x_n\\ \end{array}$$ .

Означення. Модулем (довжиною) вектора $$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}(x_n{y}_n)=\text{.}AB\\ \end{array}$$ називається число $$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}\\ \end{array}$$ .

Кут іж векторами $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\left(\text{10}+\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{3}{n^2}\right)$$ та $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\left(\text{10}+\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{3}{n^2}\right)=\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\left(\text{10}+\frac{1}{n}\right)\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\left(2-\frac{3}{n^2}\right)=\text{10}2=\text{20}$$ задається формулою $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{n+5}{4n}$$. При n=2 ця формула співпадає зі шкільною формулою для кута між векторами на площині.

Вектори називаються ортогональними, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю. Це виконується за умови cos, тобто при 0.

Розглянемо прямокутну систему координат на площині та вектори $$\left\{\frac{x_n}{y_n}\right\}=\left\{\frac{n+5}{4n}\right\}$$ і $$\stackrel{}{j}=(0-1)$$ на цій площині (рис. 2.1). Ці вектори (вони ортогональні і їхня довжина дорівнює одиниці) називають ортами.

y.

j.

i x.

Рис. 2.1.

Розглянемо також просторову систему координат з ортами $$\frac{n+5}{4n}=\frac{1+\frac{5}{n}}{4}$$, $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{n^2+3n-5}{2n^2-n}$$ та $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{n^2+3n-5}{2n^2-n}=\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{1+\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2}}{2-\frac{1}{n}}=\frac{1+0+0}{2-0}=\frac{1}{2}$$ (рис. 2.2).

z.

k.

i j y.

x.

Рис. 2.2.

Виконується така теорема: Кожен вектор в n-вимірному просторі єдиним способом розкладається по координатних осях.

Зокрема, в тривимірному просторі.

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n$$ ,.

а в двовимірному ­.

$$S_n=\frac{22+\text{10}(n-1)}{2}n=5n^2-3n$$ .

Нехай $$S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}$$ та $$S_n=1\frac{1-{\left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right)}^n}{1-\left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right)}=2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$$ — вектори, а k — дійсне число. Виконуються такі властивості:

$$\stackrel{}{x}+\stackrel{}{y}=\stackrel{}{y}+\stackrel{}{x}$$ — $$S=1\frac{1}{1-\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}=2$$ ;

$$S=1\frac{1}{1+\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}=\frac{2}{3}$$ — $$S=1\frac{1}{1-\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}=2$$ ;

$$t=\frac{\text{ln}2}{\text{ln}\mathrm{1,1}}$$ — $$\text{FV}=\text{PV}(1+r{)}^t$$ ;

$$\text{PV}=\frac{\text{FV}}{(1+r{)}^t}$$ — $$\stackrel{}{0}k=k\stackrel{}{0}=\stackrel{}{0}$$ ;

$$p=\text{5000}\frac{\mathrm{0,}\text{06}}{\mathrm{1,}{\text{06}}^3-1}\text{1570},\text{55}$$ — $${\text{PV}}_1=\frac{{\text{FV}}_1}{1+r}=\frac{\text{1200}}{1+\mathrm{0,}\text{07}}=\text{1121}\mathrm{,\; 5}\text{грн}\text{.}$$ .

Наведемо деякі формули, що стосуються векторів у тривимірному просторі.

Кути між вектором $${\text{PV}}_2=\frac{{\text{FV}}_2}{(1+r{)}^2}=\frac{\text{1200}}{(1+\mathrm{0,}\text{07}{)}^2}=\text{1048}\mathrm{,\; 1}\text{грн}\text{.}$$ та координатними осями обчислюють за формулами.

$${\text{PV}}_3=\frac{{\text{FV}}_3}{(1+r{)}^3}=\frac{\text{1200}}{(1+\mathrm{0,}\text{07}{)}^3}=\text{979}\mathrm{,\; 6}\text{грн}\text{.}$$ ;

$${\text{PV}}_4=\frac{{\text{FV}}_4}{(1+r{)}^4}=\frac{\text{1200}}{(1+\mathrm{0,}\text{07}{)}^4}=\text{915}\mathrm{,\; 4}\text{грн}\text{.}$$ ;

$$\text{PV}=\underset{i=1}{\overset{4}{}}{\text{PV}}_i=\text{FV}\left[\frac{1}{(1+r)}+\frac{1}{(1+r{)}^2}+\frac{1}{(1+r{)}^3}+\frac{1}{(1+r{)}^4}\right]=$$ .

Кут між двома векторами $$=\text{FV}\frac{1}{1+r}\frac{1-(1+r{)}^{-4}}{1-(1+r{)}^{-1}}=\text{1200}\frac{1-\mathrm{1,}{\text{07}}^{-4}}{\mathrm{0,}\text{07}}\text{4064}\mathrm{,\; 6}\text{грн}\text{.}$$ та $$\text{PV}={\text{PV}}_1+{\text{PV}}_2+\text{.}\text{.}\text{.}=\frac{{\text{FV}}_1}{1+r}+\frac{{\text{FV}}_2}{(1+r{)}^2}+\frac{{\text{FV}}_3}{(1+r{)}^3}\text{.}\text{.}\text{.}=\frac{\text{1000}}{\mathrm{1,}\text{12}}+\frac{\text{1000}}{\mathrm{1,}{\text{12}}^2}+\frac{\text{1000}}{\mathrm{1,}{\text{12}}^3}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ обчислюєть за формулою.

$$\text{PV}=\frac{\text{1000}}{\mathrm{1,}\text{12}}\frac{1}{1-\frac{1}{\mathrm{1,}\text{12}}}=\frac{\text{1000}}{\mathrm{0,}\text{12}}=\text{8333},\text{33}\text{грн}\text{.}$$ .

Означення. Векторним добутком векторів $$\text{PV}(\text{інвестицій})=\text{300}+\frac{\text{300}}{\mathrm{1,2}}+\frac{\text{200}}{{\mathrm{1,2}}^2}=\text{689}(у\text{.}о\text{.})$$ та $$\text{PV}(\text{доходів})=\frac{\text{100}}{{\mathrm{1,2}}^2}+\frac{\text{300}}{{\mathrm{1,2}}^3}+\frac{\text{400}}{{\mathrm{1,2}}^4}+\frac{\text{500}}{{\mathrm{1,2}}^5}=\text{637}(у\text{.}о\text{.})$$ називається вектор

$$K=\text{PV}={\text{PV}}_1+\text{.}\text{.}\text{.}+{\text{PV}}_{\text{10}}=\frac{{\text{FV}}_1}{(1+r)}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{{\text{FV}}_{\text{10}}}{(1+r{)}^{\text{10}}}=R\left[\frac{1}{1+r}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{(1+r{)}^{\text{10}}}\right]=R\frac{1-(1+r{)}^{-\text{10}}}{r}$$.

Векторний добуток задовольняє, зокрема, таку властивість:

$$R=K\frac{r(1+r{)}^{-\text{10}}}{(1+r{)}^{\text{10}}-1}=\text{50\hspace{0.17em}000}\frac{{\mathrm{1,1}}^{\text{10}}\mathrm{0,1}}{{\mathrm{1,1}}^{\text{10}}-1}=\text{8137},\text{25}\text{грн}\text{.}$$, де — кут між векторами $$\stackrel{}{a_1}$$ та $$\stackrel{}{a_2}$$ .

Приклад. Обчислити площу трикутника ABC, де A (1−0-2), B (1−2-0), C (0−1-2).

Знаходимо вектори $$\stackrel{}{\text{AB}}$$ =(0−2—2) та $$\stackrel{}{\text{AC}}$$ =(-1−1-0). Оскільки площа трикутника ABC дорівнює $$S_{\text{ABC}}=\frac{1}{2}|\stackrel{}{\text{AB}}||\stackrel{}{\text{AC}}|\text{sin}=\frac{1}{2}|\stackrel{}{\text{AB}}\stackrel{}{\text{AC}}|$$, то спочатку обчислюємо векторний добуток.

$$\stackrel{}{\text{AB}}\stackrel{}{\text{AC}}=|\begin{array}{ccc}\stackrel{}{i}& \stackrel{}{j}& \stackrel{}{k}\\ 0& 2& -2\\ -1& 1& 0\end{array}|=\stackrel{}{i}|\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& 0\end{array}|-\stackrel{}{j}|\begin{array}{cc}0& -2\\ -1& 0\end{array}|+\stackrel{}{k|\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 1\end{array}|}=2\stackrel{}{i}+2\stackrel{}{j}+2\stackrel{}{k}=(2-2-2)$$ .

Знаходимо модуль цього векторного добутку:

$$|\stackrel{}{\text{AB}}\stackrel{}{\text{AC}}|=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=\sqrt{\text{12}}$$.

Отже, шукана площа $$S_{\text{ABC}}=\frac{1}{2}\sqrt{\text{12}}=\sqrt{3}$$ .