Элементы диференціального і інтегрального обчислення у книзі П. Я. Гамалеи Вышняя теорія морського мистецтва

Элементы диференціального і інтегрального обчислення у книзі П. Я. Гамалеи «Вышняя теорія морського мистецтва «.

О. А. Саввина Данное дослідження підготовлене напередодні 200-річчя виходу друком другого томи книжки П. Я. Гамалеи «Вышняя теорія морського мистецтва », що містить початкові підстави вышних обчислень, з додатками них до криволінійної геометрії і до навігації(СПб., 1802 г.).

Этот об'ємистий працю цікавий у багатьох аспектах. Він цікавить як і науковому историко-математическом плані, і у историко-методическом. Але спочатку всього цікава особистість самого автора, тому хотілося б сказати про ньому кілька слов.

Платон Якович Гамалея (29 листопада 1766 — 1 липня 1817) — професійний моряк, обдарований математик і не звичайний педагог. Більшість життя Платона Яковича пов’язана з Морським кадетським корпусом. О 13-й років надійшов це навчальний заклад, а потім уже із 16-го років плавав в ескадрі віце-адмірала Чічагова. (По прийнятому тоді корпусі становищу всіх гардемаринів (вихованців випускного класу) наказувалося спрямовувати на бойові кораблі різних ескадр). Потім Гамалея неодноразово виходив у морі брав участь у різних боях, причому який завжди вдало. Пишуть, що одного разу навіть потрапив у плен.

С 1793 р. Платон Якович викладає в корпусі морську практику, еволюцію і теорію морського мистецтва, і з 1795 р. призначається посаду інспектора класів. До обов’язків інспектора входило контролювати надавати допомогу викладачам. Навчальний процес у цей час поставив у корпусі не найкращим чином (Після пожежі 1771 р. вихованці переїхали до Кронштадт, а викладачі відмовлялися їздити туди щодня з Петербурга, і це могло не зашкодити підготовці кадетів, що стали стрімко ухудшаться).

И Платон Якович розпочав перебудову. Передусім новий інспектор обновив склад викладачів. Старих пустив у пенсію, а молодих організував своєрідний «курс перепідготовки «(як тепер назвали — «курси підвищення кваліфікації «), який складався з курсу лекцій. Для читання він запрошував кращих професорів і викладачів інших столичних кадетських корпусів і Академії наук. Багато він приділяв і виховним питанням. «Гамалея прагнув порушити в вихованців почуття лідерства, бажання займатися якнайкраще, домагатися вищих успіхів у навчанні й дисципліни. Відмінники в класах користувалися авторитетом, а головне, — повагою товаришів, які величали їх за батькові і з що існувала тоді традиції називали «зейманами «(від англійського «seaman «- моряк). Юнаки пишалися цим своїм неофіційним званням. «Зейманы «були першими помічниками викладачів, займалися з товаришами, пояснювали важкі теми, приклади і завдання «[1. З. 50].

Однако дослідники відразу помічають, що основна увагу інспектора було зосереджено тільки математичних і спеціальних предметах: «Платон Якович Гамалея доклав чимало зусиль, аби повернути Морському кадетському корпусу колишнє ім'я, але, приділяючи занадто багато уваги математичним і спеціальним навчальним дисциплінам, марнував не врахували інші науку й в викладанні їх вдалося досягти тих вершин, якими славилося раніше ця военно-учебное заклад «[1. З. 50].

В 1806 р. на випуску вихованців корпусу Гамалея вимовив свою знамениту промову: «Йдеться про науках взагалі, про їхню користь і способі тренуватися в них », яка «являла собою красномовний панегірик науці, взагалі, у цьому однині і математиці «. У цьому промови він, ніби між іншим, символізував необхідність з'єднувати вивчення науки з її историей.

Но найбільшу популярність учений отримав за видання багатотомної енциклопедії «Вышняя теорія морського мистецтва ». «П. Я. Гамалея старанно вивчив усього, було цікавого й нового континенту в організації навчально-виховного процесу як і російських кадетських корпусах, і у військово-навчальних закладах Німеччині й Англії, і основі з урахуванням морської специфіки написав повний «Морський курс «(такого на той час було ні у країні світу) [1. С.49]. Варто у своїй помітити, що наприкінці XVIII століття З. Є. Гур'єв перевів курс Безу «Навігаційні чи морехідні дослідження », утримання і обсяг котрого дещо поступалися енциклопедії Гамалеи.

В першому томі твори містяться «початкові підстави алгебри, з додатками неї геометрії «, у другому — «початкові підстави вышних обчислень, із фотографією них до криволінійної геометрії і до навігації «, наступні томи присвячені «початковим підставах механіки «і «теорії кораблебудування і кораблеправления ». Отже, для питань вищої математики Гамалея відводить цілі томи і вважає, що він має передувати вивченню фізики та спеціальних питань. І це вкотре підтверджує, яке велике значення автор надавав розділах диференціального і інтегрального исчислений.

Некоторое загального уявлення про практичний зміст другого томи можна з змісту, тому наведемо его:

Предварительные понятия

Начальные підстави диференціального вычисления.

О дифференциалах алгебраїчних функцій.

О дифференциалах логарифмічних й невизначено статечних кількостей.

О дифференциалах тригонометрических ліній.

О дифференциалах вышних чинів.

Приложение диференціального обчислення до теорії кривих ліній, і по-перше, про дотичних.

О кратних точках.

О радиусах кривизни, точках вигину і повернення.

Приложение диференціального обчислення до вишукуванню максимумів і мінімумів, тобто найбільших і найменших величин.

Точнейшее дослідження способу максимумів і мінімумів.

Начальные підстави інтегрального вычисления.

О диференційних функціях, містять одне змінне кількість і має точні інтеграли.

Способ сыскивать наближені інтеграли у вигляді рядків і додаток цього способу до вирахування логарифмів.

Положение наближеного способу інтеграції до кола.

Приложение інтегрального обчислення до квадратурі кривих ліній.

Приложение інтегрального обчислення до вишукуванню довжини кривих ліній.

Приложение інтегрального обчислення до квадратурі кривих поверхонь.

Приложение інтегрального обчислення до виміру толстот тіл.

Способ приводити інтеграцію однієї диференціальної функції в іншу, якої інтеграл вже відомий.

О інтеграції порівнянних диференційних дробів.

О приведення корінних функцій в порівнянні дробу.

О інтеграли логарифмічних і неопределенно-степенных кількостей.

О інтеграли функцій, містять тригонометрические лінії.

О інтеграли диференційних функцій, містять чи більше змінних кількостей.

О диференційних рівняннях першого чину.

О диференційних рівняннях вышних чинів.

О зворотному способі дотичних.

Приложение інтегрального обчислення до написання меркаторских карток і до численню шляху корабля.

Остановимся тепер кілька докладніше що на деяких, з погляду, цікавинках другого тома.

В першому його розділі «Попередні поняття «пояснюються вопросы:

1) Предмет вышних обчислень: «Вишукувати відносини між змінами кількостей і південь від них сходити до відносин, які між самими кількостями перебувають, є предметом, так званої, вышней алгебри чи вышних обчислень «[2. С.2].

2) Поняття постійного і перемінного кількостей: «Постійні завжди зберігають однакову величину, тоді як перемінні безперервно збільшуються чи зменшуються «[2. С.2]. Зауваження щодо позначення змінних і постійних кількостей і сьогодні видаються вельми корисними: «Постійні кількості означаються зазвичай першими літерами a, b, з і ін. Змінні ж останніми x, y, z тощо. «[2. С.3].

3) Нескінченно велике і мале кількості «в міркуванні іншого » .

4) Нескінченно малі і великі різних ступенів і чинов.

Далее дається важливе правило у тому, «що робити в обчисленнях із безкінечними кількостями », що потім буде неодноразово застосовуватися при обчисленні диференціалів: «Щоб в обчисленнях діяти погоджується з поняттям, яке ми тепер дали про нескінченних кількостях, має в алгебраическом вираженні, заключающем нескінченно велике кількість, залишати тільки членів, містять саму вышнюю ступінь цього кількості, все-таки інші члени, де вона в нижніх ступенях перебуває чи взагалі не входить, знищити должно.

Напротив цього у вираженні, заключающем нескінченно невелика кількість, має залишати тільки члени, містять окончаемыя кількості; а якщо цих немає, то ті, у яких нескінченно мале у самій нижньої ступеня перебуває; все-таки інші члени, містять нескінченно малі вышних чинів, знищувати має «[2. С.7−8].

После прикладу застосування цього правила робиться спроба пояснення правильності виконаних операцій. І тому Гамалея використовує як теоретичні міркування, але й переконливості наводить пример.

В тому ж розділі дається визначення функції: «Будь-яке вираз, що містить одне чи багато перемінні кількості, сукупні хоч би яким не пішли чином, взаємно і з постійними кількостями, називається функція чи обійми них змінних кількостей ». Далі роз’яснюється, як слід класифікувати функції на алгебраїчні і трансцендентные.

И, нарешті, говориться у тому, чим є метод вышних обчислень: «Предмет вышних обчислень є двоякий; і відтак вони на частини поділяються. Перша частина навчає пізнавати зміни змінних кількостей чи зглянутися від кількостей до стихіям; ця частина називається диференціальний вычисление.

Вторая частина, яка задовольнить предмета, як знаходити кількості з їхньої змін чи від стихій кількостей сходити до самих кількостям, називається інтегральне обчислення «[2. С.15−16].

В розділі «Початкові підстави диференціального обчислення «традиційно при цьому періоду (починаючи з робіт Лейбніца) основним поняттям виступає не похідна, а диференціал, що визначається як нескінченно мале зміна количества.

С допомогою визначення диференціала і правил знищення нескінченно малих виводяться правила для відшукання диференціала суми, твори, приватного. Потім іде правило 4, яке вказує, як знаходити диференціал ступеня. Нагадаємо, що з Котельникова порядок інший: спочатку викладаються правила відшукання диференціала статечної функції, суми і твори, з допомогою яких будується висновок диференціала частного.

Для докази правила, крім зазначених вище прийомів, використовується формула бинома Ньютона для (x+dx)m. Після цього наводяться 12 прикладів відшукання диференціалів від різних функцій. Причому серед функцій трапляються й дещо складні, наприклад, x3(a+bx2)2/3 тощо. Ні поняття складної функції, ні, тим паче, правило для відшукання диференціала від складної функції у випадку не пояснюється. Щодо конкретних прикладів передбачається очевидным.

В главі «Про дифференциалах логарифмічних і неопределенно-степенных кількостей «переважно з геометричних міркувань виводиться диференціал натурального логарифма, розбирається чимало прикладів. На висновок наводиться дуже зручне правило логарифмічного дифференцирования.

Поясняя сенс поняття диференціалів вышних чинів, автор застерігає від помилки змішання двох висловів: d2x і dx2, від якої й понині корисно було б попередити начинающих.

Автор знайомить читача і з широкими застосуваннями диференціального обчислення до геометрії (касательные, подкасательные і поднормали параболи, еліпса, логарифмики, гіпербол тощо.) і відшуканню найбільших і найменших величин [2. С.42−128].

Раздел «Початкові підстави інтегрального обчислення «починається сіло, що вкотре уточнюється сенс терміна «інтегральне літочислення », причому пояснюється, що: «Немає жодного єдиної окончаемой функції, якої не міг взяти диференціала; навпаки того, перебувають премногие диференціальні функції, яких з дитинства інтегралів знайти неможливо: інших оскільки де вони повні диференціали і що не від якої диференціації статися не можуть; такі суть ydx, xdy-ydx тощо. інших через ту причину, що вони цілком складні, і що ні знайдено ще спосіб їх інтегрувати «[2. С.129−130]. Таким чином у той час автор вирішив питання існуванні, який одержав точне роз’яснення лише XIX веке.

В прикладах на обчислення з дитинства інтегралів Гамалея широко користується способом підстановки, знайомить зі способами інтегрування биномиальных диференціалів, тригонометрических висловів і т.п.

Приложения інтегрального обчислення знову займають значну частину розділу. Тут розглядаються питання про знаходженні площ постатей, обмежених різними кривими: параболою, окружністю, циклоидой, логарифмикой, гіперболою тощо. А також вивчаються питання обчисленні довжини дуги (кубічної параболи, циклоиды, конічній параболи тощо.) й площі поверхні (кулі, еліпсоїда). Але найбільш цікавою представляється остання глава, у якій описується додаток інтегрального обчислення до написання меркаторских карток і до численню шляху корабля. Диференціальний і інтегральне літочислення автор використовує висновку формули «зростаючій широти », що утворюється при спотворенні зображення земної кулі на площині карти. Про результати Гамалея наводить спочатку з припущення, що зайнято землю є земна кулю, але потім уточнює все обчислення «в міркуванні істинної постаті землі, що є стиснений на полях еліпсоїд ». Попри те що, що з обчислення використовується дуже нескладний апарат інтегрального обчислення (переважно інтеграли типа.

.

и т.п.), важливий факт ілюстрації застосування вищої математики морського делу.

Книга є доказом досить високої наукового рівня змісту математичної освіти військово-навчальних закладах межі XVIII і XIX століть, зокрема і високого рівня математичної підготовки самих викладачів. У порівняні з іншими навчальними посібниками вітчизняних математиків російською (С.К. Котельников; П.І. Гиларовский та інших.) робота П. Я. Гамалеи вирізняється великим обсягом, глибиною викладу і оригінальністю додатків. Ні також й у цьому, що Гамалея під час написання роботи використовував праці Эйлера.

Таким чином, тоді як науковому (математичному) плані деякі висловлювання автора сьогодні видаються злегка наївними (визначення функції, нескінченно малої і нескінченно великий; вирішення питання існуванні інтеграла тощо.), то методичному плані, безперечно, ця книжка є дуже цінна матеріал. Багато методичні нотатки автори і сьогодні видаються цікавими. З іншого боку, з допомогою цієї книжки читач зможе визначити потреби, досліджуваних молодиками в військово-навчальних закладах кінця XIX — початку XX століття. Позаяк програм з окремих предметів тоді був, то навчальні керівництва, власне, є єдиними джерелами, за якими можемо судити про обсяг, змісті і методи викладу питань вищої математики навчальних закладах кінця XVIII — на початку ХІХ вв.

Список литературы

Галушко Ю. А., Колесников А. А. Школа російського офіцерства. Історичний довідник. М.: Информационно-издательское агентство «Російський світ », 1993. 222 з.

Гамалея П. Я. Вышняя теорія морського мистецтва. СПб., 1801−1808. Частина друга, яка містить підстави вышних обчислень, із фотографією них до криволінійної геометрії і до навігації. СПб.: Друкарня Морського кадетського корпусу, 1802.

Гамалея П. Я. //Брокгауз Ф. А., Єфрон І. А. Енциклопедичний словник. СПб., 1892. Т.15, С. 53.

Юшкевич О.П. Історія математики Росії до 1917 р. М., 1968.

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.