Послідовності випадкових величин. 
Граничні теореми

Реферат на тему:

Послідовності випадкових величин. Граничні теореми.

— число успіхів при n випробуваннях. Тоді.

(1).

m=0,1,…, n;

При великих значеннях n та m обчислення ймовірністі Bp= (n, m) по формулі (1) викликає затруднення. Виникає необхідність в асимтотичних формулах, які дозволяють з достатньою точністю визначити ці ймовірності.

де сдеяка стала, то.

де с -довільна стала, то для всіх m.

. (2).

Формула (2) називається формулою Пуассона.

3.1 Закон великих чисел.

.

. Законом великих чисел називають теореми, які стверджують, що різниця.

збігається до нуля по ймовірності.

(нерівність Чебишова).

при всіх n. Тоді.

. (*).

n=1,2,…

.

=а, то згідно сформульованому вище наслідку,.

.

n як завгодно залежні. Для виконання (*) достатньо, щоб.

.

}-виконані умови теореми Чебишова, то із теореми Чебишова одержуємо наступне твердження.

.

Зміст цього твердження полягає в тому, що ведене нами визначення ймовірності відповідає інтуїтивному розумінню ймовірності як границі частоти.

3.2 Посилений закон великих чисел.

не існує,.

.

збігається з ймовірністю 1 до нуля, називається посиленим законом великих чисел. Нижче приводиться дві теореми про посилений закон великих чисел, обидві вони доведені.

А. М. Колмагоровим.

визначені. Якщо.

)=0}=1.

}=1.

kпослідовність незалежних випадкових величин введених при доведенні теореми Бернуллі.

=а. Тоді.

=а}=1.

3.3 Центральна гранична теорема.

і.

.

для довільного x.

).

Це один з самих видатних результатів теорії ймовірностей: при широких припущеннях відносно суми великої кількості незалежних малих випадкових доданків має місце розподіл, який близький до нормального (гаусівського).

Наслідок. Інтегральна гранична теорема МуавраЛапласа.

Для доведення достатньо ввести випадкові величини.

якщо в к-тому випробовуванні був успіх;

o, якщо в к-тому випрбовуванні була невдача.

і залишається застосувати попередню теорему.

).

появ події А змінюється в межах від 40 до 60, якщо буде проведено 100 незалежних випробовувань.

— числа появ події А в100 незалежних випробовуваннях.

=25. Знайдемо максимальну різницю між.

=60−50=10.

Скористаємося нерівністю Чебишова в формі.

.

=10, одержимо.

. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що частота цієї події відхилиться від її ймовірності по абсолютній.

величині не більше чим на 0, 01, якщо буде проведено n=9000 випробувань (Відповідь 0, 75).

n,… задана законом розподілу.

.

Чи можна застосувати до заданної послідовності теорему Чебишева?

Розв’язок. Для того, щоб до заданої послідовності випадкових величин була застосована теорема Чебишова, достатньо, щоб ці величини були попарно незалежні, мали скінчене математичне сподівання та рівномірно обмежені дисперсії.

Оскільки випадкові величини незалежні, то вони і подавно незалежні, тобто перша вимога теореми Чебишова виконується.

Перевіримо чи виконується вимога скінченості математичних сподівань:

Таким чином, кожна випадкова величина має скінчене (рівне нулю) математичне сподівання, тобто друга умова теореми виконана.

:

. Таким чином, до заданної послідовності випадкових величини можна застосувати теорему Чебишева.

n,… — незалежні і рівномірно розподілені на відрізку [a, b]. Чи можна застосувати до цієї послідовності закон великих чисел ?

з ймовірностями.

. Довести, що ця послідовність підчиняється як звичайному так і посиленому закону великих чисел (теорема Колмагорова).

то до цієї послідовності можна застосувати закон великих чисел.

(теорем Хінчина).

n) визначений для всіх n, причому.

задовільняє закону великих чисел.

тобто має місце закон великих чисел.

Задача 9. Дисперсія кожної з 4500 незалежних, одинаково розподілених випадкових величин дорівнює 5. Знайти ймовірність того, що середнє арифметичне цих випадкових величин відхилеться від свого математичного сподівання не більше чим на 0, 04.

Розв’язування. Так як n=4500 -велике і випадкові величини незалежні, одинаково розподілені та мають скінчену дисперсію, то можна застосувати центральну граничну теорему.

Таким чином,.

}=.

.

.

Список літератури.

И. И. Гихман, А. В. Скороход, М. И. Ядренко. Теория вероятностей и математическая статистика.- Киев: «Выща школа», 1988. 438c.

А. Н. Ширяев. Вероятность.- М.: «Наука», 1980.-574.

А. А. Боровков. Теория вероятностей.- М.: «Наука», 1976.-352c.

Е. С. Вентцель. Теория вероятностей.- М.: «Наука», 1964. 576с.

Теорія ймовірностей. Збірник задач. Під редакцією А. В. Скорохода.- Київ: «Вища школа», 1976.-383с.

Г. В.Емельянов, В. П. Скитович. Задачник по теории вероятностей и математической статистике.- Издательство Ленинградского университета, 1967.-329с.

7. О.І. Черняк, О. М. Обушна, А. В. Ставицький. Теорія ймовірностей та математична статистика. Збірник задач.- Київ: «Знання», 2001.-199с.