Группы симетрій квадрата і куба

Группы симетрій квадрата і куба

О.А.Котий, Т. Л. Агафонова.

.

Хорошо знайома школяреві постать квадрат має чотири осі симетрії і центр симетрії (рис. 1). Це означає, що є п’ять рухів площині: чотири осьові симетрії і жодна центральна, у яких квадрат відображається він. При цьому дехто вершини поміняються місцями, і деякі залишаться нерухомими.

Поставим більш спільне завдання: перелічити всі руху, які відображатимуть квадрат він.

Легко побачити, що таких перетворень 8. Крім вище зазначених чотирьох осьових симетрій є ще чотири повороту навколо центру O (на 0о, 90о, 180о). Сюди ввійшли тотожне перетворення і центральна симетрія .

Имеется більш загально поняття, ніж безліч перетворень фігур у себе — група симетрій постаті. Це така безліч перетворень, які відбивають постать на себе, які можна перемножать те щоб виконувалися звичні властивості множення чисел.

Произведение перетворень a і b (ab) — це перетворення, отриманий у результаті послідовного виконання перетворень a, b.

При такому визначенні множення перетворень виконуються свойства.

Существует «одиниця «множення — це тотожне перетворення e таке, що перетворення ea і ae збігаються з перетворенням a.

Каждое перетворення a має зворотне a-1 таке, що aa-1 = a-1a = e.

При множенні трьох перетворень a, b і з перетворення можна об'єднувати попарно у різний спосіб, тобто виконується асоціативний закон.

(ab) з = a (bc).

Отсюда, при множенні кількох множників дужки годі й ставить.

У на відміну від множення чисел коммутативный закон для множення перетворень не обов’язково виконується. Наприклад. Нехай a і b (рис. 2) — осьові симетрії (для стислості надалі слово осьова будемо опускати). Перетворення ab отображает:

A D B,.

B З З.

Сторона AB перейшов у BC; центр Про залишився нерухомим. ab — це поворот навколо центру Про на 90о. Аналогічно перевіряється, що перетворення ba є поворот в бік, на -90о, тобто ab ba.

Таким чином, перелічені вище 8 перетворень утворюють некоммутативную групу симетрій квадрата (G2).

Четыре повороту навколо центру Про на 0о, 90о, 180о також утворюють групу — це підгрупа групи симетрій квадрата, бо за множенні поворотів знову виходить поворот, кут повороту якого дорівнює сумі кутів повороту сомножителей (з точністю до 360о). Ця підгрупа породжується поворотом на 90о ():

, , .

Это циклічна група Z4 { r, r2, r3, r4 = e }.

Вона складається з ступенів одного що породжує її елемента. Вочевидь, r2 є центральна симетрія z, r3 = r -1. Симетрія a (рис. 2) породжує підгрупу Z2 { a, a2 = e }. Дві симетрії a і з, осі яких перпендикулярні (рис. 3) породжують нециклическую підгрупу з чотирьох елементів: двох осьових симетрій і однієї центральної: { a, з, ac = z, a2 = e }. Через те, що множення двох симетрій дає поворот на подвоєний кут між осями, можна перевірити, що правила множення з цією групи такі. Твір будь-яких двох симетрій одно третьої симетрії, а квадрати їх рівні тотожному перетворенню (табл. 1). Групу з такою таблицею множення називають четверний групою Клейна (K4) (Фелікс Клейн (1849 — 1925 рр.) — німецький математик). Ця група також як і циклічна (Z4) коммутативна.

Зауваження. Група симетрій квадрата G2 породжується двома симетріями a, b (рис. 2).

G2 { a, b, ab, ba, aba, bab, abab, a2 = e },.

где aba, bab — симетрії, abab — центральна симетрія z.

Используя рівності a2 = b2 = e, abab = baba, можна спростити будь-яке твір, складене з сомножителей a і b. Наприклад, ababa = (baba) a = (bab) a2 = bab — симетрія c.

Коммутатор. Коммутант Произведение aba-1b-1 називають комутатором перетворень a і b. Позначається [ab].

Если ab = ba, то комутатор [ab] = aba-1b-1 = (ba)a-1b-1 = b (aa-1)b-1 = beb-1 = bb-1 = = e. Якщо перетворення a і b не перестановочны, то [ab] e.

Коммутаторы всіх пар перетворень групи породжують групу, що називається коммутантом группы.

Для комутативної групи коммутант тривіальний, він з одиниці групи. Таким чином, коммутант у сенсі є «мірою некоммутативности «группы.

Вычислим коммутант групи симетрій квадрата (G2). Щоб не перебирати все пари, підемо таким шляхом, який використаний у подальшому для дослідження групи симетрій куба.

З квадратом ABCD жорстко зв’яжемо два вектора e1, e2 (рис. 4). При будь-якому перетворення квадрата пара векторів (e1, e2) займе нове становище, позначимо його символом: (ei, ej) (і, j = 1,2; і j). Є лише вісім символів:

(e1, e2); (e2, e1).

Каждому перетворенню квадрата відповідає свій символ. Приклад: тотожному перетворенню e — (e1, e2), центральної симетрії z — (-e1, -e2), симметриям b, з — (e2, e1), (-e1, e2), повороту r — (e2, -e1).

Способ множення символів покажемо на примере.

(-e1, e2) (-e2, -e1).

В першому перетворення e1 -e1. У другому перетворення e1 -e2, тодіe1 e2. Аналогічно e2 e2 -e1. Остаточно (-e1, e2) (-e2, -e1) = (e2, -e1).

(e2, e1) (e2, -e1).

В першому перетворення e1 e2, тоді як у другому перетворення e2 -e1. Аналогічно e2 e1 e2. Остаточно (e2, e1) (e2, -e1) = (-e1, e2).

Упражнение. Перевірте, що.

1. (e1, e2) (,) = (,),.

2. (e2, e1) (,) = (,),.

где (,) — символ кожного з восьми перетворень квадрата.

Из цих прикладів слід, що з множенні парного числа перетворень (e2, e1) у творі виходить символ з натуральним порядком індексів векторів, а при непарному — виходить символ зі зворотним порядком векторів. Кількість мінусів внаслідок матиме ті ж самі парність, як сума числа мінусів всіх сомножителей.

Упражнение. Перевірте, що.

1. (e1, e2)-1 = (e1, e2),.

2. (2e2, 1e1)-1 = (1e2, 2e1), де і = 1.

Отсюда висновок, що символ зворотного перетворення має саме число мінусів, як і дане, і таку саму послідовність индексов.

Вернемся до комутатору [ab] = aba-1b-1. З урахуванням наслідків, що випливають із попередніх вправ, число символів виду (e2, e1) в комутаторі завжди четно. Звідси випливає, що у символі комутатори індекси векторів йдуть у натуральному порядку і є або два мінуса, або жодного. І це отже, що комутаторами групи симетрій квадрата може лише.

(e1, e2) і (-e1, -e2).

Например, з коммутативности твори симетрій a, з (рис. 4) їх комутатор [ac] = e, тобто (e1, e2). Легко перевірити, що [ab] = z (рис. 4), тобто (-e1, -e2).

Множество з комутаторів { (e1, e2); (-e1, -e2) } вже утворює групу, тому по визначенню є коммутантом групи симетрій G2. Коммутант від отриманого коммутанта, з коммутативности групи є одиниця e.

Группа, що має властивістю, що послідовність її коммутантов призводить до групі, що з однієї одиниці, називається разрешимой.

Таким чином, група симетрій квадрата разрешима.

Группа симетрій куба Изучим тепер групу симетрій куба і з’ясуємо, можна залагодити вона чи нет?

Для цього використовуємо символіку, введену у минулому параграфі. З кубом жорстко зв’яжемо три вектора e1, e2, e3 (рис. 5). При будь-якому перетворення куба трійка векторів (e1, e2, e3) займе нове становище (ei, ej, ek) (і, j, k = 1, 2, 3; і j k, і k). Кожному перетворенню куба відповідає свій символ, правильно, і зворотне. Окремі будуть є такі символом, отриманим перестановкою парного числа векторів (циклічною).

Это: (e3, e1, e2) — відповідає повороту навколо осі DB1 на 120о (рис. 6) (дві перестановки: e2 з e3 і e3 з e1); (e2, e3, e1) — відповідає зворотному повороту (на -120о) (дві перестановки: e1 з e3 і e3 з e2); (e1, e2, e3) — тотожному перетворенню (нуль перестановок). Інші перетворення будуть є такі символом, отриманим непарною числом перестановок. Це символи, відповідні площинним симметриям:

.

Например, (e2, e1, e3) — симетрія щодо площині BB1D1D (рис. 7) (одна перестановка: e1 і e2).

В відповідність до числом перестановок називатимемо символи (e1, e2, e3), (e3, e1, e2), (e2, e3, e1) парними, а символи (e1, e3, e2), (e3, e2, e1), (e2, e1, e3) — нечетными.

Но у кожному символі можуть бути присутні знаки мінус (-) (один, двоє чи троє). Например:

(e1, e2, e3) — тотожне перетворення e,.

(-e1, -e2, -e3) — центральна симетрія щодо центра,.

(-e1, e2, e3), (e1, -e2, e3), (e1, e2, -e3) — площинні симетрії щодо площин a, b, з (рис. 8),.

(-e1, -e2, e3), (-e1, e2, -e3), (e1, -e2, -e3) — осьові симетрії щодо осей, паралельних відповідно векторах e3, e2, e1.

Итак, до трьох векторів існує 6 перестановок в кожній перестановці можна 8-ью способами розставити знаки (+), (-). Отже, вся група рухів куба містить 6×8 = 48 элементов.

Умножение символів із трьох векторів продукуватимемо як і, як і множення символів з двох векторів. Для обчислення комутаторів знадобляться зворотні перетворення, тому відзначимо ось що. Оскільки перетворення куба, зазначені символами (?1e1, ?2e2, ?3e3) (?i= 1, i=1,2,3), і навіть непарними символами (e1, e3, e2), (e3, e2, e1), (e2, e1, e3) є симетрії, то всі вони збігається з своєю зворотною преобразованием:

(?1e1, ?2e2, ?3e3)-1 = (?1e1, ?2e2, ?3e3),.

(e1, e3, e2)-1 = (e1, e3, e2), (e3, e2, e1)-1 = (e3, e2, e1), (e2, e1, e3)-1 = (e2, e1, e3).

Для повороту навколо осі у напрямі зворотним є поворот навколо тієї самої осі у напрямі такий самий кут, тому (e3, e1, e2)-1 = (e2, e3, e1) і навпаки (e2, e3, e1)-1 = (e3, e1, e2).

Упражнение. Перевірте справедливість наступних равенств:

(e3, e1, e2) (e2, e3, e1) = (e1, e2, e3).

(e3, e1, e2) (e2, e1, e3) = (e3, e2, e1).

(-e3, -e2, e1) (-e2, e1, -e3) = (e3, -e1, -e2).

(-e1, -e2, -e3) (-e1, -e3, e2) = (e1, e3, -e2).

(-e2, -e1, e3) (-e3, -e2, e1) = (e2, e3, e1).

Из розглянутих вправ слід, що множення двох парних символів дає парний символ (упр. 1), множення двох непарних символів — парний символ (упр. 3, 5), множення парного і непарного — непарний символ (упр. 2, 4). З вправ 3, 4, 5 ясно, що досі, як і за множенні символів з цих двох векторів, парність числа мінусів у творі збігаються з парністю числа суми мінусів сомножителей.

Выясним тепер, можна залагодити чи група симетрій куба (G3)?

Коммутатор [ab] є результатом множення чотирьох сомножителей aba-1b-1. Тож у силу попередніх зауваг та наслідків, що випливають із вправ, будь-який комутатор групи симетрій куба задається четным символом (таких три), у яких парне число мінусів (або два, або жодного). Обчислення показує, що коммутант групи симетрій куба складається з таких преобразований:

(e1, e2, e3), (e3, e1, e2), (e2, e3, e1),.

(e1, -e2, -e3), (e3, -e1, -e2), (e2, -e3, -e1),.

(-e1, e2, -e3), (-e3, e1, -e2), (-e2, e3, -e1),.

(-e1, -e2, e3), (-e3, -e1, e2), (-e2, -e3, e1).

Табл. 2.

Найдем коммутант від отриманого коммутанта ().

Элементы першого рядка чудово табл. 2 утворюють коммутативную групу поворотів навколо осі DB1, тому всі комутатори групи не враховуючи знаків зводяться до одиниці (e1, e2, e3). З урахуванням ж знаків комутаторами будуть перетворення першого шпальти табл. 2 (число мінусів комутатори то, можливо як і лише четно):

(e1, e2, e3), (e1, -e2, -e3), (-e1, e2, -e3), (-e1, -e2, e3).

Эти чотири елемента утворюють коммутативную групу з таблицею множення той самий, як в групи Клейна (K4) (табл. 1). Отже, коммутантом групи є коммутативная група Клейна, та її коммутант є одиниця. Оскільки послідовність коммутантов групи призводить до единице:

= e,.

то група симетрій куба разрешима.

Аналогично тому, як від квадрата (двумерного куба) перейшли до тривимірному кубу, від тривимірного куба можливість перейти до четырехмерному і пятимерному. Уявити ці постаті важко, проте його можна обрати таке опис. Три взаємо-перпендикулярних вектора, відкладених від центру тривимірного куба, задають прямокутну систему координат Oxyz (рис. 5) тривимірного простору. Координати восьми вершин куба у цій системі координат є набори трійок чисел виду: (1, 1, 1). У чотиривимірному просторі система координат містить чотири взаємо-перпендикулярних вектора (e1, e2, e3, e4). Тоді четырехмерный куб можна поставити 16-ью вершинами з координатами (1, 1, 1, 1). Аналогічно можна було одержати пятимерный куб. Тоді руху цих кубів можна також ознайомитися поставити символами з чотирьох і п’яти векторов:

(ei, ej, ek, et);

i, j, k, t = 1, 2, 3, 4;

i j k t; j t і k;

(ei, ej, ek, et, eр);

i, j, k, t, p = 1, 2, 3, 4, 5;

i j k t p; j t і k p; і p j.

Если розглянути групи симетрій четырехмерного куба (G4) і пятимерного куба (G5), то проводячи аналогічні міркування, можна довести, що з G4 можна залагодити, а група G5 — не можна залагодити.

Коммутаторами цих груп ( і ) як і будуть перетворення, зазначені парними символами з четным числом мінусів. Так було в входять перетворення, символи яких, не враховуючи знаків виходять з (e1, e2, e3, e4):

1) якщо одне вектор залишається дома, а через три переставлені парне число раз; наприклад, (e1, e4, e2, e3) чи.

2) шляхом перестановки векторів у двох парах, таких не враховуючи знаків — три:

(e2, e1, e4, e3); (e3, e4, e1, e2); (e4, e3, e2, e1).

Например, символ (e2, e1, e4, e3) вийде з (e1, e2, e3, e4), якщо переставити вектора у парі e1, e2 й у парі e3, e4. Якщо до останнього рядку додати одиницю (e1, e2, e3, e4), то знову матимемо групу Клейна. Читач може перевірити, що коммутант групи складається з елементів цієї групи Клейна, узятих з четным числом мінусів (нуль, два, чотири). Коммутант складається з восьми елементів. Усі вони записуються символом з натуральним порядком векторів і мають парне число мінусів. Група — коммутативная, тому її коммутант складається з однієї одиниці. З чого слід, що з симетрій четырехмерного куба разрешима.

Группа не можна залагодити, оскільки = = = … e, як і і велика група для n>5.

Добавим, що проблему разрешимости групи пов’язані з проблемою разрешимости алгебраического рівняння в радикалів. Так рівняння вище 4-ой ступеня не можна розв’язати в радикалів. Це означає, що є рівняння n-ой ступеня (n>4), коріння які неможливо висловити через коефіцієнти цього рівняння з допомогою алгебраїчних діянь П. Лазаренка та вилучення коренів n-ой степени.

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із сайту internet.