Елементарна теорія похибок (реферат)

Реферат на тему:

Елементарна теорія похибок Означення. Нехай A — точне значення деякого числа, тоді як a — наближене. Тоді різниця |A-a| називається абсолютною похибкою числа A .

Означення. Частка $$\frac{{}_a}{|A|}$$ називається відносною похибкою числа A.

Приклад. Нехай A=10- a=9,5- B=50- b=50,5.

Тоді |10−9,5| = 0,5- 0,5/10 =0,05 = 5%.

|50−50,5| = 0,5- b = 0,5/50 = 0,01 = 1%.

Зазначимо, що на практиці більшість статистичних даних є відомими лише з деякою похибкою.

Означення. Кажуть, що число a має n вірних знаків (розрядів, цифр), якщо його абсолютна похибка не перевищує половини n-го розряду.

Приклад. Числа 10±0,5 та 50±0,5 мають два вірні знаки. Число 123,2±0,05 має чотири вірні знаки.

У математиці (а також в її застосуваннях) прийнято записувати для кожного числа всі його вірні знаки і лише ці вірні знаки. Наприклад, за записом x1=112,40 визначаємо, що це число має п’ять вірних знаків (005), тоді як за записом числа x2=112,4 визначаємо той факт, що це число має чотири вірні знаки (05). У числі y1=1200 вірними є чотири знаки (5), а в числі y2=0,120 маємо тільки три (.

Теорема 1. У разі додавання (віднімання) наближених чисел їхні абсолютні похибки додають:

.

Теорема 2. У разі множення (ділення) наближених чисел їхні відносні похибки додають:

.

Для додавання багатьох близьких чисел (a1~a2~…~an~a) використовують формулу.

$${}_{a1+a2+\text{.}\text{.}\text{.}+\text{an}}=\sqrt{3n}{}_a$$.

Приклад. Нехай a=12±0,3 — b=10±0,2.

Виконавши додавання, одержимо a+b=22±0,5 ,.

звідки = 0,5.

У результаті множення отримуємо a12±0,3)±0,2)±5,4 ,.

звідки $${}_{ab}=\frac{\mathrm{5,4}}{\text{120}}=\mathrm{0,}\text{045}=\mathrm{0,}\text{025}+\mathrm{0,}\text{02}=\frac{\mathrm{0,3}}{\text{12}}+\frac{\mathrm{0,2}}{\text{10}}={}_a+{}_b$$ .

Абслютну похибку функції від багатьох змінних y = y (x1,…, xn), як зазначено в темі 6, обчислюють за формулою.

$${}_y=\underset{i=1}{\overset{n}{}}|\frac{y}{x_i}|{\mathit{}}_i$$ .

Типовою помилкою економіста є наведення у відповіді великої кількості знаків після коми (оскільки комп’ютер виконує обчислення з багатьма розрядами). Проте точність результату не може бути вищою, ніж точність вхідних даних!

Зазначимо, що у разі віднімання відносна похибка може значно зростати.

Приклад. Нехай a=121±0,5.

b=119±0,5.

Відносні похибки аргументів становлять $${}_a=\frac{\mathrm{0,5}}{\text{121}}\mathrm{0,}\text{0041}=\mathrm{0,}\text{41}$$.

та $${}_b=\frac{\mathrm{0,5}}{\text{119}}\mathrm{0,}\text{0042}=\mathrm{0,}\text{42}$$ .

Знаходимо відносну похибку результату віднімання наближених чисел: $${}_{a-b}=\frac{{}_{a-b}}{|a-b|}=\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}=\text{50}$$.

Як бачимо, внаслідок виконання лише однієї дії відносна похибка зросла більше, ніж у 100 разів.

Отже у разі виконання значної кількості обчислень завжди є небезпека втрати вірних знаків. Автоматизація розрахунків за допомогою комп’ютера в цьому аспекті допомогти аж ніяк не може. Користувач сам повинен планувати процес обчислень так, щоб уникати віднімання близьких чисел.